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第一章 二次函数（单元检测·基础卷）
（考试时间：120分钟 满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．做填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　）
A．y＝x2﹣1 B．y＝ C．y＝ax2+bx+c D．y＝k2x+3
【思路点拨】根据二次函数的定义分别判断即可．
【解析】解：A、y＝x2﹣1是二次函数，故此选项符合题意；
B、y＝不是二次函数，故此选项不符合题意；
C、y＝ax2+bx+c，当a＝0时，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、y＝k2x+3不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2．抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（2，3 ） D．（﹣2，3）
【思路点拨】根据二次函数的顶点式即可得到抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3）．
【解析】解：抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3）．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，顶点式为y＝a（x+）2+，对称轴为直线x＝﹣，顶点坐标为（﹣，）．
3．二次函数y＝2x2﹣8x+1的最小值是（　　）
A．7 B．﹣7 C．9 D．﹣9
【思路点拨】根据二次函数的最值公式列式计算即可得解．
【解析】解：∵二次函数有最小值，
∴＝﹣7，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，熟记最大（小）值公式是解题的关键．
4．已知A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）是二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
【思路点拨】根据所给函数解析式，得出抛物线的对称轴及开口方向，再根据A，B，C三点离对称轴的远近即可解决问题．
【解析】解：因为二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+c，
所以抛物线的对称轴为直线x＝1，且开口向下，
则抛物线上的点，离对称轴越远，其函数值越小．
因为1﹣（﹣1）＝2，2﹣1＝1，4﹣1＝3，且3＞2＞1，
所以y3＜y1＜y2．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
5．要得到抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1，可以将抛物线y＝2x2（　　）
A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
【思路点拨】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【解析】解：∵y＝2（x﹣4）2﹣1的顶点坐标为（4，﹣1），y＝2x2的顶点坐标为（0，0），
∴将抛物线y＝2x2向右平移4个单位，再向下平移1个单位，可得到抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标．
6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③b+2a＝0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤当x＞0时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】利用二次函数的图象和所给的条件解题，通过对称轴直线x＝1，可得到a、b的关系，再结合与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），可得另一个交点坐标，再结合函数图象解决问题即可．
【解析】解：由图象可知，图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，故①正确；
∵对称轴为直线x＝1，
∵与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴x2＝3，故②正确；
∴，即b+2a＝0，故③正确；
由函数图象可得，当y ＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；故④正确．
由图象可知，当x＞0时，y随x增大先增大后减小，故⑤错误．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，熟练理解掌握相应性质，并做到数形结合是解决此问题的关键．
7．某弹性小球从地面以初速度（米/秒）竖直向上抛出，其高度（米）与时间（秒）的关系为．当初速度为时，达到最大高度后落回地面用时（如图1）；落地后再次以初速度竖直向上弹起至最大高度，再落回地面用时（如图2）．已知，则的值为（ ）
A．5：2 B． C．3：2 D．
【思路点拨】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数的性质求得和，结合比值进行二次根式的化简即可．
【解析】解：由题意得，，
∵，
∴，
故选：D．
8．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】对于每个选项，先根据二次函数的图象确定a和b的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在．
【解析】解：A、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＞0，b＜0，则一次函数y＝ax+b经过第一、三、四象限，且它们的交点为（1，0），所以A选项正确；
B、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＞0，b＞0，则一次函数y＝ax+b经过第一、二、三象限，所以B选项错误；
C、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＜0，b＞0，则一次函数y＝ax+b经过第一、二、四象限，所以C选项错误；
D、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＜0，b＜0，则一次函数y＝ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象：二次函数的图象为抛物线，可能利用列表、描点、连线画二次函数的图象．也考查了二次函数图象与系数的关系．
