资源简介

课件72张PPT。教育部北师大基础教育研究中心
数学工作室初中数学教材编写组成员
九江市同文中学 高级教师
高 峻
电话：13607022230
邮箱：gsjl2002@126.com中考数学复习的设计策略走近2010年数学中考 中考是我国基础教育的一种选拔性考试，它与高考相比，其参加人数更多，涉及面更广，对基础教育的影响更大。可以这样说，中考在很大程度上影响着当地初高中教学质量和学生的素质发展。因此，各级教育行政部门和教研机构都非常重视中考试题的导向作用。自从我省2001年作为国家级实验区进入新课程以来，伴随着课程标准的实施，数学教材在内容的选取、体系的构建和处理的方法等方面都有很大的变化。相应的，这些年来，江西省的中考命题也发生了很多的变革，特别是命题从知识立意向能力立意的转变，这几年来的江西省的中考试卷一直得到各地及教材组的专家的好评。前言前言 如何高效地进行中考数学的总复习呢？
我在2009年5月26日北师大《新世纪初中数学网络研修》举行的专题“九年级复习课专题研讨：高效复习教学经验谈。”和一些学校的老师进行网络研讨。
主要有：主备课学校：湖北宜昌六中 周清华
其它参与学校：成都七中育才学校 魏进华
山西河津第三实验中学 薛翠平
河南平顶山14中 王广树
重庆市珊瑚中学 曾畅
太原第二外国语学校 数学组
教材组参加人员：高峻 老师 主持人：杨继明
下面就结合教学经验及回访交流中得到的信息，和与会代表交流在复习课的教学方面的设计策略。 设计策略一立足于课标与考试说明，抓学生的知识结构 中考有30%的基本题、50%的中档题，考试的成败主要取决于这些题目的解答情况，因此在中考总复习中，必须关注基础知识的落实，对基础知识的灵活运用就是能力，抓住了基础就能以不变应万变。设计策略一 要落实基础知识，教师首先要明确复习课要复习的内容，这部分内容在初中阶段是在哪几个学段学习的，如何将这些不同阶段学习的知识串起来，不同阶段的要求是否有差异等，要通过复习，将学生头脑中孤立的、零碎的知识梳理好，明确这些知识要不同阶段学习的特点，以及他们的内在联系，使得它们形成某种组块，便于学生的整体认知，使得相关知识系统化、条理化，促进学生的理解，帮助学生建立良好的认知结构。设计策略一 正如布鲁纳在《教育过程》中指出：“获得的知识，如果没有完满的结构把它联结在一起，那是一种多半会被遗忘的知识，一串不连贯的论据在记忆中仅有短促得可怜的寿命”。
设计策略一 例如，复习《统计》章节，由于统计的内容分别七、八、九年级不同的阶段都有学习，教师要将这些知识，以网络、图表或列表的方式串起来，这部分一方面可以交给学生以小组的方式完成，教师指导或课堂交流，通过学生自我总结，完善知识结构，更有利于学生建立良好的知识结构。
这部分内容，在中考中的题型可有单项选择题、填空题、计算题、解答题．从我省命题看，相关问题多为解答题，试题位置、分值相对稳定，问题背景却与生产生活实际联系紧密。设计策略一设计策略一江西省的中考中，2006年—2009年统计的试题均以解答题的形式进行了考核.
例1．（2007江西）某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分（满分为10分）： 方案1 所有评委所给分的平均数。 方案2 在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数。 方案3 所有评委所给分的中位数。 方案4 所有评委所给分的众数。设计策略一 为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下面是这个同学的得分统计图：（1）分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；
（2）根据（1）中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分。设计策略一例2．（2008江西）为了了解甲、乙两同学对“字的个数”的估计能力，现场对他们进行了5次测试，测试方法是：拿出一张报纸，随意用笔画一个圈，让他们看了一眼后迅速说出圈内有多少个汉字，但不同的是：甲同学每次估计完字数后不告诉他圈内的实际字数，乙同学每次估计完字数后告诉他圈内的实际字数．根据甲、乙两同学5次估计情况可绘制统计图如下：
（1）结合上图提供的信息，就甲、乙两同学分别写出两条不同类型的正确结论；（2）若对甲、乙两同学进行第6次测试，当所圈出的实际字数为100个时，请你用统计知识分别预测他们估计字数的偏差率，并根据预测的偏差率，推算出他们估计的字数所在的范围．偏差率的计算公式：
例如，圈内实际字数为80个，某同学估计的实际字数为65个时，偏差率为．显然，偏差率越低，字数估计能力越强．
设计策略一设计策略一例3．（2009江西）经市场调查，某种优质西瓜质量为（5±0.25）kg的最为畅销.为了控制西瓜的质量，农科所采用A、B两种种植技术进行试验.现从这两种技术种植的西瓜中各随机抽取20颗，记录它们的质量如下（单位：kg）：
A：4.1　4.8　5.4　4.9　4.7　5.0　4.9　4.8　5.8　5.2
5.0　4.8　5.2　4.9　5.2　5.0　4.8　5.2　5.1　5.0
B：4.5　4.9　4.8　4.5　5.2　5.1　5.0　4.5　4.7　4.9
5.4　5.5　4.6　5.3　4.8　5.0　5.2　5.3　5.0　5.3
（1）若质量为（5±0.25）kg的为优等品，根据以上信息完成下表：设计策略一（2）请分别从优等品数量、平均数与方差三方面对A、B两种技术作出评价；从市场销售的角度看，你认为推广哪种种植技术较好 设计策略一 小结:考查对数据处理（表示、分析）的基本方法、基本技能的理解和掌握；通过对数据的分析来估计总体的统计思想、或对某些实际问题作出合理的决策、对某种统计方法提出质疑等考查学生的统计观念；设计策略一 建议:教学中要注意所学内容与日常生活、自然、社会和科学技术领域的联系，使学生体会统计对制定决策的重要作用；应注重使学生从事数据处理的全过程，根据统计结果作出合理的判断；应避免将这部分内容的学习变成数字运算的练习，对有关术语不要求进行严格表述。立足于课堂教学，抓学生的复习效率设计策略二 在课堂教学中，教师要对知识的引入，新旧知识的衔接、例题的选择、学生知识现状学生对知识的接受能力，复习课上教师注意“以题代点、以题论法”，合理的安排讲练的时间，注意知识的纵横联系，注意教学基本思想的渗透，注意基本方法的训练，注意总结出学习的规律性，充分发挥课堂效益，尽量把问题解决在课堂。 设计策略二1、串知识点
[片段一]问题引入：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的两点，
（1）若DE∥BC，则△ABC～△ADE，请说明理由。
（2）请你添加一个条件，也使△ABC～△ADE。
解：（1）生：方法一∵DE∥BC
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C
∴△ABC～△ADE
生：方法二∵DE∥BC
∴∠ADE＝∠B，又∵∠A＝∠A
∴△ABC～△ADE设计策略二（2）生1：可添加一个条件：∠ADE＝∠B或
∠AED＝∠C或 ；

