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2025-2026学年武汉市新洲一中航天城校区456班高一（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题：，，则是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是( )
A.
B.
C.
D.
4.下列与集合相等的是( )
A. B. C. D.
5.已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是( )
A. 或 B.
C. 或 D.
6.下列命题是假命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若且，则 D. 若且，则
7.设函数，命题“，”是假命题，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知正数，，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设全集，若集合，则( )
A. B. C. D.
10.已知，，，则( )
A. B.
C. D.
11.已知关于的不等式，下列结论正确的是( )
A. 当时，不等式的解集为
B. 当时，不等式的解集可以表示为形式
C. 若不等式的解集恰为，则或
D. 若不等式的解集恰为，则且
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若集合中只有一个元素，则满足条件的实数构成的集合为______．
13.已知，，则的取值范围为______．
14.已知，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
当时，求：；；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知二次函数．
若不等式的解集为，求，的值；
若，且，，求的最小值．
17.本小题分
某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量即该厂的年产量万件与年促销费用万元满足：为常数，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是万件．已知年生产该产品的固定投入为万元，每生产万件该产品需要再投入万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍产品成本包括固定投入和再投入两部分资金．
将该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
该厂家促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
18.本小题分
设函数．
若关于的不等式的解集为，求实数，的值；
若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围；
解关于的不等式：．
19.本小题分
已知有限集，，如果中的元素满足，就称为“完美集”．
判断：集合是否是“完美集”并说明理由；
、是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：、至少有一个大于；
若为正整数，求：“完美集”．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为方程的根为和，
所以不等式的解为，
所以，
当时，所以，
所以，
又或，
所以；
由可知，
因为，所以，解得，
所以实数的取值范围是．
16.因为不等式的解集为，
所以，且的两根为和，
则根据韦达定理，可得，解得，；
由，可得，化简得．
又，，所以，
当且仅当时，即时等号成立，
所以的最小值为．
17.解：由题意知，当时，，，即，；
每件产品的销售价格为万元，
利润函数
．
因为利润函数，
所以，当时，，
，当且仅当，即万元时，万元．
所以，该厂家年的促销费用投入万元时，厂家的利润最大，最大为万元．
18.函数，
由关于的不等式的解集为可知，
和是方程的根，且，
所以，解得，．
由，即，
即对于实数时恒成立，
则，解得，
则的取值范围为．
由，则，
当时，不等式可化为，即，解集为，
当时，不等式可化为，不等式的解集为；
当时，不等式化为，
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为．
综上所述，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
19.解：由，
，
则集合是“完美集”；
若、是两个不同的正数，且是“完美集”，
设，
根据根和系数的关系知，和相当于的两根，
由，解得或舍去，
所以，又，均为正数，
所以、至少有一个大于；
不妨设中，
由，
得，
当时，即有，
又为正整数，所以，
于是，则无解，
即不存在满足条件的“完美集”；
当时，，
故只能，，求得，
于是“完美集”只有一个，为；
当时，
由，
即有，
而
，
又，
因此，故矛盾，
所以当时不存在完美集，
综上知，“完美集”为．
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