9．已知二次函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜4 B．k≤4且k≠3 C．k＞4 D．k≤4
【思路点拨】根据二次函数定义二次项系数非0，与x轴有交点Δ＝b2﹣4ac≥0，分别求解不等式取公共解即可．
【解析】依题意得：k﹣3≠0，
解得k≠3，Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×（k﹣3）×1≥0，
解得k≤4，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数得概以及函数图象与坐标轴交点得判别；解题的关键是掌握概念和与x轴有交点得判别．
10．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（　　）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4，
A．4 B．3 C．2 D．1
【思路点拨】由（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|知①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案．
【解析】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；
⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，存在函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的；
故选：A．
【点睛】考查了二次函数图象与x轴的交点问题，理解“鹊桥”函数y＝|ax2+bx+c|的意义，掌握“鹊桥”函数与y＝|ax2+bx+c|与二次函数y＝ax2+bx+c之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．把二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是 　y＝﹣2（x+1）2+7　．
【思路点拨】利用完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2进行配方即可得．
【解析】解：y＝﹣2x2﹣4x+5
＝﹣2（x2+2x+1﹣1）+5
＝﹣2（x2+2x+1）+2+5
＝﹣2（x+1）2+7，
故答案为：y＝﹣2（x+1）2+7．
【点睛】本题考查了将二次函数的解析式化成顶点式，熟练掌握配方法是解题关键．
12．已知y＝（m+1）x|m|+1+2x﹣3是二次函数，则m的值为 　1　．
【思路点拨】直接利用二次函数的概念进行求解即可．
【解析】解：∵y＝（m+1）x|m|+1+2x﹣3是二次函数，
∴m+1≠0且|m|+1＝2，
解得m＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的概念，掌握形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数是二次函数是解题的关键．
13．已知关于x的二次函数y＝（x+2）2+1，当﹣3＜x＜4时，函数y的取值范围为 　1≤y＜37　．
【思路点拨】直接利用二次函数的性质结合二次函数图象上点的坐标特点，得出y的取值范围．
【解析】解：关于x的二次函数y＝（x+2）2+1，当x＝﹣2时，函数有最小值1，
当x＝4时，y＝37；当x＝﹣3时，y＝2，
故当﹣3＜x＜4时，函数y的取值范围为：1≤y＜37．
故答案为：1≤y＜37．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特点，正确得出二次函数最小值是解题关键．
14．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（4，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c≤n的解集是 　﹣2≤x≤4　．
【思路点拨】根据题意和函数图象中的数据，可以得到不等式ax2﹣mx+c≤n的解集，本题得以解决．
【解析】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（4，q）两点，
∴ax2+c≤mx+n的解集是﹣2≤x≤4．
∴不等式ax2﹣mx+c≤n的解集是﹣2≤x≤4．
故答案为：﹣2≤x≤4．
【点睛】本题考查二次函数与不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．一小球从20米的高处落下，小球离地面的高度h（m）和下落时间t（s）大致有如下关系：h＝﹣5t2+20，那么小球经过 　2　秒落到地面．
【思路点拨】求函数的自变量，令h＝0，解出t即可作答．
【解析】解：当小球落到地面时，h＝0，
∴﹣5t2+20＝0，
解得：t＝2或t＝﹣2（舍去），
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，关键是二次函数性质的熟练掌握．
16．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0．下列四个结论：
①若抛物线经过点（﹣5，0），则4a+b＝0；②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；
③若a＞0，则方程ax2+bx+c＝2一定有两个不相等的实数根；
④若A（x1，n），B（x2，n）是抛物线上两点，当x＝x1+x2时，则y＝c．
其中正确的是 　②③④　（填写序号）．
【思路点拨】①由题意可得，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，即4a﹣b＝0，即①错误；
②若b＝c，则二次函数y＝cx2+bx+a的对称轴为直线：x＝﹣＝﹣，则＝﹣，解得m＝﹣2，即方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；故②正确；
③Δ＝b2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，方程ax2+bx+c＝2一定有两个不相等的实数根，故③正确；
④由题意可知，抛物线的对称轴是直线x＝＝﹣，即x1+x2＝﹣，代入抛物线解析式即可判断④正确．
【解析】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0，
∴（1，0）是抛物线与x轴的一个交点．
①∵抛物线经过点（﹣5，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣2，
∴﹣＝﹣2，即4a﹣b＝0，即①错误；
②若b＝c，则二次函数y＝cx2+bx+a的对称轴为直线：x＝﹣＝﹣，