生2：也可添加一个条件：∠ADE＝∠C或
∠AED＝∠B或 。
设计策略二 对比与其他教师在上这节复习课时，很多都会一开始提问：判定三角形相似有哪些方法呢？学生回答：（1）两个角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似。很显然，这种提问只是一种知识的简单重复和记忆，学生不用动任何脑筋即可回答，学生自然没有兴趣，也不利于学生的思维发展。而[片段一]则巧妙地将三角形相似的判定方法蕴涵于一个题目当中，同时通过变式，让学生举一反三，加深了对三角形相似判定方法的理解，开拓了学生的思维，有很强的实效性。设计策略二 [片段二]师：请同学们思考，问（2）中学生1所添加的三个条件实际上都保证了什么？他们有什么内在的联系？
生：DE∥BC
师：也就是说只要保证了DE∥BC，则始终有△ABC～△ADE，同时几何画板拖动点D在直线AB上移动，学生观察各种平行位置的△ABC～△ADE。设计策略二请研究二次函数y=x2+4x+3的图象及其性质，并尽可能多地写出有关结论。
解：（1）图象的开口方向: （2）顶点坐标：
（3）对称轴： （4）图象与x轴的交点：
（5）图象与y轴的交点为： （6）增减性：
（7）最大值或最小值： （8）y的正负性：
（9）图象的平移：
（10）图象在x轴上截得的线段长
（11）图象与y轴的交点关于对称轴的对称点坐标：设计策略二2、串图形
基本图形：D　3.串“典型图形”设计策略二设计策略二组合一：例4．(湖北省十堰市2008年)海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由． 例5.如图,为了求河的宽度,在河对岸岸边任意取一点A,再在河这边沿河边取两点B、C,使得∠ABC=60°,∠ACB＝45°,量得BC长为100米,求河的宽度（即求BC边上的高）.组合二： 设计策略二设计策略二组合三：例6．(2008年湖北省襄樊市)如图8，张华同学在学校某建筑物的点处测得旗杆顶部点的仰角为，旗杆底部点的俯角为．若旗杆底部点到建筑物的水平距离米，旗杆台阶高1米，则旗杆顶点离地面的高度为 米（结果保留根号）．设计策略二例7．(2008年河南省)如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．一直BC=11km，∠A=45°，∠B=37°．桥DC和AB平行，则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km．参考数据：，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）
D问题1楼房AB的高度是多少?问题2楼房CD的高度是多少?
设计策略二 小结:通过知识点的串联、图形组合的串联、认知结构的串联等，可以充分让学生体会其中的联系与变化，抓住问题的本质，从而达到对知识的全面复习。
注：如果可以，将以上的问题可以放得更开些，形成系列问题，一个个抛出，让学生形成思维上的深层思考，进一步加深学生探究的兴趣设计策略二测底部不能到达的物体高度设计策略二设计策略二测底部不能到达的物体高度设计策略二设计策略二设计策略三立足于教材，抓习题的变换 在复习中要立足于课本，离开了课本的复习必然是无源之水，特别是教师，要充分挖掘和发挥课本中的例题、习题的潜在的功能，教给学生通过类比、延伸，拓展出一些新颖的变式题，并加以解决，从中归纳整理出基础知识、基本技能、基本方法、掌握教材中的通性通法。 在我们的教学过程中，一方面要善于引导学生积极进行探究，养成主动探究的习惯，而不是为探究而探究。另一方面更要善于捕捉时机，随时从学生的疑问中发现问题，从而开展探究，提高学生的综合分析能力与解决问题的能力。设计策略三 下题是我根据课堂上学生提出的疑问而形成的一个综合题的例子。
产生的背景：习题课上，教材P68问题解决的习题，学生提出如下问题：周长是定值时，当长与宽相等时，围成矩形的面积最大，即此时的矩形为正方形。当这个矩形一边靠墙时，如果要保证面积最大，长与宽就不等了，是不是有什么关系呢？
我与学生一起对这个问题进行了深入的探究，从而形成这样一个综合题。设计策略三例10． 问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
如图1，用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，当这个矩形的长y是宽x的2倍时，菜园的面积最大。
如图2，用一段长为100米的篱笆围成二个一边靠墙的全等矩形菜园，当这个矩形的长y是宽x的3倍时，菜园的面积最大。设计策略三设计策略二然后运用类比的思想提出了如下命题：
如图3，用一段长为100米的篱笆围成三个一边靠墙的全等矩形菜园，当这个矩形的长y是宽x的4倍时，菜园的面积最大。任务要求
⑴请你从三个命题中选择一个说明成立的理由，并求出此时菜园的最大面积是多少。
（说明：选①做对的得3分，选②或③做对的得4分）
⑵请你继续完成下面的探索：
如图4，用一段长为100米的篱笆围成四个一边靠墙的全等矩形菜园，当这个矩形的长y和宽x满足什么条件时，菜园的面积最大，最大是多少？(4分)设计策略三如图5，用一段长为100米的篱笆围成n个一边靠墙的全等矩形菜园，当这个矩形的长y和宽x满足什么条件时，菜园的面积最大，最大是多少？(不要求解题过程,直接写答案)(2分)设计策略三这样的情况，经常在我的教学中出现，往往是由于学生发现的问题或提出的问题，为解决学生的疑问，从而形成了深入的探讨。
例11．如图1：Rt△ABC为一钢板余料，∠C=90°,AC=40 cm,BC=30cm,现需如图所示截出一个矩形CDEF，如何裁剪才能使矩形CDEF的面积最大？教材P67的情景引入设计策略三探究一：如图2：Rt△ABC为一钢板余料，∠C=90°, AC=40 cm,BC=30cm,我们现如图2所示截出一个矩形DEFG，那么这时又该如何裁剪才能使矩形DEFG的面积最大？最大面积还会是△ABC的面积的一半吗？所截得的线段还会是△ABC的中位线吗？设计策略三探究二：如图3，在一块三角形ABC的余料中，如图所示截出一个矩形，如何裁剪使矩形DEFG的面积最大。设计策略三例12.如图是一块长3m、宽1.5m的矩形黑板，现准备在黑板四周镶上木质边框。
⑴若在其四周镶上宽为10cm的木质边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？请说明理由。
教材P123 做一做设计策略三⑵若小明已在黑板的左右两边镶上15cm宽的木条，为了使黑板四周镶上木条后，边框内外边缘所成的矩形保持相似，那么小明应在黑板的上下镶上多宽的木条？
⑶小红打算在黑板的左右两边镶上a cm宽的木条，上下两边镶上b cm宽的木条，那么当a、b满足什么条件时，边框内外边缘所成的矩形保持相似。设计策略三设计策略三 小结：一个学生的综合能力的培养，并不是一朝一夕的事，往往需要我们在平时不断地创造机会，提高学生的发现问题，提出问题的能力，只有这种能力的提升，才会有解决问题的愿望，从而使学生的能力真正得到提高设计策略三 建议：在中考复习教学中，解题训练是极为重要的，但习题演练的关键不在题量，不是简单机械的重复训练和题海战术，解题训练要有一定的系统性、针对性，有明确的考察目标和培养方向。在平时教学中，我们应该多对一个已有的习题进行系列改编变式，形成一个题组或题链，在变式探究的过程中，学生的思维逐步深入，有利于促进学生对知识本质的认识，对各种数学思想方法的熟练掌握，有利于培养学生思维的灵活性和深刻性。设计策略四立足于反思，抓解题的本质 中考数学试题形式和知识背景千变万化，但其中运用的数学思想方法却往往是相通的。要处理好“通法”和技巧的关系，在学习中不应过分地追求特殊方法、技巧，不必将力气花在钻难题、怪题上。应抓住数学知识的主干部分与通性通法，在此基础上通过寻求不同解题途径与思维方式，培养思维的广阔性、灵活性和敏捷性。 设计策略四例如：如图（6），O为正方形ABCD内一点，过点O的两条互相垂直的直线与正方形的两组对边交于点E，F，G，H，求证：EF=GH。
图（6）设计策略四1．横向变化：图（7）图（8）变式1：在例题中，如果将点O移动到正方形外，
如图（7），其他条件不变，是否还类似的结论？结论如何表述？设计策略四解决变式1后，再对例题进行变化，提出如下问题：
变式2：如图（8），已知O为矩形ABCD内一点，过点O作两条互相垂直的直线分别交矩形于点E，F，G，H，则EF与GH又存在着怎样的关系呢？
变式3：把点O移到矩形ABCD外（如图9）是否还有同样的结论？结论又该如何表述？图（9）设计策略四类似地，我们还可以进一步探究如下，如把矩形改为平行四边形，是否还有类似的结论？结论该如何表述呢？如果点O在平行四边形的外面呢？
在平时的复习教学中，我们若能经常这样来设计一定量相互衔接和过渡的，具有知识、能力层次、梯度要求的变式问题，，必能优化学生的知识结构，提升学生灵活应用知识、分析问题、解决问题的能力。设计策略四2．纵向变化： 图（6）设计策略四3．思维延伸：设计策略四例13（2006·江西）问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
①如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，若BM与CN相交于O,∠BON=60°，则BM=CN；
②如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，若BM与CN相交于O,∠BON=90°，则BM=CN． 设计策略四然后运用类比的思想提出了如下命题：
③如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，若BM与CN相交于O,∠BON=108°，则BM=CN．设计策略四任务要求
（1）请你从上述①，②，③三个命题中选择一个进行证明；
（说明：选①做对的得4分，选②做对的得3分，选③做对的得5分）
（2）请你继续完成下面的探索：
①如图4，在正n（n＞5）边形ABCDE…中，M，N分别是CD，DE上的点，BM，CE相交于点O，问当∠BON等于多少度时，结论BM=CN成立？（不要求证明）设计策略四②如图5，在正五边形ABCDE中，当M、N分别是DE、AE上的点，且BM与CN相交所成的一个角为108°时，BM=CN是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．设计策略四小结：一个综合问题的解决，我们一定要给学生充分思考回味的过程。也就是让学生有个反思的过程，体会解决问题的本质，从而得到真正的方法。 设计策略四建议：教师在中考备考的过程中，选题的时候一定要抓住典型，特别是要处理好通法与特殊技巧之间的关系。我在教材回访的过程中，经常有教师提出疑问：为什么解一元二次方程的方法中没有十字相乘。这就是解一元二次方程的通法与特殊技巧方法之间的差异，求根公式是解一元二次方程的通法，所以必须熟练掌握，而十字相乘技巧性太强，所以并没列入新课标的要求范围内。所以我们要明确这些要求，才能做到有效复习。设计策略五立足于数学思想，抓综合运用 初中数学中蕴含的数学思想方法很多，最基本的数学思想方法有化归的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、方程的思想、函数的思想等，突出这些基本思想方法，就相当于抓住了中学数学知识的精髓。 设计策略五实验与探究：
（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点C的坐标，它们分别是（5，2）， ， ；设计策略五（2）在图4中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标（D点坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）；设计策略五归纳与发现：
（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A（a，b），B（c，d），C（m，n），D（e，f）（如图4）时，则四个顶点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为 ；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为 （不必证明）；设计策略五运用与推广
（4）在同一直角坐标系中有抛物线
和三个点 ， ， （其中c>0）。
问当c为何值时，该抛物线上存在点P，使得以G，
S，H，P为顶点的四边形是平行四边形？并求出所
有符合条件的P点坐标。思维品质：思维的广阔性，灵活性，深刻性，目的性和创造性。
思想方法：转化思想（由浅入深，由特殊到一般）和分类讨论思想。设计策略五 小结：经常有学生这样问我：“老师，你讲综合题的时候我能懂，但要自己解决就难了”；“老师，这一步你是怎么想到的呀，我怎么想不到呢”。等等类似的问题，实际上，我们往往是事先备好课，做到心中有数才走上讲台的，所以讲解这种综合题时，一般是按照我们事先备课的思维进行的，不容易发现问题所在,学生自然会有这样的疑问。为解决这一问题, 剖析自己的思维,让学生一起体会解决综合题的途径与策略,我经常会采取不备课的方式,由学生拿出综合问题，我当堂与其他同学们一起来解决综合问题,把自己的思维暴露到学生面前。 设计策略五 建议：在复习时要有“创新”意识，不简单的就事论事，简单重复，在对概念、性质的学习时就会努力去探寻其与其他知识之间的逻辑联系，在总结一般规律的同时还要挖掘其新的意义、新的作用；在数学解题练习中，特别是对典型题，就会多想一想，还有没有其他新解法，有没有更简捷的解法，等等；在开放题的求解过程中，不仅要重视解法的多样性，答案的不唯一性，更要重视方法及解答过程的比较与鉴别，在比较与鉴别中复习所运用的数学思想方法，所运用的知识、技能。 总言之，教无定法，我们要从大量的题海中为自己的学生选取合适的试题，选择合适的教学方法，让学生从题海中走出来，从更深层次的思考中获得真正的数学方法与数学思想。
在知识生长点处引入 在知识结合点处展开；
在知识关键点处引伸 在能力提高点处设疑；
在有价值处思考讨论 在困难处点拨与分析。祝各校中考取得优异成绩谢谢大家！课件43张PPT。一、整体观二、教材观　“学习共同体”三层含义：1.课堂上师生围绕学习内容展开对话，构成学习共同体 2.教师之间形成学习共同体例如师徒制，教研室等 还有参与改革的学校和教师之间形成学习共同体，
实现持续的专业成长 3.中小学校之间，学校与社区之间，中小学与大学之间
应形成学习共同体从高中数学看初中数学教学从当前的现状看初高中的教与学确实存在着断层现象在我们省内，很多初中学校，高中学校是完全独立的，这样高中老师不了解初中的程设置和教学特点，教龄在十年以上的高中老师对初中新课程改革中新课标对教学及学生要求的一系列的变化更是不了解，初中老师也不了解高中的课程设置和教学特点。然而在实际教学过程中我们发现学生进入高中阶段后遇到了很多不适应的情况，初高中的教学存在着断层现象。
整体把握初高中教材知识体系1. 高中新课程的设置情况。
2.初中新课程设置的变化，以及这种变化给学生带来的影响。
3.从高中教学的需要出发看初中毕业学生在知识，能力，学习习惯及心理方面存在的不足。
4.结合中考要求，我们初中老师能为学生后续阶段的学习做些什么？1.初高中新课程的设置情况初中的课程设置（北师大版教材） 高中的课程设置（北师大版教材）

包含必修课程和选修课程

● 必修课程 (包括5个模块)
数学1:集合,函数概念与基本初等函数
(指数函数,对数函数,幂函数).函数应用
数学2:立几初步,平几初步.
数学3:统计，算法初步，概率.
数学4:基本初等函数II(三角函数),平面向量,
三角恒等变换.
数学5:,数列, 解三角形，不等式.1.函数的脉络
2.几何的脉络
3.运算的脉络
4.算法的脉络
5.应用的脉络
6.统计概率的脉络
高中教材的基本特点 ——突出主要脉络、整体把握整体把握课程基本结构
为了抓住主要脉络，高中教材按照必修1、必修2、必修3、必修4、必修5的顺序编写。
必修1帮助学生学会用函数思想来认识后续课程。
必修2将帮助学生学会用图形描述问题、用图形寻求解决问题的思路、用图形表示问题的的结果。
必修3将帮助学生学会用算法认识学过的和将要学习的数学内容，理清他们的逻辑关系。
运算是基本功，它渗透到各册教材中。
整体把握课程—抓住基本脉络——函数 20世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学。克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围，进行充分地综合。”抓住基本脉络——函数 高中数学教材把函数作为贯穿整个高中数学教材始终的主线，这条线将延续到大学的数学中，我们知道，大学几乎所有的专业都开设了高等数学，有文科的高等数学，有工科的高等数学，在数学系中，有数学与应用数学专业、信息与计算专业、统计数学专业，这些专业开设了不同高等数学内容的课程，虽然，不同的专业开设不同的高等数学课程，但是，函数是这些高等数学课程的一条主线，在数学系课程中，尤显突出，例如，数学分析、复变函数、实变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等等，这些课程都是把函数作为研究对象。函数、映射不仅是数学的基本研究对象，它们的思想渗透到几乎每一个数学分支。 抓住基本脉络——函数1．对函数的认识
（1）函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型
（2）函数是联结两类对象的桥梁
（3）函数是“图形” 以上是认识函数的三个不同角度，可以帮助我们全面地认识函数，也是学生在中学阶段中应留下的东西。这些对于进一步学习是很重要的。抓住基本脉络——函数2．中学数学研究函数的什么性质
数学中研究函数主要是研究函数的变化特征。因为，函数的变化特征反映了它所刻画的自然规律的特征。在高中阶段主要研究函数的单调性、周期性。单调性是在高中阶段讨论函数“变化”的一个最基本的性质。在高中数学课程中，对于函数这个性质的研究分成两个方法。
第一种方法，用运算的性质研究单调性；
第二种方法，用导数的性质研究单调性。
3．具体函数模型
简单的幂函数及其拓展
实际函数的模型——分段函数
指数函数
对数函数
三角函数
数列4．函数与其他内容的联系
函数与方程
函数与数列
函数与不等式
函数与线性规划
函数与算法
 抓住基本脉络——函数 总之，在高中的教材中，函数与方程、数列、不等式、线性规划、算法、导数及其应用，包括概率统计中的随机变量等，以及选修系列3、4中的大部分专题内容，都与函数有着密切的联系。用函数（映射）的思想去理解这些内容，是非常重要的一个出发点。反过来，通过这些内容的学习，可以加深对于函数思想的认识。实际上，在我们的教材中，都需要不断地体会、理解“函数思想”给我们带来的“好处”。  抓住基本脉络——函数抓住基本脉络——运算抓住基本脉络——运算 对数学最朴实的理解是：数学就是“算”，即“运算”。“运算”包括两方面，一个是“运算的对象”，一个是“运算的规律”。“数”、“字母”（代数式）、“指数”、“对数”、“三角函数”、“向量”等等都是运算对象。“结合律”、“a+(-a)=0”（即加一项，减一项）、“交换律”、各种“分配律”等等都是运算规律。“运算”几乎渗透到数学的每一个角落，运算是贯穿数学的基本脉络，是贯穿数学教材的主线，在我们的教材中，发挥着不可替代的作用。整体把握课程 抓住基本脉络——运算1．对运算的认识
运算是数学学习的一个基本内容。运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索。
从数的运算到字母运算，是运算的一次跳跃。
从数的运算，到向量运算，是认识运算的又一次跳跃。
在以后的学习中，运算对象还要进一步拓展。上述种种运算的学习，为学生今后进一步学习其它数学运算，体会数学运算的意义以及运算在建构数学系统中的作用，奠定了基础。
整体把握课程抓住基本脉络——运算
2．运算的作用
（1）运算是研究高中数学的基础
——贯穿在高中数学的始终
（2）运算与推理
（3）运算与算法
（4）运算与恒等变形
整体把握课程抓住基本脉络——运算3．运算内容的设计
在我们的教材中，主要有几部分内容集中的介绍了运算：指数运算；对数运算；三角函数运算；向量运算，包括平面向量和空间向量；复数运算；导数运算；等等。 在我们的教材中，自始至终都在强调运算的作用。
必修1.在学函数概念及指对幂函数时，会学习根式与幂指数的互化， 这就要求学生对二次根式，根式分母有理化，根式化简等有一定基础；
必修5不等式内容里，一元二次不等式的解法必须具备熟练求解一元二次方程的根的能力，对十字相乘法，因式分解，根的判别式，韦达定理都要求掌握，在学函数单调性证明、数列、不等式、解析几何初步、圆锥曲线等内容对学生的多项式和分式的化简和运算能力，有较高要求。
初高中知识、能力方面的断层现象及原因分析一、知识方面的断层（1）81.3 %的老师认为在平面几何结论（三角形的内心、外心、重心、垂心概念，内角平分线定理、重心定理、圆幂定理等）上不衔接 ；
（2）76.4 %的老师认为用十字相乘求一元二次方程的根不衔接 ；65.85 %的老师认为立方和（差）公式不衔接；
（3）61.4 %的老师认为二元二次方程组（含一个二元一次方程）不衔接；
（4）56.5 %的老师认为一元二次不等式求解不衔接 ；
（5）39.4 %的老师认为三元一次方程组求解不衔接 （6）29.26 %的老师认为还有其它知识点不衔接。二、能力方面的断层（1）83.3 %的老师认为学生对变量的理解与认识不够；
（2） 82.9 %的老师认为学生的空间想象力不够；
（3）71.95 %的老师认为学生在书写规范性和准确简明表达解题过程方面不足；
（4）58.1 %的老师认为学生的多项式计算化简能力不强；
（5）48.78 %的老师认为学生对分式的计算与化简能力不强 运算能力不强的主要表现情况是：76.4 %的老师感觉学生在分式的运算、化简方面容易出现错误；75.6 %的老师认为学生常犯习惯性丢括号、根号、忘记开方等错误；56.1 %的老师认为学生会混淆或错误使用平方差、完全平方公式；50.4 %的老师发现学生有错误使用运算律的现象；36.58 %的老师认为学生还犯其它一些运算错误。 总之，老师们普遍认为学生在数学能力方面与高中数学学习要求不符，在运算能力、空间想象能力、变量的理解认识方面有一定的共识。知识分析：
1.代数，几何，概率统计三方面完全删 除或降低要求的部分
2.新增或提高要求的部分初高中知识、能力断层的原因分析1．立方和(差)公式删除
2．因式分解：总体要求大大降低
3．二次根式删除同类二次根式的概念，降低分母有理化要求
4.删除三元一次方程组、二元二次方程组；删除韦达定理，一元二次不等式分式方程没有要求可化为一元二次方程的分式方程；
5.函数 6.三角函数代数方面几何方面1.三角形“四心”中的重心、垂心只做过介绍；大边、大角关系没有要求
2.完全删除平行线分线段成比例定理及逆定理；三角形角平分线定理
比例性质，射影定理没有明确要求；相似三角形的推理证明要求下降
3.圆的相关要求大大降低概率统计完全删除标准差；方差计算只要求最基本的。（删减或降低部分）1．用函数观点统一方程(组)、不等式(组)：非常明确的提出，并作了详细的介绍；突出了函数思想的重要性
2．利用图像法求解方程(组)、不等式(组)：作了介绍，并在一些综合题中有所体现；加强了数形结合的思想
3．用方程(组)、不等式(组)以及函数解决实际问题：要求大大提高，在每部分都进行了较为系统的训练，但不同学生的差异较大．更注重数学应用意识 代数方面新增或提高部分几何方面（几何方面新增内容为后续高中学习立体几何，三视图等知识打下很好基础）
1．简单多边形的重心：探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及物理意义（如一根均匀木棒、一块均匀的矩形木板的重心）；
2．视图与投影：(1)会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图）．会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型．(2)了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型．(3)了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系．通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的包装）．(4)通过背景丰富的实例，知道物体的阴影是怎么形成的．能根据光线的方向辨认实物的阴影．(5)了解视点、视角及盲区的涵义，能在简单的平面图和立体图中表示视点、视角及盲区．(6)通过实例了解中心投影和平行投影．
3．几何变换：(1)学习过平移、旋转(含中心对称)、轴对称、位似四种几何变换( “位似” 要求较低). (2)利用图形变换进行推理、计算：初中新课标很重视图形变换的应用, 但因为灵活性比较强, 所以学生掌握的情况仍然不够好.概率统计(为高中学习概率统计打下基础)
1．统计观念的培养：初中阶段的统计分为三个章节完成(数据的收集与整理、数据的描述、数据的分析)，每个章节都有相应的课题学习，要求学生应用所学统计知识解决实际问题；
2. 掌握常用统计图表(扇形图、条形图、折线图、频数分布直方图)的绘制, 理解其意义，在绘制频数分布直方图之前对数据分组时, 初中阶段目前只要求等距分组, 这样直方图中每个矩形的高度即可描述该组频数的大小；
3．理解常用统计量(平均数、众数、中位数、极差、方差)的意义, 会计算，其中加权平均数和极差是新增内容；
4．概率：人教版初中课本中用的是 “统计概率” 的定义, 即: 一般地, 在大量重复试验中, 如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近, 那么这个常数p就叫做事件A的概率. 学生对 “频率稳定于概率”有了初步的理解；
5．会用列举法求解简单的古典概型问题：所谓列举法主要是指列表法(两步实验)和画树形图法(三步及以上)．
可见初中新增内容与高中教材新增内容在体系上保持了一致性，起到了很好的铺垫作用。 总的说来，新课程改革对初中毕业生较之课改前的要求发生了很大的变化：新课标下的初中教学更重视学生的讨论、实验(包括动手实践)、探究, 因此相对以前而言, 学生对数学的兴趣有所提升, 探究意识和能力都有所增强,对数学知识的应用意识和能力有所增强, 对几何变换、直角坐标系、函数概念的理解比过去深刻，数形结合的能力也有所提高；但同时也带来了较明显的两极分化，计算能力和推理论证能力下降等问题. 三、数学学习心理上，习惯上的断层1.心理方面主要表现在以下方面：85.77 %的老师觉得学生只停留于老师作业的完成；78.86 %的老师觉得学生完成作业的质量取决于任科老师的严厉程度；69.1 %的老师觉得学生比较贪玩，对老师布置的软性作业不够重视； 2.学习习惯方面表现在以下方面：80 %的老师认为学生不能合理安排与协调各科的学习；85.4 %的老师认为学生不能在课下及时回顾和整理课堂内容；73.57 %的老师认为学生没有学会整理章后小结；69.5 %的老师认为学生不能及时解决学习过程中遇到的问题；59.3 %的老师认为学生上课听讲习惯不好。 我们初中老师能为学生后续阶段的学习做些什么？
1.整体把握教材，适当拓宽
2.转变教学观念，注重思想方法的渗透
3.注重数学学习习惯的养成
4.培养学习数学兴趣，授予正确的学习方法“一纲一本”向 “一纲多本” 转化,任何一种版本的教科书不再是课堂教学的唯一依据，更不是中考高考的考本，教师的教学任务不是“教教科书”而是 “用教科书”。中高考命题的依据，是课程标准的要求，“教师教教科书——学生背教科书——考试考教科书的应试教育规则将成为过去式。转变教学教材观，改进课堂教学新课程理念下的老师是终身学习的典范 老师们谈到教材都说如何吃透教材，如何把教材中的知识教给学生，至于教材内容的合理与否，我们思考过吗？有没有想过超越教材？
课程标准赋予教师的专业自主权，把教材从圣坛上搬回人间，把仰视教材、仰视权威的意识
从思想中清除干净。解放教师，解放学生，解放课堂，教育才可能有活力。注重知识的形成过程，教学生学会思维。学会分析问题，而不是简单的背题型机械模仿，注重数学思想方法的渗透，比如整体思想，数形结合思想，分类讨论思想的应用，这也是中考的要求，比如2009年的中考最后一题就是用到分类讨论的思想1.积极转变教学观念，用新课程理念指导课堂教学。（1）注重课程整体性。
对于初中新课程已经删减的而在高中的后续学习中需要用的知识点，我们老师要做到心中有数。在平时的教学中适当的拓宽学生的知识视野。激发学生自主探索的欲望。比如函数部分在中考试卷所占比例大约为12%一般必有一道大题两个小题，中考对这部分的要求也高于课标的要求，在教学时可拓宽，对二次函数的两根式要补充进来，还有化简运算也是中考必考内容，在平时的教学中，可加强学生这种分式化简的运算，提高运算能力。
2.整体把握教材，提高教学和学习有效性 （2）教学注重数学本质概念的教学：概念的引入与生成等
注重通性通法。如使用运算律，配方法、消元法
都是重要的通性通法主要脉络和各部分知识之间的内在联系注重思想方法，不要过于强化技巧性
对于学习习惯的养成，是个长期的过程，而在这个长期的过程中，小学初中高中各段的老师在培养学生正确学习习惯和学习方法上要有统一的思想，要有一定的延续性3.注重数学学习习惯的养成。（1）课前预习，课上听讲的习惯。（2）学会积累，善于做笔记的好习惯（3）及时巩固，课后复习的习惯（4）独立思考，完成作业的习惯（5）开拓视野，阅读数学书籍的习惯。。
两千多年前的《学记》中曾经这样说过：“善学者，师逸而功倍；不善学者，师勤而功半。” 许多教育专家认为，将来的“文盲”，不再是目不识丁的人，而是一些没有学会如何获取知识，不会自己钻研问题，没有预见力的人。这就要求学生不仅要掌握知识，更重要的是必须学会如何学习。大家可能听说过点石成金这个故事。从前有个神仙听说有位聪明却贫困的孩子，便找到了这个孩子，想帮助他。神仙用手一指旁边的一个小石子，小石子立即点化成了小金块，示意这金子送给你。小孩子摇头表示不要，神仙顺手便把一块大石头变成了一个大金块，小孩子还是没要。这时神仙又把对面的一座小山变成了金山，觉得这孩子该满足了。可是孩子仍然不要，神仙便责问道：“给你金山都不要，那你要什么？”孩子不慌不忙的回答：“我要你的手指”。他要的是点石成金的方法。 我们的教育同样如此，教师在有限的时间内教给学生的知识是有限的，而学生掌握获取知识的方法，获取的知识就是无限的。
　4.培养数学学习的兴趣，授予正确的学习方法未来的文盲不是目不识丁的人，
而是不会学习的人联系方式：邮箱：jysclh@126.com
QQ:1298309289
谢谢！
全面实施数学教育，促进学生和谐发展
――兼谈2010年中考数学复习与评价
喻汉林 www.jxjyedu.cn y6180@126.com
★随想
☆有用与无用。小法与大法。
☆亦远亦近的数学教育。
☆学校教育的根本目的是三维目标得到和谐的实现。应当是分数与发展的统一。数学教育应当服从服务于人的全面发展的需要。
☆这个世界不是因为你能做什么，而是该做什么。――马云
☆教师应当是仁义礼智信全面发展的人
仁：没有爱就没有教育。慈爱学生。一视同仁。忍耐心。――心灵修养
联合国公认的两个信条：把人当人；己所不欲，勿施于人。
爱是一种内在的修养，爱的付出应当是一种智慧的展现。
﹡﹡20世纪英国有位首相叫威尔逊，他在竞选首相时，有天在一个广场上举行公开演讲。演讲开始不久，一个年轻人从听众中扔出一个鸡蛋，打在威尔逊的脸上，蛋清蛋黄布满了他的脸，很长时间都睁不开眼。这对他来说是件很失面子的事，下面的军方马上把年轻人抓起来，但威尔逊要求把他带到台上来。台下听众看后，认为威尔逊肯定要惩罚他，但接下来的讲话证明他们错了。威尔逊心平气和地说：“你的技术不错，打得特别准！要是我真当上了首相，会让国防部长把你的技术用上，你在军事上很有培养前途。”威尔逊的一席话，把听众都说乐了，整个场面变得很融洽，下面一直掌声不断。结果也不言而喻，那次演讲非常成功。
义：宜也。时宜，话宜，问题宜，……善思所思，善说所说，善作所作――技能修养
礼：仁的外在显现，对学生的尊重。――行为修养
智：智慧。教育教学需要智慧。――智慧修养
信：相信，信用。言必行，行必果。相信学生。相信规律。――人格修养
一、整体把握数学教育，有效进行数学教学
﹙一﹚数学教育的基本内涵