且二次函数y＝cx2+bx+a过点（1，0），
∴＝﹣，解得m＝﹣2，
∴y＝cx2+bx+a与x轴的另一个交点为（﹣2，0），即方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；故②正确；
③由题意得ax2+bx+c﹣2＝0，且a＞0，a+b+c＝0，
∴Δ＝b2﹣4a（c﹣2）＝（a﹣c）2+8a＞0，
∴方程ax2+bx+c＝2一定有两个不相等的实数根，故③正确；
④∵A（x1，n），B（x2，n）是抛物线上两点，
∴抛物线的对称轴是直线x＝＝﹣，
∴x1+x2＝﹣，
∴当x＝x1+x2时，y＝a（﹣）2+b×（﹣）+c＝c，故④正确．
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根与系数的关系，二次函数图象与x轴的交点等问题，掌握相关知识是解题基础．
三、解答题（共8小题，共66分）
17．已知，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3），B（2，﹣3）三点．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标．
【思路点拨】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由顶点坐标公式即可求解．
【解析】解：（1）由题意得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+x+3；
（2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，
当x＝时，y＝﹣2x2+x+3＝，
即顶点坐标为：（，）．
【点睛】本题考查的是函数图象点的特征，确定函数表达式是解题的关键．
18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为（3，0）．
（1）求点B的坐标及m的值；
（2）求出抛物线的顶点坐标，并画出此函数的示意图；
（3）结合函数图象直接写出当y＞0时x的取值范围．
【思路点拨】（1）先把A点坐标代入y＝mx2﹣2mx﹣3求出m得到抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，再解方程x2﹣2x﹣3＝0得B点坐标；
（2）先把解析式配成顶点式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），利用描点法画出二次函数图象；
（3）利用图象写出对应的x的范围．
【解析】解：（1）把A（3，0）代入mx2﹣2mx﹣3＝0得9m﹣6m﹣3＝0，解得m＝1，
抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
所以B点坐标为（﹣1，0）；
（2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
列表如下：
x ..． ﹣1 0 1 2 3 ..．
y ..． 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 ..．
描点、连线，
（3）由函数图象可知，当y＞0时，x＜﹣1或x＞3，即x的取值范围是x＜﹣1或x＞3．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
19．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3．
（1）在平面直角坐标系中，用五点法画出该二次函数的图象；
x … 　﹣3　 　﹣2　 　﹣1　 　0　 　1　 …
y … 　0　 　3　 　4　 　3　 　0　 …
（2）根据图象回答下列问题：
①当y＜0时，x的取值范围是 　x＜﹣3或x＞1　；
②当﹣3＜x＜0时，y的取值范围是 　0＜y≤4　．
【思路点拨】（1）先列表，再描点连线即可；
（2）观察图象即可得出结论．
【解析】解：（1）列表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 0 3 4 3 0 …
描点、连线：
（2）观察图象，①当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞1；
②当﹣3＜x＜0时，y的取值范围是0＜y≤4；
故答案为：x＜﹣3或x＞1；0＜y≤4．
【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，作出函数图象并利用图象是解题关键．
20．已知抛物线y＝a（x+m）2的顶点坐标为（﹣1，0），且经过点A（﹣2，﹣）．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）该抛物线是否经过点B（2，﹣2）？若不经过．怎样沿x轴方向平移，才能使它经过点B？并写出平移后抛物线对应的函数表达式．
【思路点拨】（1）根据待定系数法即可得出二次函数的解析式．
（2）代入B（2，﹣2）即可判断；根据题意设平移后的解析式为y＝﹣（x+1+m）2，代入B的坐标，求得m的植即可．
【解析】解：（1）∵二次函数y＝a（x+m）2的顶点坐标为（﹣1，0），
∴m＝1，
∴二次函数y＝a（x+1）2，
把点A（﹣2，﹣）代入得a＝﹣，
则抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2．
（2）把x＝2代入y＝﹣（x+1）2得y＝﹣≠﹣2，
所以，点B（2，﹣2）不在这个函数的图象上；
根据题意设平移后的解析式为y＝﹣（x+1+m）2，
把B（2，﹣2）代入得﹣2＝﹣（2+1+m）2，
解得m＝﹣1或﹣5，
所以抛物线向右平移1个单位或平移5个单位，即可过点B，
平移后抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2或y＝﹣（x﹣4）2．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及图象与几何变换．
21．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题．
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根：　1和3　；
（2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集：　x＜1或x＞3　；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围 　x＞2　；
（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围：　k＜2　．
【思路点拨】（1）根据图象可知x＝1和3是方程的两根；
（2）找出函数值小于0时x的取值范围即可；