数学教育应当是基于教与学的过程，促使学生在获得知识与技能的同时，形成一定的数学能力，获得对数学的理解，获得数学文化的熏陶，并在基础上获得心灵上的健康成长。
比如，学会说理与推理。了解非可靠的判断：没有理由﹙可靠的根据﹚，错误理由，理由不充分（根据不足）。合情推理可能是理由不充分的一种推理，但不是没有理由或错误理由的推理。证明的意识有时比学会证明更重要。
﹙二﹚做一个心灵健康的人，使教学成为一件快乐的工作。――数学教育的基础
共同目标：做一个有益于人的人！
江西师大附中：做一个有责任心的中国人。
《朱子格言》说“读书志在圣贤”。也应避免落于“读书唯在赚钱”。
教师要作为一盏灯，照亮学生的心灵，驱散心灵之黑暗。
﹙三﹚教师的基本修养：应当具有良心、慈爱心、平等心、包容心、坚定心。
以欢喜心来教学。快乐本是心的一种体验，快乐建立在心上。以快乐的心态影响自己和学生。
以学生之乐为乐，以学生之忧为忧。先学生之忧而忧，后学生之乐而乐。
学生的基本素质：（1）情感与态度方面：
①勤奋好学。不断进取，上进心强。②积极主动。③勇敢坚毅：勇于思考，锲而不舍，勇于探索，勇于质疑，勇于克服困难（不怕困难）。④自信认真。学习上严格要求自己。⑤专注严谨。聚精会神，全神贯注。一丝不苟。言之有理、论证有据。⑥尊重他人。友好合作等。⑦有兴趣有耐心。⑧实事求是（科学态度）。在一定程度上认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值。数学的美学意义。
（2）过程与方法方面，即能力的个体表现：①会学习；②会思考；③会表达；④会反思（会总结，会自我评价等）；⑤会交往（与同伴、教师等的交往中学习，包括会合作，会交流，会求助）。⑥会做事。
（3）知识与技能方面：记忆准确，理解到位，操作熟练。
﹙四﹚解决基本问题，牵好牛鼻子。――想清什么是最重要的，什么是关键的。
1.心态与心情――好心态造就好心情，好心情造就好效果。
﹡﹡三个建筑师的故事。
﹡﹡三个楼层的教师：
一楼教师：年年依旧，少反思改进，认为教学是生活的手段。――容易产生职业倦怠
二楼教师：逐年有变，多反思改进，认为教学常有成功体验。――有时产生职业倦怠
三楼教师：行动研究，常乐在其中，认为教学实现共同成就。――充满欢喜毫无倦怠
2.习惯与环境
﹙1﹚养成良好的数学学习习惯。数学学习有自身的特点及其表现，例如：①有人在学习数学时，喜欢画图，总会用最直观、形象的语言来解释本质的内容；②有人在学习抽象数学概念时，总喜欢选择一些自己熟悉的例子，把抽象概念很清晰地表示出来；③有人在学习数学时，总是追求整体地感觉，全面思考知识的来源、过程、结果、应用等。这些都是非常好的“习惯”。
﹙2﹚好习惯的形成需要长时间的积累，在学习中逐步形成一些适合自身条件、行之有效的好习惯，改变一些不好的习惯，提高学习效率。
﹙3﹚多数人的发展受制于环境。像生态环境一样，学习环境深刻地影响着学习生活与人的发展。
3.阅读与思考
阅读能力是学生自主学习的基础，也是提高学生学习能力的主要载体，提高学生的数学阅读能力应是数学教育中的一项基本任务。
让学生从思考中获得快乐，是教育的任务与法宝。
4. 关于过程与方法
经历 “过程”的目的，不仅仅是落实在知识结论上。
学习“过程”，对学生获得体验、增强意识、掌握方法、发展能力方面具有重要作用。而后者恰恰是学生解决问题的重要素质。
过程和结果的关系在一定程度上就是素质（能力等）和知识的关系。完成纸笔测验的题目，不仅靠知识，更加需要的是考生的基本素质。难题一般都难在素质要求上。
“过程”对学生获得体验、增强意识、掌握方法、发展能力方面具有不可替代的作用。
教学中要真正“重过程”，就要：(1)认识过程目标的重要性（学习不仅为获得知识）；(2)克服“解题是为了获得技巧”的思维定势；(3)不要把“以知识为线索”变成了“以知识为主”；(4)教学中对教科书进行教学过程的再创造；(5)不仅关注过程的形式，更要关注过程的本质
让学生理解方法并不很难，方法的教学，难就难在学生是否能将它自觉地应用到新的情景。因此，方法的教学跟知识的教学，应该有所不同。
“过程与方法”目标，很明确地把“方法”跟“过程”联系在一起，它告诉我们，要使学生能学会、应用某种方法，必须经历一定的过程。学生在这个过程中不仅仅领悟了该方法、而且形成了运用该方法解决问题的意识。
目前，方法教学的弊端：①方法是教师琢磨出来的，学生此前没有认识；②学生关于方法的建立缺乏足够的感性基础；③学生对方法的操作是模仿；④教师可以使学生理解方法，但难以形成学生运用该方法解决问题的意识。甚至于有的教师把解答某个题目的经验也当成“方法”让学生记住。教师在本学科内发掘大量的“方法”让学生套用。有一些教学内容的三级结论也当成了“方法”让学生“掌握”，学生面对各个学科的各种名目繁多的“方法”不知所措。
关于方法教学的探讨。(1)应重视学生解决问题个例的感性积累；(2)重视学生自己的概括，实现由苹果到水果的转化；(3)采用“渗透”方式进行方法的教学――逐步深化：①教学内容上系统布局――不断；②教学形式上多样结构——学生喜欢。
5. 联系与发展
数学知识之间的纵横联系，数学与其他学科知识之间的联系，数学与日常生活之间的联系。真懂得了事物之间的内在联系，便掌握了事物之间的内在规律，便为发展创造了条件。
6.问题与解决
数学是从问题中产生的，是从解决问题中发展的。学生是从问题中产生思维的，是从解决问题中得到思维发展的。好的问题，好的解决问题的策略与思路是数学教育教学所应关注的基本对象，也是培养能力的根本途径。
﹙五﹚教育教学智慧
1.理念层面。
﹙1﹚思是关键。先许后察愚者举，先察后许智者轨。
△孙子兵法：“不尽知用兵之害者，则不能尽知用兵之利也。”
△“智者之虑，必杂于利害。杂于利而务可信也；杂于害而患可解也。”
﹡﹡知先后。知本末。知快慢。当慢则慢，当快则快。哪些地方当慢当快？
﹙2﹚懂是基础。知是行之始，行是知之成。病之始，始于食不消。
﹙3﹚心是根本。从心上做文章，让学生动起来。
相信学生：你能行。……说你行，不行也行！
“是故无论真或假，凡事若经久串习，串习力达圆满时，不思亦能生是心。”
﹡﹡某医学院曾有一位教授，发给每个学生一颗药，说这颗药可使血压上升。服药不久后测量血压，果然都上升了。其实那仅仅是一颗糖而已。――心的力量，潜意识的力量
2.方法层面。
﹙1﹚因势而变，随其所宜，随其所应。“水因地而制流，兵因敌而制胜。”教因生而制成。
随顺学生。有时不是引导，而是观察、对话和交流。不应过分强调引导，将学生思维纳入教师之中，而应循循然，观察，让学生说，正所谓：我说比如你说。
例1 想要得瓜偏得豆。
问题：如何求方程组的解？
设计一：教材思路：从“方程组中相同未知数的系数有什么特征”去思考？
设计二：小明和小杰两个人到肯德基吃东西，他们分别买了如下食品并付了钱。
小明：一份（鸡翅）＋两份（蛋挞）＝17.5元 ①
小杰：一份（鸡翅）＋三份（蛋挞）＝22元 ②
问：一份鸡翅与一份蛋挞的单价各是多少元？
预估反应：（a）学生根据生活经验得出蛋挞单价为22-17.5=4.5元。
（b）相互抵消，得 蛋挞＝22-17.5。
教学片段：生：蛋挞单价为22-17.5=4.5元。
师：你怎么知道两个总价之差就是蛋挞的单价？
生：小杰就比小明多买了一只蛋挞，所以……（“多买”不是抵消）
师：请大家根据题意列出方程组。
生：设……。
师：受刚才思路启发，是不是可以用一种全新的思路去解这个方程组？
生：由④得 （x+2y）+y=22 ⑤
将③代人⑤，得17.5＋y＝22，所以y＝22-17.5，……
师：（停顿）这个仍然是“代入消元法”，还有没有其他想法？
生：（全部沉默）
反思分析：教师先有“加减消元法”，再去创设情境。“多买”在学生情理之中，却在教师的意料之外。
﹙2﹚恰好赶上，不必多做。﹙丰田经验﹚
﹙3﹚展开辩论或讨论。
﹙4﹚学会倾听。
听的方式：①行为层面上的听。表现：表面的听﹙一只耳朵听，一只耳朵出﹚，消极的听（只听声音――记忆，没有听进意义――理解，情感上没有产生共鸣），积极关注的听。
②认知层面的听。表现：强加的听﹙文化客位：访谈者将受访者所说的话迅速纳入自己习惯的概念分类系统，用自己的意义解释来理解对方的谈话，并且作出自己的价值判断﹚，接受的听﹙文化主位：将自己的判断悬置起来，主动接受和捕捉受访者发出的信息，注意他们使用的本土概念，探寻他们所说语言背后的含义，了解他们建构意义的方式﹚，建构的听﹙在倾听时积极地与对方进行对话，在反省自己的倾听的同时与对方进行平等的交流，与对方共同构建新的现实﹚
③情感层面上的听。
﹡倾听要求：不轻易打断对方。容忍沉默。
﹡回应要求：认可。重复、重组和总结。
应当避免的回应方式：论说型回应。评价型回应。
﹙5﹚给予适当指导。
专注。学会听课：专心与尊敬地听。
像把水器扣在地上，你在上面倒了多少水，里面也是一滴也不存；就像一个盆子的底是漏的，任你在上面怎么倒水，全部都会漏光、一点也不存留；
②一时做一事情。做一件事的当时，专心做这件事。适当的时机做适当的事情。
③在生活中运用推理。
④学而时习之。
⑤调控自己的心――听课做作业
﹙6﹚站在学生角度来考虑问题。
①习惯做法：根据需要，从教师角度来设计学生问题；
②尝试实践：从发展角度，从学生角度设计学生的问题。
了解学生。方法：望闻问切。自他交换，平等地深度交谈与对话。
﹙7﹚整体把握教学
从整体到部分，然后从部分到整体。
① 研究方法的整体把握——已学完某某，该学某某了。
知识结构框图的整体把握
知识结果图的不同类型：逻辑型知识结构。并列型知识结构。上升型逻辑结构。
学习数学不仅要深入地理解每一个知识，掌握每一种技能，还需要理解所学数学内容的体系、结构和基本脉络。
③ 解决问题的整体把握
﹙8﹚创设和谐、有效课堂――平等、轻松、和谐的课堂环境是有效学习的基础
正确利用评价。评价：“但观己过，莫论人非”。竖起你的大拇指。以学生进步而快乐。
3.其他。
﹙1﹚寻找对治办法，克服懒惰等现象。
懒惰现象。打瞌睡现象。散动不安现象。
对治懒惰――正精进。拖延懒惰：等会儿再说吧，明天再说吧。散乱懒惰。自卑懒惰。
﹙2﹚彭声铭老师的教学精髓：求精、求实、求活.﹙来自于1985年的《教学参考》﹚
要突出重点，使学生抓住主干，举一反三
要解决难点，使学生扫除障碍，扎实基础
要教给方法，使学生有规可循，灵活运用
要沟通联系，使学生掌握个性，明确共性
要瞻前顾后，使学生易于接受，前后贯通
要激发思维，使学生多加实践，提高能力
要指导预习，使学生学会读书，掌握方法
﹙3﹚教学要求与目标：作图有规有矩，说话有根有据，写字有模有样，讲课有板有眼，活动有声有色，学得有滋有味。
﹙六﹚复习方法
确定阶段性目标，然后使之落实到位
2. 不愤不启，不悱不发。先不限定学生思维方向。
依赖太多，走得不远；题型太多，束缚太大。
3．将过程充分展开，通过过程促发展。
例2 一题常规题的求解与反思
九年级某班全体同学要从A地到相距18千米的B地去游玩，只有一辆汽车，所以把全体同学分成甲、乙两组，先让甲组乘车，乙组步行，同时出发；开到途中的C地，甲组下车步行，汽车回去接乙组，把乙组送到B地时，甲组也恰好同时到达B地。若汽车的速度是60千米／时，步行的速度是4千米／时，求A、C两地之间的距离及两地之间的距离及两组同学各步行了多少千米。﹙某资料七年级数学二元一次方程组测试题倒数第二题﹚
解法一：﹙思路：①乙ef段时间＝空车cf段时间＝甲cg段时间；
②乙af段时间＝甲ac段时间＋甲cg段时间；
③甲cb段时间＝空车cf段时间＋乙fb段时间。﹚“②③是对称的”
设甲坐车走了x千米，乙坐车走了y千米。
乙： 甲：
， 代人法？加减法？
解法二：﹙创造性思维：整体把握﹚x＝y。
﹡﹡七年级，过难过难！九年级，难。
﹡﹡难度适应的题目何其重要！
4.从对话中发现了解学生思维，引导，并使其真懂。
从与学生的对话中常获益多多！
例3 一道常规题的求解对话过程
如图，是由一个五角星每个角剪去一部分所形成的，那么图中的和＝ 度。
问：你的结果是多少？
答：2160°。
问：你是怎样算的？
答：2700－540＝2160°。
问：遇到这个问题时，你敢不敢做？
答：敢。
问：那你当时是怎样想的？
答：我观察中间的五边形，……有5个五边形，加起来时有有重复，并且知道内角和。（仅少了重复几次。）
说：你具体地列一列：M1+M2+H+I+J=540°
M3+M4+I+J+F=540°
M5+M6+J+F+G=540°
M7+M8+F+G+H=540°
M9+M10+G+H+I=540°
问：重复了几次？﹙重复的确定﹚
答：3次。
问：由此得出的最后结果是什么？
答：S+3﹙H+I+J+F+G﹚=2700°
问：不列时，能否确定重复的次数？怎样确定？……
（每次出现3个，共出现15次；共有5个字母，每个出现3次。）
问：还可怎样求解？……
A＋M10＋M20＝180，……E+M90+M100=180°
﹙记M10为……三角形的内角，其他类似﹚
（A+B+C+D+E+10×180°-S=5×180°）――转化为……
﹡﹡比较：……
﹡﹡做点不要钱的家教，从中充分展开对话。
5．注重分析与反思，提升思维能力与品质
例4 小刚在求一个多边形的内角和时，由于疏忽，把一个内角加了两遍，而求出的结果为2004°，请问这个内角是多少度、这个多边形是几边形？
分析一：，n＝13，2004°－1980°＝24°
学生：1980÷13＝……？为什么除不尽？（困惑）……为什么一定要除尽？
分析二：
，→→n＝13→代人再求。
比较：直观与定性把握。
6．抓住关键，寻找突破口
例5 已知直角三角形ABC中，BD⊥AC于点D.O是BC的中点，连结AO，OF⊥AO交AC于点F.设，求的值。
思路：能否建立OE与OF的直接联系；由中点想到什么。
拓展:点O不是中点，会有怎样的结果？
反思：也不是简单地从已知中盲目、无方向地列式与推演。
7.抓住数学本质，洞察异中之同
例6﹙2008年﹚已知：如图所示的两条抛物线的解析式分别是
，（其中为常数，且）．
（1）请写出三条与上述抛物线有关的不同类型的结论；
（2）当时，设与轴分别交于两点（在的左边），与轴分别交于两点（在的左边），观察四点坐标，请写出一个你所得到的正确结论，并说明理由；
（3）设上述两条抛物线相交于两点，直线都垂直于轴，分别经过两点，在直线之间，且与两条抛物线分别交于两点，求线段的最大值．
﹙2009年﹚如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为.
（1）直接写出、、三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为；
①用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？
②设的面积为，求与的函数关系式.
8.解答学生心中的困惑，相信学生经过能力，都能成功
复习过程中，学生可能有下列困惑或问题：
问题1：我努力了，一定能考好吗？
问题2：今年的中考数学试题会很难吗？
问题3：课前，我该怎样预习？
问题4：课中，我该怎样听课？
问题5：课后，我该怎样复习？
问题6：怎样解答选择题？
问题7：怎样解答填空题？
问题8：解答常规求解证明题时要注意什么？
问题9：解答有关阅读理解、操作性试题要注意什么？
问题10：如何解答开放题？
问题11：如何解答探究题？
问题12：如何突破应用题？
问题13：如何突破综合题？
问题14：遇到新题怎么办？
问题15：哪些内容是考试的重点？
教材中最基本、最核心、用途广泛地知识点、基本技能、基本思想方法、基本数学能力等是数学中考的重点。代数中，如有有理数的意义与运算，等式、不等式、分式的性质，一次函数、反比例函数、二次函数的图象特征，一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、一元一次不等式﹙组﹚的解法，列出方程或解析式来解决简单的实际问题，化复杂为简单、化未知为已知的思想，消元法、配分法、待定系数法等。几何中，平行与垂直，两点之间直线段最短，三角形内角和定理、勾股定理，等腰三角形、直角三角形、一般的平行四边形、特殊的平行四边形、梯形等的性质与判定，两个三角形全等或相似的性质或判定，图形的变换，锐角三角函数及其应用，圆的有关性质，化复杂图形为简单图形的思想方法，将复杂问题转化简单问题来处理的思想方法，分类讨论问题的思想方法等。统计与概率中，平均数、中位数、众数、频率、概率等的意义，统计图的画法与识别，用样本估计总体、用频率估计概率等思想，用统计结果进行推断的方法等，这些都是中考关注的重要内容。从对能力的考查来说，运算能力、合情推理与逻辑推理的能力，空间想象与直观把握图形的能力，数学应用的意识等也常中考数学涉猎的、甚至是必不可少的内容。因此，你在复习过程中，应当知己知彼，知道自己哪些掌握较好，哪些较弱，较弱的应通过自己的能力或别人的帮助及时补上。
问题16：题目做得越多越好吗？
问题17：学习过程中遇到困难怎么办？
问题18：怎样才能将书读薄来？
问题19：学习过程中应当养成哪些好习惯？
问题20：怎样使自己在考试中发挥得更好？
9. 分析题目的功能，充分发挥每道题目的作用
例7 ﹙1﹚若，则 ．
略说：观察，然后变形。
﹙2﹚ 如图3，刀柄外形是一个直角梯形（下底挖去一小半圆），刀片上、下是平行的，转动刀片时形成，，则 度．
略说：抽象﹙数学化﹚，然后分析。
﹙3﹚ 已知边长为的正三角形，两顶点分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的长的最大值是 ．

略说：想象与分析的结合。
﹙4﹚ 一天晚上，小伟帮妈妈清洗茶杯，三个茶杯只有花色不同，其中一个无盖（如图），突然停电了，小伟只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起，则花色完全搭配正确的概率是 ．
略说：化为相应的数学问题。
例8 阅读下列计算程序:
当x0=1200时,输出的y值是多少?
问经过二次运算才能输出y的值,求x0的取值范围.
略说：读懂程序，注意细节﹙思维的严谨性﹚。
例9 请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 ．
①过点；
②当时，y随x的增大而减小；
③当自变量的值为2时，函数值小于2．

略说：逐步满足条件。
例10 如图12，有一个边长为5的正方形纸片，要将其剪拼成边长分别为的两个小正方形，使得．①的值可以是________（写出一组即可）；②请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法具有一般性.
思路探讨：探究性分析。
思路1：

思路2：

例11﹙Ⅰ﹚ 在中，，点是直线上一点（不与重合），以为一边在的右侧作，使，连接．
（1）如图1，当点在线段上，如果，则 度；
（2）设，．
①如图2，当点在线段上移动，则之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点在直线上移动，则之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
略说：探究，并变形。
﹙Ⅱ﹚ 问题探究
（1）请在图①的正方形内，画出使的一个点，并说明理由．
（2）请在图②的正方形内（含边），画出使的所有的点，并说明理由．
问题解决
如图③，现在一块矩形钢板．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的和钢板，且．请你在图③中画出符合要求的点和，并求出的面积（结果保留根号）．


略说：活用与能力。
例12 如图1、图2，是一款家用的垃圾桶，踏板（与地面平行）或绕定点（固定在垃圾桶底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持）．通过向下踩踏点到（与地面接触点）使点上升到点，与此同时传动杆运动到的位置，点绕固定点旋转（为旋转半径）至点，从而使桶盖打开一个张角．
如图3，桶盖打开后，传动杆所在的直线分别与水平直线垂直，垂足为点，设=．测得．要使桶盖张开的角度不小于，那么踏板离地面的高度至少等于多少？（结果保留两位有效数字）（参考数据：）
图①


略说：敢于，分解，数学化。
二、全面考查数学教育，平稳实施数学评价
﹙一﹚全国2009年中考数学试题题型分类
下面是基于问题的“题型运用分析”内容结构
1. 操作型问题
﹙1﹚测量型问题
①数值性结果
②方案性结果
③断性结果
﹙2﹚几何操作型问题
①按要求画出图形
②先作几何操作后完成有关任务
﹙3﹚求解型问题
①生活情景
②纯数学情景
2. 推理型问题
﹙1﹚合情推理型问题
①动态的方式
②静态的方式
﹙2﹚说理型问题
①结合运算的说理
②证明性的说理
③综合性的说理
3. 应用型问题
﹙1﹚决策型问题
①方案设计型问题
②判断型问题
③方案决策型问题
﹙2﹚实际中的最值型问题
﹙3﹚其他应用型问题
4. 学习型问题
﹙1﹚对概念与规律的理解
﹙2﹚对过程与方法的理解
﹙二﹚2009年江西中考数学试卷数量分析
考生数
优秀
人数
及格
人数
不及格
人数
最高分
最低分
平均分
及格率
优秀率
69363
21732
42460
26901
120
0
75.7
61.2％
27.5％
题目
题1
题2
题3
题4
题5
题6
题7
题8
题9
10题
11题
12题
满分
3.00
3.00
3.00
3.00
3.00
3.00
3.00
3.00
3.00
3.00
3.00
3.00
平均分
2.80
2.58
2.70
2.78
2.45
2.83
1.95
1.95
2.43
2.28
2.33
2.68
难度
0.93
0.86
0.90
0.93
0.82
0.94
0.65
0.65
0.81
0.76
0.78
0.89
题目
13题
14题
15题
16题
17题
18题
19题
20题
21题
22题
23题
24题
25题
满分
3.00
3.00
3.00
3.00
6.00
7.00
7.00
8.00
8.00
8.00
9.00
9.00
10.00
平均分
1.43
2.05
2.48
2.18
5.32
4.67
5.25
5.33
2.88
3.88
3.23
3.16
3.42
难度
0.48
0.68
0.83
0.73
0.89
0.67
0.75
0.67
0.36
0.48
0.36
0.35
0.34
3. 途径：﹙1﹚让不同层次学生的数学能力得到充分展现。(2)处处为学生着想。
三、深化数学教育内涵，不断改进考试评价
努力做到四个满意：学生，教师，评价者，命题者。
江西省2010年中考数学说明略说。
从理念到细节，努力让试卷渗透良好的价值取向；努力发挥试卷的教育价值。让学生经历有价值的体验，获得良好的感受。
1. 数学学科学业考试应当在知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度等方面对学生进行全面的考查，不仅要考查对知识与技能的掌握情况，而且要更多地关注对数学思想方法本身意义的理解和在理解基础上的应用；不仅要考查学生的数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识与推理能力，而且要重视对学生的思维过程以及发现问题、提出问题、解决问题和数学表达等方面的考查；应当设计有结合现实情景的问题和开放探索性问题等；不出人为编造、繁难的计算题和证明题。
中考数学学业评价的指导思想是：有利于全面考察学生的学习状况、激励学生的学习热情、激发学生的创新意识和创造精神，有利于体现素质教育导向、促进学生的全面发展、进一步推进基础教育课程改革的实施，有利于高一级学校选拔合格的、具有学习潜能的新生。
2．考试形式和试卷结构
考试采用闭卷笔试形式，全卷满分为120分，考试时间为120分钟。
“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”三个领域所占分值比例约为45％、40％、15％，并将“课题学习”渗透到有关内容之中。
试题由客观性试题和主观性试题两部分组成，客观性试题和主观性试题两部分的分值比例为40％：60％。
客观性试题包括选择题和填空题，选择题8道，每道3分，共24分；填空题8道，每道3分，共24分。主观性试题有9道，包括操作(作图)题和解答题(包括计算题、证明题、开放题、探索题、应用题等)，共72分。选择题是四选一型的单项选择题；填空题只要求写出结果，不必写出计算过程或推证过程；作图题只要求保留作图痕迹，不要求写作法；解答题在解答时都应写出文字说明、演算步骤或推理过程。
试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，三种试题分值之比为5：3．5：1．50 。
整卷试题的难度系数约为0．60。
3. 样卷及其特点略说
﹙1﹚小题中设置新题，新而不难
题1 （Ⅰ）如图，1~7号零件自上面严格垂直推进匣子，下列推进的
的顺序中，正确的是（ ）
A．1，3，2，7，6，5，4
B．2，1，3，7，5，6，4
C．2，7，5，6，4，1，3
D．1，5，4，7，2，6，3
（Ⅱ）两本书按如图所示方式叠放在一起，则图中相等的角是（ ）
A．∠1与∠2 B．∠2与∠3 C．∠1与∠3 D．三个角都相等
﹙Ⅲ﹚在如图所示的正方形网格中，的三个顶点是格点，则tanC=　　　．
说明：选择填空题中，除了常见的基础题目外，也常设计一些新面孔的题目，这类题目通常略有思考性，但一般不难。主动地选做一些题目，有利于培养自己的能力，应选做一些。
2.将设置与计算器有关的试题，形式不定
题2（选做题：在下两题中选做一题）
（Ⅰ）在，，，…，中无理数个数是 ．
（Ⅱ）用计算器计算： ＋－＝ .（精确到0.01）
说明：今年的中考数学卷中将命制涉及计算器方面的试题，它可以是以选做题的方式呈现，也可以其它方式呈现。
3.将继续采用新形式的填空题
题3 二次函数的部分对应值如下表：
…
…
…
…
抛物线的顶点坐标为(1,-9)；
与轴的交点坐标为(0,-8)；
③ 与轴的交点坐标为(-2,0)和(2,0)；
④ 当x= —1时，对应的函数值y为—5．
以上结论正确的是 .
说明：这种填空题，常以“正确的序号是”的形式出现，可能有多个正确答案，并且常安排在最后一道题位置。
4. 基础性的常规题仍是试题的主体
题4 ﹙Ⅰ﹚解方程：
﹙Ⅱ﹚如图，△ABC内接于圆，D是BC上一点，将∠B沿AD翻折，B点正好落在圆上E点处.
（1）求证：AD过圆心：
（2）若已知：∠C=38°，求∠BAC的度数.
﹙Ⅲ﹚某商场三月份销售某品牌电视机，统计了其中三种型号电视机的销售量如下表所示：
电视机型号
A型
B型
C型
销售量（台）
5
10
20
根据本月每种型号电视机的销售金额和每种电视机型号的单价(销售金额=销售量×单价)，制作如下统计图：
（1）求该商场三月份销售这三种型号电视机的总销售金额；
（2）求出B、C两种型号电视机的销售单价，并把图（2）中的条形统计图补充完整；
（3）四月份，该商场在“家电下乡”销售中B、C两种型号电视机共销出60台，销售金额为150000元，求B、C两种型号电视机在四月份各销售了多少台？
说明：对于化简求值、解方程（方程组）之类的技能性的题目，重要的核心概念，基本的推理技能，统计图、概率的理解与计算等基础内容，常是考试的基本对象，应当熟练掌握。
5.对应用问题的考查力度保持历年的水平
题5 中华人民共和国国旗的型号如下（单位：mm）：
型号
长
宽
1号
2880
1920
2号
2400
1600
3号
1920
1280
4号
1440
960
5号
960
640
6号
660
440
国庆60周年，大街小巷到处悬挂国旗。按国旗法规定，在一般街巷两侧的单位、商户用4号国旗．插挂国旗的不锈钢旗杆或竹竿长度可为1.5米，插挂旗杆的下端离人行道地面2米，与地面夹角呈60°角。升挂国旗要规格、高度一致，国旗旗面整洁鲜艳．﹙可用计算器计算﹚
（1）观察表中数据，写出长与宽的关系；
（2）如图1，国旗展开时，求E点离墙面AB最远的距离（结果保留四个有效数字）；
（3）如图2，国旗垂下时，求F点离地面AG最近的距离（结果保留四个有效数字）．