（3）首先找出对称轴，然后根据图象写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值，据此求出k的取值范围．
【解析】解：（1）由图象可知，图象与x轴交于（1，0）和（3，0）点，
则方程ax2+bx+c＝0的两个根为x＝1和x＝3，
故答案为：1和3；
（2）由图象可知当x＜1或x＞3时，不等式ax2+bx+c＜0；
故答案为：x＜1或x＞3；
（3）由图象可知，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝2，开口向下，
即当x＞2时，y随x的增大而减小；
故答案为：x＞2．
（4）由图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值，
故答案为：k＜2．
【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式以及抛物线与x轴的交点的知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及图象的特点，此题难度不大．
22．有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB＝20m，当水位上升3m时，水面宽CD＝10m．按如图所示建立平面直角坐标系．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）有一条船以6km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥36km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.3m，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点2m时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？
【思路点拨】（1）根据题意可得B（20，0），C（5，3），然后利用待定系数法求解即可；
（2）先求出船到达桥下水面的高度，再求出抛物线顶点坐标，进而得到船到达桥下时水面距离最高点的高度，由此即可得到答案．
【解析】解：（1）由题意得，B（20，0），C（5，3），
设抛物线解析式为y＝ax（x﹣20），
∴5a（5﹣20）＝3，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）船行驶到桥下的时间为：36÷6＝6小时，
水位上升的高度为：0.3×6＝1.8m．
∵抛物线解析式为，
∴抛物线顶点坐标为（10，4），
∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为4﹣1.8＝2.2m＞2m，
∴如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
23．为全面实现“乡村振兴”，某“枇杷合作社”带动村民大量栽种枇杷．现阶段枇杷陆续成熟，“枇杷合作社”为解决果农后顾之忧，于是邀请部分网络平台实现网络销售，每箱枇杷的成本是40元．某平台经过调查发现，当每箱枇杷的售价是80元时，每天可售出100箱．如果降价销售，每降价1元，每天可多售出10箱．
（1）若该平台某天销售枇杷的利润为6000元，且使顾客得到最大优惠，求每箱枇杷的售价；
（2）这批枇杷在市场一售而空，该平台又以同样的价格购进一批枇杷，当每箱枇杷的售价为多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润为多少元？
【思路点拨】（1）设每箱枇杷的售价为x元，根据每箱的利润×销售量＝利润列出方程，解方程求出x的值，取较小的值即可；
（2）设每箱枇杷的售价为x元，销售利润为w元，根据每箱的利润×销售量＝利润列出函数解析式，由函数的性质求最值．
【解析】解：（1）设每箱枇杷的售价为x元，
根据题意，得[100+10（80﹣x）]（x﹣40）＝6000，
整理得 x2﹣130x+4200＝0，
解得x1＝60，x2＝70，
∵要使顾客得到最大优惠，
∴x＝60，
答：每箱枇杷的售价为60元；
（2）设每箱枇杷的售价为x元，销售利润为w元，
依题意得，w＝[100+10（80﹣x）]（x﹣40）＝﹣10x+1300x﹣36000＝﹣10（x﹣65）2+6250，
∵﹣10＜0，
∴当x＝65 时，w有最大值，W最大＝6250，
答：当每箱的售价为65元时，每天可以获得最大利润，最大利润为6250元．
【点睛】此题考查了二次函数和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程．
24．已知二次函数y＝x2﹣2ax﹣3（a为常数）．
（1）若该二次函数的图象经过点（2，﹣3）．
①求a的值．
②自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？
（2）若点A（m，0），B（n，0），C（m+1，p），D（n+1，q）均在该二次函数的图象上，求证：p+q＝2．
【思路点拨】（1）①依据题意，由二次函数y＝x2﹣2ax﹣3的图象经过点（2，﹣3），从而4﹣4a﹣3＝﹣3，计算即可得解；
②依据题意，由①得，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，又a＝1＞0，从而可以判断得解；
（2）依据题意，由点A（m，0），B（n，0），可得抛物线的对称轴是直线x＝＝a，故抛物线为y＝x2﹣（m+n）x﹣3，又C（m+1，p），D（n+1，q），可得p＝（m+1）2﹣（m+n）（m+1）﹣3＝m﹣n﹣mn﹣2，q＝（n+1）2﹣（m+n）（n+1）﹣3＝n﹣m﹣mn﹣2，进而可得p+q＝﹣2mn﹣4，再结合A（m，0）在抛物线上，求出mn＝﹣3，最后计算可以得解．
【解析】（1）解：①由题意，∵二次函数y＝x2﹣2ax﹣3的图象经过点（2，﹣3），
∴4﹣4a﹣3＝﹣3．
∴a＝1．
②由①得，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
又a＝1＞0，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大．
（2）证明：由题意，∵点A（m，0），B（n，0），
∴抛物线的对称轴是直线x＝＝a．
∴抛物线为y＝x2﹣（m+n）x﹣3．
又C（m+1，p），D（n+1，q），
∴p＝（m+1）2﹣（m+n）（m+1）﹣3＝m﹣n﹣mn﹣2，q＝（n+1）2﹣（m+n）（n+1）﹣3＝n﹣m﹣mn﹣2．
∴p+q＝﹣2mn﹣4．
又点A（m，0）在抛物线上，
∴m2﹣（m+n）m﹣3＝0．
∴mn＝﹣3．
∴p+q＝﹣2×（﹣3）﹣4＝2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
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第一章 二次函数（单元检测·基础卷）