图① 图②

题6 为了防控甲型H1N1流感，某初级中学安排该校三个年级一天内完成甲型H1N1流感疫苗的接种任务，接种安排如下表所示。已知接种组每分钟接种3人.
接种时间
上午8：30－12：00
下午14：30－16：30
接种年级
七、八年级
九年级
（1）已知七年级学生数是八年级学生数的，若上午按时完成接种任务，求七、八两个年级的学生数；
（2）上午接种过程中，由于心理因素，有12名学生未能顺利接种,这12名学生就与九年级学生一道下午接种，且提前了t（t≥0）分钟完成全部的接种任务.试比较八年级人数与九年级学生人数的多少，并说明理由.
说明：应用性试题历来是中考的一个重要内容，它主要考查学生将实际问题转化为数学问题并进行求解的能力，对此，应高度重视。
6. 开放探索题深受关注
题7 如图，大⊙O半径OA交小⊙O于C,弦AB=OA,OA=2OC,连接BC并延长交大⊙O于D,连接OD.
(1)由观察易知:∠ACB=∠DCO,∠ACD=∠BCO,AB=OD=OA等结论,除此之外请你再写出三个不同类型的正确结论;
(2)BD与小⊙O是什么位置关系?试证明你的结论.
题8 已知A、B、C、D四个实数的平均值为k，各数分别与k的差如下表：
A
B
C
D
a
（1）除实数A外，问哪个实数与k相差最大？
（2）表中第二行各数的和有怎样的特征，试证明你的结论；并求出a的值。
题9 如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与 轴相交于点，顶点为D.
（1）直接写出关于抛物线的两条结论；
（2）设点Q是线段OB上的一点，△CDQ的面积的最小值为，
①求抛物线的解析式；
②设点为该抛物线对称轴上的一个动点，若的值最大，求点的坐标.
说明：开放探索、证明推理是数学学习的重要内容，也是考试的热点。这样的试题对教学有良好的导向作用，常是不可或缺的题目，不应回避。
7.大题中设计创新试题是大趋势
题10 某班课题学习小组，进行了一次纸杯制作与探究活动，所要制作的纸杯（如图①所示）规格要求是杯口直径AB=6cm，杯底直径CD=4cm，杯壁母线AC=BD=6cm，并且在制作过程中纸杯的侧面展开图不允许有拼接.在这样一个活动中，请你完成如下任务：
（1）求侧面展开图（图②）中的所在的圆的半径r的长；
（2）若用一个矩形纸片，按供第﹙2﹚问用图所示的方式剪出这样一个纸杯的侧面，求这个矩形纸片的长和宽.
（3）如果给你一张直径为24cm的圆形纸片（如图中⊙Q），你最多能剪出多少个纸杯侧面？（不要求说明理由），并在图中设计出剪裁方案.（图中是正三角形网格，每个小正三角形边长均为6cm）.
题11 有一个直角三角形纸片BCE，设点A是斜边BE上的一点，连结AC，现沿AC将纸片剪开，并将纸片ADE顺时针旋转摆放成图2、图3、或图4的样子。
如图2，当点A是中点，且DE∥BC时，求∠BAE的度数；
如图3，当点A是中点，但DE不平行于BC时，设M是DE的中点，连结AM交BC于点N，求证：∠ANB+∠BAE=180°；
﹙3﹚ 如图4，当AB＜AE时，设M是DE上的一点，连结AM交BC于点N，若∠ANB+∠BAE=180°，那么点M在DE上的位置满足什么条件？
说明：呈现形式新颖、或问题构造有内涵、重在考查学生思维能力的创新试题，它可以框图、操作性活动等形式为载体来构造试题，也可以是课题学习的形式来设问，近年来受到较大的关注，也应当是值得努力的方向之一。这类试题，因以考查能力为根本，因此除了适量做些适应性的题目外，更重要的敢思、肯思，在尝试思考与反思总结中，提高自己的能力。
祝愿：学生在学习与考试成功中开心，
教师在学生成功与自身成长中微笑。
初三备考让学生的解题能力上一个台阶
在进入初三复习时,作为一名老师不要一昧地给学生提要求而应该在复习前把三年的教材仔细地梳理一遍，学生在复习前知识是零散琐碎的，而我们老师不能，教材编排上有符合认知结构螺旋上升的特点，我们要让章节的复习，学生知识网络的形成，解题能力的提升也体现这一特色。就像螺旋上升的楼梯一样，在螺旋上升中让学生感觉上升的幅度不大，但却轻而易举地爬到了高处。下面结合我的教学实践谈谈我在初三备考时提高学生解题能力的方法，没有高深的数学理论，只是我在教学中的一些体会和做法。
方法一：注重单一知识点的训练，章节复习有良好的开端。
很多老师在章节复习时急于把知识模块化希望能在学生的头脑中形成一定的知识网络，但我在一线教学却不这么认为。我把每章节的复习时分两个阶段进行，首先梳理单一知识点，然后再引导学生形成知识网络。我坚持在复习每个章节时牢抓单一知识点的梳理，不急于求成，不急于上升到模块知识体系，让底子薄的学生捡拾信心，让他们觉得我也能解决问题，有了信心才不会轻易放弃，我这种思想和方法将一直贯穿在整个章节知识点的复习当中。针对不同的章节根据学生的掌握情况采用不同的方法。例如在复习“数与式”时针对有理数，无理数，整式，分式的有关概念和运算这部分考题大多在中考中以容易题出现，考察的知识与技能单一如：
（1）－的绝对值是＿＿＿（青海）
（2）在实数，－，0，，0．020020002中无理数有＿＿＿（湖北宜昌）
（3）化简a+b+（a-b）的最后结果是（ ）
A：2a+2b B： 2b C： 2a D： 0 （浙江） 几乎所有的学生依靠平时知识的积累都能很较好的解决，不必花费过多的时间，但切记不可跳过不提。又如在复习“图形的位置与变换”时，学生的遗忘率普遍较高，我则采用纠错的方法复习巩固。单一平移知识试题，单一旋转知识试题，单一位似知识试题，我一律让同学们先在自己的脑海中搜索有关知识，自己尝试解决问题，然后在纠错中掌握基本知识与概念。在每章节的这一阶段我要让我的学生都到该记的记住（如概念），该练会的练会（如运算），我要表扬他们抓住每天的闪光点。我这样做的目的是使我的学生在每章节的复习中都能动手，动笔，都能做基础题，有信心，有健康的心理把初三的复习进行下去。
方法二：巧用中考题，复习有良好的心理。
这是和方法一紧密联系的牢不可分的，也将贯穿在整个复习过程当中。我在每章节的复习中尤其是单一知识点的梳理时，必须收集与之相关的中考题备用，保证每一堂课至少一道有题效的中考题，熟悉自然就会亲切，我要让我的学生对中考题消除畏惧感有良好的解题心
理。如在复习一元一次不等式及不等式组的基本知识时：
不等式3x+2≥5的解集是＿＿＿（北京）
不等式组 2x+3＞7的解集是＿＿＿（江西）
3－x＞－2
这两道中考题都能保证题效，符合《课程标准》中对该部分知识的考察要求。也许有的老师认为这样的题太简单不值得一练，我却认为我的学生通过这样的中考题的训练不是已经具备了基本的解题能力吗？我这样做能在中考中减少低分率甚至消灭低分率。当然在保证题效的基础上对优良的学生要有拓展的空间，如：
已知关于x的不等式组 x–a≥0只有四个整数解，则实数a
5-2x＞1
的取值范围是＿＿＿（长沙）
这不但使复习课的内容得到了延伸，优良的学生有提高解题能力的空间，同时也会激发底子薄的学生的求知欲，增强复习课的氛围，在兴趣中提高解题能力。
方法三：科学建立知识体系，复习有效度。
在章节复习的第二阶段我要在我的学生能拿基本分，能做基础题的基础上引导他们形成自己的知识体系网络。如引导学生形成方程与不等式的知识网络，体现知识能力螺旋上升的思想，我会这样做：
（一）预备工作：把学生不同层次搭配好分成若干个小组。
（二）老师提问：我们会解哪些方程？你是如何解的？每个小组可以一半人出题，尽量不出相同类型的方程，另一半人求解并告诉出题的人你是了什么方法，如何解出来的？
（目的：激发每个学生主动学习，自动去搜索相关的知识）
（三）我在参与一组的学习后，收集每组的问题及解答，我发现一般会出现以下问题：（1）一些同学解题慢，不同方程间的解法混乱。（2）有解方程的方法但易出错。（3）有同学构造的方程出现特殊情况，如有无数解，没有解。
（四）我分类整理同学们自己出的方程及解答，展示给同学并引导帮助他们从散乱的知识逐渐形成知识网络：
定义
一元一次方程
解法 定义
整式方程 二元一次方程（组）
定义 解法
方程 一元二次方程
定义 解法
分式方程
解法
（五）不回避学生的错误，让错误充分暴露。纠正错误的同时也是学生的知识网络清晰完善的过程。我展示分析错误，学生小结并做好笔记，如：去分母时不依据等式的基本性质乘以方程中的每一项；一元二次方程漏根；分式方程忘记验根。
（六）我在学生的知识网络渐渐形成后，指出有的学生所出方程出现特殊解的原因，让学生明白即可，学有余力的学生欢迎课后再与同学及老师交流。
在后面的学习中，我会用类似的方法引导帮助学生形成关于不等式（组）的知识结构并类比与方程。我这样做的目的是：经过如此循序渐进的复习后，所有的学生尤其是底子薄的学生在掌握单一知识点的同时慢慢形成知识网络，关注知识间的联系，在类比，纠错的过程中能掌握中考所需考察的数学基本知识及基本技能的要求。在形成知识网络时又巩固了该章节的单一基础知识，使知识的复习和掌握体现螺旋上升的特点。
学数学，用数学，我接下来又遵循螺旋上升的认知原理从方程与不等式的应用层面进行能力的训练，使学生的解题能力也随之上升。对学生而言等式比不等式易理解和掌握，与方法二紧密联系我会设置有题效，有梯度的中考题进行训练。
如：例1：（南宁）小李骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地，两人都是匀速前进。已知两人在上午8时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米，求A，B两地的路程。
例2：（江西）甲，乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线L起跑，绕过点P跑回起跑线，途中乒乓球掉下时需捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜，结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完，事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间和为50秒”乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1．2倍”根据以上信息，请问哪位同学获胜。
例3：（深圳）“震灾无情人有情”民政局将全市为四川受灾地区捐赠的物资打包成件，其中帐篷和食品共320件，帐篷比食品多80件。
求打包成件的帐篷和食品各多少件？
现计划租用甲，乙两种货车共8辆，一次性将这批帐篷和食品全部运往受灾地区。已知甲种货车最多可装40件和食品10件，乙种货车最多可装帐篷和食品各20件，则民政局安排甲，乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来。
在第（2）问的条件下，如果甲种货车每辆需付运输费4000元，乙种货车每辆需付运输费3600元。民政局应选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？
分析：例1贴近学生生活，利用线段图分析便于找出等量关系，从“列方程→→解方程→→解决问题”的过程提升解决问题的能力。例2有趣味性同样的行程问题但所列为分式方程，同样训练学生“用方程→→列方程→→解方程→→解决问题”的能力，但要求学生思维更周到。例3在前两题的基础上引入不等式，综合使用方程与不等式来解决问题。有前两题的分析基础第（1）问可兼顾所有的学生，第（2）问我会这样问“用方程可以解决问题问题吗？怎么办？”分小组讨论人人参与，引导绝大部分学生向不等式转化。经过这样的训练对方程与不等式的知识模块基本可以形成，达到《课程标准》考察的要求。
引导学生形成知识网络的过程中我的做法时刻兼顾底子薄的学生，激发他们复习状态的持久性。在这个阶段我在教学中一定注意不求全，求深，不强求训练每个学生的综合解题能力。因为根据教材的编排特点很多知识点会反复呈螺旋上升（例如在函数的知识模块中会再次涉及方程与不等式的应用），我也要让我的学生解题能力呈螺旋上升，缓解复习解题的压力。又如在复习函数模块时我会这样做：
函数的知识模块如下：
函数的定义及意义
定义
一次函数 图象与性质
应用
定义及与一次函数的关系
函数 正比例函数 图象与性质
应用
定义
反比例函数 图象与性质
应用
定义
二次函数 图象与性质
应用
从两个层面（1）函数的意义与性质（2）函数的应用，进行复习后，我会用专门的课节再次把方程（组）与不等式的知识融合其中。如：我会设计这样一堂课：
每人发一张纸上面有这样一些问题：
二元一次方程2x+y=1有＿＿＿组解→→直线Y=-2X+1上有＿＿＿个点，每个点的坐标与方程2x+y=1的解有什么关系？
方程组 2x+y=1的解是＿＿＿，→→直线y=1-2x与直
y-x=4
线y=x+4有怎样的位置关系？方程组的解与它们又有怎样的联系？
如果把（2）中的方程组换成 2x+y=1 呢？
6x+3y=11
换成方程组 2x+y=1 呢？你发现了什么？
6x+3y=3
把你的发现与同学和老师交流。（每个小组都有不同层次的同学，我做到人人都有交流的对象。）
我再选三道有梯度，针对性强的例题：
显然 x+y=1 没有解，由此可见一次函数y=-x+1与
2x+2y=11
y=-x+的图象必定（ ）
A：相交 B： 平行 C： 重合 D： 无法判断
（二）用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（ ）
A： x+y-2=0 B 2x-y-1=0 C 2x-y-1=0 D x+y-2=0
3x-2y-1=0 3x-2y-1=0 3x+2y-5=0 2x-y-1=0
（三）（浙江台州）如图所示，直线L：y=x+1与直线M：y=mx+n相交于点p（1，b）
（1）求b的值；
（2）不解关于x，y的方程组 y=x+1 请你直接写出它的解；
y=mx+n
（3）直线y=nx+m是否也经过点p？请说明理由。
分析：通过例1让学生运用讨论交流的结果，让他们感觉学了就能用，激发兴趣。通过例2让学生在函数模块的复习中再次回顾方程组的解法产生方程与函数知识间的自我联接。例3是道有题效的中考题考察的目标明确。同样的方法我可以再引导学生关注不等式与函数的联系。通过如此类型课的设计并不仅仅是简单的重复而是在重复中上升，让我的学生的解题分析能力逐步提高。
方法四：重视知识的纵向，横向联系，复习有深度。
在学生对初中的知识模块有了一定的了解和认识的基础上，在章节知识复习后我开始“串知识”，以“串知识”为媒介使我的学生的解题能力再上一个台阶。何谓“串知识”实际就是开始训练学生的综合解题能力，关注知识模块之间的横向联系，这也是和方法三相辅相成的紧密联系的。其实教材在编排上不但有螺旋上升的特点而且也特别注重知识间的关联。（如八年级上册的“二元一次方程与一次函数”，下册的“一元一次不等式与一次函数”，九年级的“二次函数与一元二次方程”等等）我这样做的目的是学生对知识板块及之间的联系越熟悉越全面，他寻求解题方法的反应就越快捷。就如在“圆”中横向联系“三角形”，“四边形”我发现越熟悉“全等三角形及特殊三角形”“特殊四边形”的性质的同学越容易产生链接，实现转化，快速地寻求解题方法。我在这一阶段也同样注重“综合性”的逐步推进，使不同层次的学生获得不同层次的提高。由单一的知识层面过渡到两个，三个甚至多个体现知识的横向联系及纵向深化。例如：
例1：（武汉）直线y=kx+b经过A（2，1），B（-1，-2）两点，则不等式x＞kx+b＞-2
的解集为＿＿＿
例2：（湖南湘潭）我市花石镇组织10辆汽车装运完A，B，C三种不同品质的湘莲共100吨到外地销售，按计划10辆汽车都要装满，且每辆汽车只能装同一种湘莲，根据下表提供的信息，解答以下问题：
湘莲品种
A
B
C
每辆汽车运载量（吨）
12
10
8
每吨湘莲获利（万元）
3
4
2
设装运A种湘莲的车辆数为x，装运B种湘莲的车辆为y，求y与x之间的函数关系式；
如果装运每种湘莲的车辆都不少于2辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；
若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值。
以上两题都涉及函数，方程组，不等式组的综合应用与转化，但对学生而言的“难度”就不一样。例1文字阅读量小，题意明了，直接借助方程组转化为不等式组，易鼓励学生求解，让他们感觉虽然是综合题但是我也能解。例2文字阅读量大，运用方程组求X与Y的函数关系式还有参数Z渗透消元的思想，转为不等式组求变量的取值范围来确定方案时也不直接明了，比照例1该题对学生而言要求高得多。我每节课都必须注重“综合性”的不同，时刻兼顾我的所有学生，他们在解答了第一题的基础上有了一定的满足感，就会有想分析解答第二道题的欲望，不一定解答的很完美但是却能让他们在体验“综合”题的同时有勇气将复习朝深度推进。
方法五：培养数学素养，复习上水平
在我的学生已经具备了一定的综合解题能力后，我开始用专题的形式培养我的学生的数学素养。数学素养主要表现在：具有较扎实的基础知识与基本技能，能灵活地运用所学数学知识解决力所能及的实际问题和数学本身问题；能用数学的眼光观察现实生活，并能提出某些数学问题；能够用数学的思维方式来思考，分析问题；能够对数学与社会生活的关系及其作用有正确的认识等方面。在前面不同阶段的复习中，我都一直注重所有学生的基本能力和基本技能的训练。在复习向深层次推进时，我的指导思想是：首先能让所有的学生都在学，都在思考。其次能让所有的学生都能学，都能思考。努力兼顾不同层次的学生让不同层次的同学在这一阶段的解题能力得到不同的提高，我会这样做：
（1）按“探究性活动”，“探究规律活动”，“数学建模解决实际问题”等等收集相关的中考试题及典型范例。
（2）每道范例的分析讲解我都会问我的学生“你用了哪些知识？”，“如果这道题是你出的你想考学生什么？达到什么目的呢？”“你还能提出什么问题？还有什么想法吗？”“你认为体现了我们平时感悟的什么数学思想呢？是怎么体现的呢？”。复习越向深层推进我越坚持还课堂给我的学生，让他们有思考，讨论的时间，让他们有时间在自己的知识网络中寻求能解决问题的思路和方法。虽然有的学生的底子薄但是只要他们能想哪怕只是一点一滴，我都认为达到了复习目的。
例如：（山东日照）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2．．．按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3．．．．和点C1，C2 ，C3．．．分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴
上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则点Bn的坐标是＿＿＿。
本题综合了一次函数，正方形的性质来探究点的坐标规律，是一道能很好地提高学生综合利用知识的好题。对不少学生而言有相当的难度，为了兼顾不同层次的学生我会这样做：
老师首先设问（一）“只有两个点的坐标能看出坐标的规律吗？我们应该怎么做？”
（二）“你认为 B1，B2两点的坐标怎么用？只告诉你一个点的坐标行吗？”
（三）“你能提出什么问题？困难在哪里？”
（四）“在你的解法中体现了什么数学思想和方法？”
接下来我收集各小组思考讨论的成果及提出的问题。一般有这样的情况，我按层次整理反馈。（a）受老师第一问的启发都能联想到求B3，B4的坐标，主动到自己的知识体系中寻找求点的坐标的方法。（b）提出问题“不知道B1，B2的坐标与B3，B4的坐标的联系在哪里？”（c）“我们能把B1，B2的坐标结合正方形的性质转成A1，A2的坐标，并转化为二元一次方程组求直线表达式，但却不知道如何下去？直线表达式有何用？”（d）“我们不但能求表达式，并能逆向思维通过求A3，A4的坐标推出B3 ，B4的坐标，建立从已知到结果的过程，很高兴还能体会解题过程中的转化，数形结合的数学思想。但却在探究规律时有困难。”
在同学提问与解答中，提问题（b）的这部分同学自然受提问题（c）的同学启发在老师的帮助下解答了自己提出的问题，并加入到这部分层次的学生中。类似的受提出问题（d）的同学启发又会逐步加入到这部分层次的同学中，思维能力在一步一步向深层发展。使得复习向深层推进我仍然能兼顾我的所有学生。我不求每堂课的题量，有时在这个阶段我一节课只分析讨论了一道题，我却让我的绝大部分学生跟上复习的步伐哪怕他跟在队伍的后面。
方法六：重视压轴题，消除备考畏难情绪，提高解题发挥水平
经过前面有层次，有螺旋上升特色的复习后，我的不同层次的学生的解题能力会得到不同层次的提高。最后阶段我会把各个省市的中考压轴题分类整理，每堂课上少则一道多则两道，看时间允许，不求分析多分析全，只是重视这个过程。我会引导每个学生解答第一，第二小问，让他们体验到若把压轴题的第一，二问换成单个的问题其实并不难。例如：
（江西）正方形ABCD和正三角形EFG的边长都为1，点E，F分别在线段AB，AD上滑动，设点G到CD的距离为X，到BC的距离为Y，记∠HEF为a（当点E，F分别与B，A重合时，记a=0。°）
当a=0°时，求X，Y的值（结果保留根号）
当。A为何值时，点G落在对角线AC上？请说出你的理由，并求出此时X，Y的值（结果保留根号）
请你补充完成下表（精确到0．01）
A
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
X
0．03
0
0．29
Y
0．29
0．13
0．03
若将“点E，F分别在线段AB，AD上滑动”改为“点E，F分别在正方形ABCD上滑动”当滑动一周时，请使用（3）的结果，在图中描出部分点后，勾画出点G运动所形成的大致图形。
这道题的第一，二问转化为三角形和四边形的知识求解并不难便是实证。当我告诉他们这道题的平均得分只有1．66分时，大大鼓舞了他们解答中考压轴题的信心，降低对压轴题的畏难情绪。
我这样做是为了让我的学生在中考中从头至尾有良好的解题心态，尽量使学生的解题水平的发挥不受主观原因的影响，降低低分率甚至消灭低分率的同时追求优秀率。
以上几点方法是我在教学一线的心得体会和小结，在螺旋上升中提高学生的解题能力，提升学生兴趣，使其有良好健康的心态备战中考。
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课件25张PPT。 小学生 小作业 小话题 大教师 大讲究 大关爱玉山一中文苑学校 刘向阳一.丰富课堂，减少作业二.认真设计，优化作业三.以人为本，适宜作业四.齐抓共管，反馈作业五.培养能力，多元作业六.授人以渔，科学作业七.学会归纳，分类作业教师累了 学生乐了 效率高了 关爱现了一.丰富课堂，减少作业.△教师要认真备课
教师多花一分，学生少用一秒，课前认真设计，要让学生吃饱，少留课外作业，关爱学生为要。△练习要切合例题
让学生有学以致用的快感。△练习要循序渐进
让学生有挑战极限的愉悦。二.认真设计，优化作业.1.体现情境性2.体现开放性3.体现实践性4.体现层次性5.体现创新性例1.（教学内容：“你今年几岁了”）作业设计：在2003-2003赛季意大利足球甲级联赛的九轮比赛中，尤文图斯队保持不败，共积分25分，按比赛规则：胜一场得3分，平一场得1分，问该队共胜了几场？评析：这种短小精悍的新题，难度不大，把列方程解应用题和学生感兴趣的足球联系起来。体现情境性例2.（教学内容：“完全平方式”）作业设计：请把五组数值（a=1，b=2）（ a=4，b=3 ） （ a=12，b=3 ） （ a=2，b=16 ） （ a=7，b= -3 ）分别输入如图1的两个数值转换机，比较两个输出结果，你发现了什么？这说明什么？222评析：通过设计“数值转换机”，寓单调的有理数运算于活动之中。体现情境性图1体现开放性例3.（教学内容：“截一个几何体”）
作业设计：一个正方形，截掉一个角，剩余部分还有几个角？ (结果开放)例4. （教学内容：“探索直线平行的条件”）
作业设计：如图2，直线a、b均与c相交，形成∠1 ∠2∠ 3…∠8共八个角，请填上你认为适当的一个条件：
如果_______,那么a∥b。41253678图2体现实践性例5.（教学内容：“整式的乘法”）
作业设计：我将要迁新居，其结构如图3，现在我打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮老师算一算，我至少需要买多少平方米的地板？
A.12xy B.10xy C.8xy D.6xy客厅卧室卫生间厨房xx2x4x2y评析：把数学作业与生活起来，即让学生对涉及到的数学知识有了一个更深的认识，又能体现出数学的应用价值。体现层次性作业设计：甲、乙、丙、丁四名打字员承担一项打字任务，若由这四人中的某一人单独完成全部打字任务，则甲需要24小时，乙需要20小时，丙需要16小时，丁需要12小时，问：
A.档题：如果甲、乙、丙、丁四人同时打字，那么多少时间完成？
B.档题：如果按甲、乙、丙、丁……的次序轮流打字，每一轮中每人各打1小时，那么需要多少时间完成？
C.档题：能否把(B档)题中所说的甲、乙、丙、丁的次序作适当适当调整，其余都不变，使完成这项打字任务的时间至少提前半小时？例6(教学内容：期末考试试卷分析)评析：这是一道“档次”明显的题目，解题过程是一个层层深入、比较、探究的过程，保证了尖子生的培养，也避免了中下学生以后看到压轴题就撒手不理的现象。 体现创新性例7(教学内容：“代数式”)
作业设计：举一例实际应用题，使其结果可用代数式3x-2y表示，用一组具体的娄值代替3x-2y中的x、y，求出代数式的值，并说明该值的实际意义。例8(教学内容：“生活中的图形”)
作业设计：下面的图形是用直线、角、三角形、圆等几种基本图形设计成表示客观事物的图画，请同学们展开联想，用你学过的几何基本图形来表示生活中的事物，并附解说词，小组比一比，看看谁的作品更有创意？两盏电灯一帆风顺执勤交警体现创新性例9.(教学内容：“完全平方式”)
作业内容：计算(a + b) ,(a + b + c) 评析：把完全平方公式中的“a + b ”中的次数推广为3次、4次….或把加数推广为3个甚至多个数的和，揭示了一种从特殊到一般的思想——推广思想。 数学教育的目的应是培养有思想有创新能力的人，教师在平时设计作业时就应避免“题海战术”，防止“熟而生厌”，“熟而生笨”，提倡探索创新、自主选择，最终让学生的知识在作业中升华，技能在作业中掌握，能力在作业中形成，思想在作业中发展，让“讲之功有限，习之功无已”。三.以人为本，适宜作业1.适度2.适量3.适时有的老师采用“一刀切”的方式布置作业题，导致学习好的学生感觉“吃不饱”，水平一般的学生难以提高，学习有困难的学生却“吃不了”。有的老师过分强调“熟能生巧”，使学生陷入了机械重复当中(例：学生在试卷上写道：‘老师，我已写了七遍了’)。教会学生使用“水库原理”，使时间“旱涝保收”。△各年级学生的情趣、能力、要求不尽相同，布置作业要因时而异。
△让学生分时段完成作业很重要。 适度例：已知如图(1)△ABC其外角平分线CP、BP交于点P。试探究∠A与∠P的关系；
(2)若CO、BO是其内角平分线交点，试探求∠O、∠A之间的关系？ABECDP解：(1)∵CP、BP平分∠DCB和∠CBE(已知)
∴∠3 = ∠4，∠1 = ∠2(角分线定义)
∵∠CBE = ∠A + ∠ACB(三角形外角等于不相
∠DCB = ∠A +∠ABC 邻的两内角和)
∴∠CBE +∠DCB = 2∠A +∠ACB +∠ABC(等式性质)
∴2∠1 + 2∠3 =∠A (三角形内角和定理)
∴∠1 +∠3 =∠A/2+ 90°(等式性质)
又∵∠1 +∠3 =180 °- ∠P (三角形内角和定理)
∴∠A/2+ 90°= 180 °- ∠P(等量代换)
∴∠P = 90°- ∠A/2 (等式性质)1234ABECDO1234（2）结论∠O = 90°+∠A
理由：∵CO平分∠ACB，BO平分∠AOC(1)
∴∠1 = ∠ACB，∠2 = ∠ABC(2)
∵∠A + ∠ACB +∠ABC = 180 °(3)
∴∠A + 2(∠1 +∠2) = 180 °(4)
又 ∵∠O + (∠1 +∠2) = 180 °(5)
∴∠A + 2(180 ° - ∠O) = 180 °(6)(2)
∴∠O = 90°+∠A (7)适度适时去年暑假作业，敝人是这样布置的：
7.1-7.10休息；
7.11-7.19夯实一、二；
7.21-7.29夯实三、四；
8.1-8.9提升一、二；
8.11-8.19先飞；
8.20-8.29休整；
逢0日自由来校讨论；
8月30日检查作业。四.齐抓共管，反馈作业1、建立作业督查机构，促使学生养成良好
的作业习惯；
2、培养小教师团队，见逢插针地反馈答案；
3、课代表每日反馈作业中的难题，助教师
备课；
4、勤于管理，及时释疑；奖励先进，谨慎
罚劣。五.培养能力，多元作业1、实践作业不可轻视。如旗杆高度、盒子六面图.
2、笔记也是一种作业，让学生每章都要画树图.
3、“命题”是很好的辅助作业.盒子六面图六.授人以渔，科学作业 学生做作业要做到：
先看透书，再动手做
明确题意，构建思路
限定时间，一气呵成
做后反思，提高效益
*授人以鱼不如授人以渔
*方法比内容更重要七.学会归纳，分类作业好老师善归纳，归纳是学生最好的老师
1、每章节都要学生画树图.
2、比较学习使学生少做题.
3、归纳学习让学生脑清晰.
4、归纳学习让老师控全局.比较学习使学生少做题例1：如图1：在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC(∠C >∠B)，试说明∠EAD = (∠C -∠B)解：∵AE平分∠BAC(已知)
∴∠1 =∠EAC = ∠3 + ∠2(角平分线定义)
∵AD⊥BC(已知)
∴∠C +∠2 = 90 °(三角形内角和定理)
∠B +∠1 +∠3 = 90 °
∴(∠C +∠2) – (∠B +∠1 +∠3) = 0
∴∠C - ∠B +∠2 – (∠3 +∠2 +∠3) = 0
∴∠C - ∠B = 2∠3
∴∠3 = (∠C - ∠B)
即：∠EAD = (∠C - ∠B)ABCDEFABCDEABCDE32GH145F(2)若如图(2)试推导∠EFD与∠B、∠C的关系；
(3)若如图(3)，(2)中的推导是否成立？
(4)如图(4)，∠EFD = |∠FBC - ∠FCB |
∠BFE = ∠CFD (1)(2)(3)(4)归纳学习让学生脑清晰例2：已知AB∥CD，分别探究下面两个图形中∠APC和∠PAB，∠PCD的关系，并从所得关系中选一说理。ABCDPABCDABCDPABCDPE1342F5ABCDP1342E123n+1变位变法变数P例3:归纳学习让学生脑清晰ABCDEABCDEABCDE 敝人将中考综合题分类编写为：方程应用、一函应用、一函最值、一函方案、反比函数、二函平移、二函最值、二函综合、统计初步、概率初步、三角形、四边形、解三角形、圆、圆动点、圆相切、圆坐标、变换平移、变换折叠、变换旋转、动点函数、动点存在、探索发现。归纳学习，让老师在复习中能宏观掌控谢谢！！千淘万漉虽辛苦，吹尽黄沙始见金。 课件44张PPT。求真务实 择优尚新 黄水根 2010.03.16
一、09中考数学试题的设计思路
二、数学解题过程的反思 一、09中考数学试题的设计思路 1.全面考查“四基”，注重学生对知识与技能所蕴含的数学本质的理解和在具体情景中的应用
2.关注思想方法与能力，力求全面体现《标准》提出的九大核心
3.科学编题组卷，以便更好的达成考试目标 1.全面考查“四基”，注重学生对知识与技能所蕴含的数学本质的理解和在具体情景中的应用例1 （试卷第7 题） 如图，已知 那么添加 下列一个条件后，仍无法判定
的是（ ）
A．　　　　
B．
C．
D．
本题涉及到三角形
全等的所有判定方法. 例2（试卷第21 题）某天，小明来到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25分钟，于是立即步行回家取票.同时，他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆.下图中线段AB、
OB分别表示父、子俩送票、取票过程中，离体育馆的路程S（米）与所用时间T（分钟）之间的函数关系，结合图象解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度始终保持不变）：
（1）求点B的坐标和AB所
在直线的函数关系式；
（2）小明能否在比赛
开始前到达体育馆？ S（米）T(分）BO360015(第21题）A 本题以考生熟悉的实际为背景，采用图文结合的方式呈现问题，第（1）小题求点的坐标和函数关系式，第（2）小题回答具体问题.考查了方程、函数的有关知识,数形结合的思想和建模能力，以及这些内容在具体情景中的应用，学生无论采用何种解法，都需要理解并提取、表达其中的关系，突现了对数学本质的考查，同时对考生将文字、图象与数学符号之间进行转换能力也有较高的要求. 例3（试卷第24 题）如图，抛物线
与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧）， 与y轴相交于点C，顶点为D.
（1）直接写出A、B、C三点
的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接BC，与抛物线的
对称轴交于点E，点P为线段BC
上的一个动点，过点P作PF∥DE
交抛物线于点F，设点P的横坐标
为m；①用含m的代数式表示线段
PF的长，并求出当m为何值时，
四边形PEDF为平行四边形？
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式. 本题由简单到复杂的多个问题组成，是一道涵盖了多个知识点的综合性试题，考查的内容主要有：解方程（组），一次函数，二次函数，平行四边形，勾股定理，解三角形，距离、面积的计算等.这些都是初中数学最基础、最本质的内容，也是后续学习必备的基础，同时，本题呈现方式和解题方法也与高中解析几何相类似. 第（2）小题引入了动点，增加了题目的探究性，考生解题时需抓住变化过程中的变量关系，动中取静，对思维能力有较高的要求. 2.关注思想方法与能力，力求全面体现《标准》提出的九大核心 九大核心：数感、符号意识、运算能力、模型思想、空间观念、几何直观、推理能力、数据分析、随机现象. 例4（试卷第9 题）如图，分别是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．2个或3个　　　
B．3个或4个
C．4个或5个　
D．5个或6个
本题对空间观念和几何直观有较高的要求，具有一定的思维含量，凭机械记忆、模仿较难得到答案，这种设计有利于缩小评价误差. 例5（试卷第20 题）经市场调查，某种优质西瓜质量为（5±0.25）kg的最为畅销.为了控制西瓜的质量，农科所采用A、B两种种植技术进行试验.现从这两种技术种植的西瓜中各随机抽取20颗，记录它们的质量如下（单位：kg）：
A：4.1　4.8　5.4　4.9　4.7　5.0　4.9　4.8　5.8　5.2
5.0　4.8　5.2　4.9　5.2　5.0　4.8　5.2　5.1　5.0
B：4.5　4.9　4.8　4.5　5.2　5.1　5.0　4.5　4.7　4.9
5.4　5.5　4.6　5.3　4.8　5.0　5.2　5.3　5.0　5.3
（1）若质量为（5±0.25）kg的为优等品，根据以上信息完成下表：



（2）请分别从优等品数量、平均数与方差三方面对A、B两种技术作出评价；从市场销售的角度看，你认为推广哪种种植技术较好. 本题是一道统计题，其实际背景来自于某西瓜基地，考查了数据分析、随机现象，要求学生从原始数据中整理数据并通过对统计量的分析作出决策，这正是统计内容中需要考查的核心． 本题以等腰梯形为背景，起点较低.第（1）小题求等腰梯形一腰中点到底边的距离，是一个很基础的问题，第（2）小题通过引入中位线上的一个动点，抓住其中的“变”与“不变”，问题构造自然流畅，一气呵成，既关注了几何图形变化过程中其图形特征的改变，又关注了如何对变化过程中几何图形的一些元素进行量化描述. 本题将三角形、等腰梯形、解直角三角形的相关知识联系在一起，要求考生综合运用这些知识以及数形结合和分类讨论等思想解决问题，有较强的综合性.实测表明，本题具有较好的区分度，同时，本题也是运用代数方法对几何问题进行研究的一个实例． 3.科学组卷，以便更好的达成考试目标 命题时认真研究了各种题型的搭配和各类试题的设计，特别是在组卷和试题中的问题情景设计方面进行了反复的推敲，大部分试题从雏形到成题都经过了很多的反复. 例7（试卷第5 题）在下列四种图形变换中，
本题图案不包含的变换是（ ）
A．位似　 B．旋转　
C．轴对称　 D．平移


本题取材于人教版九（下）P63的一个图案，设计意图是考查位似、旋转、轴对称等概念，考虑到选择题在概念理解方面的优势，因而以选择题的形式呈现. 例9（试卷第23 题）问题背景 在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息：
甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm.
乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm.
丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm.
任务要求
（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；
（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式 ）. 本题的实际背景来自于各种版本的教材以及命题所在地的景观灯，将圆与三角形的有关内容有机地结合在一起，要求学生准确理解“问题背景”提出的信息以及在此基础上进一步解决问题，在一定程度上考查了学生的应用意识.由于问题情景涉及信息量大，“测量旗杆”与“测量景观灯”有一定的相似性，因而采用了课题学习的形式呈现.设计友情提示一方面是便于考生更好地理解题意，另一方面是减少运算量. 试卷分析（赣州）中的有关数据
二、解题过程的反思 美籍匈牙利数学家、数学教育家波利亚（Polya,G.）在《怎样解题》一书中指出：“一个好的教师应该懂得并且传授给学生下述看法：没有任何一个问题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做.经过充分的探讨与钻研，我们能够改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能够提高自己对这个解答的理解水平.”
命题是在多次对问题进行反思的基础上完成的. 通常的解题分析（数学解题的专业分析）主要包括解题思路的探求和解题过程的反思.
“解题思路的探求”把“题”作为认识的对象，把“解”作为认识的目标，重点展示由已知条件到未知结论的沟通过程，说清怎样获得题目的答案.（认知）
通常认为，一个问题有三个成分：
（1）条件（已知条件）；
（2）要求（未知条件）；
（3）条件与要求之间的联系.
而问题就是指（3）不够明确，即条件与要求之间的联系存在缺口，解决问题就是揭示和把握这种联系，使缺口闭合.
“解题过程的反思”则继续把解题活动（包括题目与初步解法）作为认识的对象，不仅关注如何获得解，而且寄希望于对“解”的进一步分析而增强数学能力、优化认知结构、提高思维素质，学会“数学地思维”，重点在怎样学会解题.（元认知） （一）对解题过程进行反思 的相关理论 1.波利亚（Polya,G.）的《怎样解题》
2.弗里德曼（Friedman）的观点
3.元认知（metacognition）理论
美国心理学家弗拉维尔（J.H. Flavell）关于元认知的定义：元认知是一个人所具有的关于自己思维活动和学习活动的认知和监控.其核心是对认知的认知.元认知的内容包括元认知知识、元认知体验和元认知监控.
4.罗增儒教授学会解题的四步骤程式
简单模仿，变式练习，自发领悟，自觉分析 （二）对解题过程进行反思的操作 1.整体分解
正面思考
反面思考
2.信息交合 （三）案例分析 1 .两个经典问题的解法反思
①《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题
“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔几何”（人教版七（下）P-95）.
②“曹冲称象”问题
曹冲：先“化整为零”再“集零为整”，称一块块石头的重量，得出大象的重量.
曹冲先“化整为零”再“集零为整”的方法，与愚蠢的“宰象”方案在思想方法上是相同的，他的聪明之处在于，既从别人的不成功想法中吸取合理成分，又用等价物代替大象.
以上两个问题有更好的解决办法吗？
启示：即使是“智慧典范”的解题过程通过反思也有创新的空间. 2.通过反思改变问题表征 “表征是问题解决的一个中心环节，它说明问题在头脑里是如何呈现、如何表现出来的”.对问题作出什么样的表征，这种表征是否适宜，对问题解决有着非常重大的作用. 3.通过反思优化解题策略 算法：将所有可能达到目的的步骤全部列出，尝试所有可能的步骤以求得问题解答的策略.算法通常归结为某个固定的程式、规则或步骤，按照这种程式、规则或步骤进行操作就能够获得问题的解.
解题教学中大量进行的“模仿性练习”与“干扰性练习”（变式训练）主要是进行 “模式识别”，具有鲜明的“算法”特征. 启发法（数学发现和发明的方法）： 运用与具体任务有关的信息，对大量可能性进行有选择地搜索的策略. 手段――目的分析法 ：是一种有明确方向，通过设置子目标来逐步缩小起始状态和目标状态之间的差别的方法.
逆向工作法：与手段――目的分析法不同，这是一种从目标状态出发，一步一步退到初始状态的方法.
规划简化法：抛开问题的某些方面，抓住问题的主要结构，先从问题的简单情形入手，通过对简单情形的解答帮助或指导解决整个问题的方法. 4.通过反思使认识更接近问题的深层结构 谢谢大家hsg186@126.com

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