（考试时间：120分钟 满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．做填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　）
A．y＝x2﹣1 B．y＝ C．y＝ax2+bx+c D．y＝k2x+3
2．抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（2，3 ） D．（﹣2，3）
3．二次函数y＝2x2﹣8x+1的最小值是（　　）
A．7 B．﹣7 C．9 D．﹣9
4．已知A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）是二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
5．要得到抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1，可以将抛物线y＝2x2（　　）
A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③b+2a＝0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤当x＞0时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．某弹性小球从地面以初速度（米/秒）竖直向上抛出，其高度（米）与时间（秒）的关系为．当初速度为时，达到最大高度后落回地面用时（如图1）；落地后再次以初速度竖直向上弹起至最大高度，再落回地面用时（如图2）．已知，则的值为（ ）
A．5：2 B． C．3：2 D．
8．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
9．已知二次函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜4 B．k≤4且k≠3 C．k＞4 D．k≤4
10．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（　　）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4，
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．把二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是 　 　．
12．已知y＝（m+1）x|m|+1+2x﹣3是二次函数，则m的值为 　 　．
13．已知关于x的二次函数y＝（x+2）2+1，当﹣3＜x＜4时，函数y的取值范围为 　 　．
14．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（4，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c≤n的解集是 　 　．
15．一小球从20米的高处落下，小球离地面的高度h（m）和下落时间t（s）大致有如下关系：h＝﹣5t2+20，那么小球经过 　 　秒落到地面．
16．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0．下列四个结论：
①若抛物线经过点（﹣5，0），则4a+b＝0；②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；
③若a＞0，则方程ax2+bx+c＝2一定有两个不相等的实数根；
④若A（x1，n），B（x2，n）是抛物线上两点，当x＝x1+x2时，则y＝c．
其中正确的是 　 　（填写序号）．
三、解答题（共8小题，共66分）
17．已知，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3），B（2，﹣3）三点．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标．
18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为（3，0）．
（1）求点B的坐标及m的值；
（2）求出抛物线的顶点坐标，并画出此函数的示意图；
（3）结合函数图象直接写出当y＞0时x的取值范围．
19．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3．
（1）在平面直角坐标系中，用五点法画出该二次函数的图象；
x … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 …
y … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 …
（2）根据图象回答下列问题：
①当y＜0时，x的取值范围是 　 　；
②当﹣3＜x＜0时，y的取值范围是 　 　．
20．已知抛物线y＝a（x+m）2的顶点坐标为（﹣1，0），且经过点A（﹣2，﹣）．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）该抛物线是否经过点B（2，﹣2）？若不经过．怎样沿x轴方向平移，才能使它经过点B？并写出平移后抛物线对应的函数表达式．
21．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题．
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根：　 　；
（2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集：　 　；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围 　 　；
（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围：　 　．
22．有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB＝20m，当水位上升3m时，水面宽CD＝10m．按如图所示建立平面直角坐标系．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）有一条船以6km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥36km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.3m，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点2m时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？
23．为全面实现“乡村振兴”，某“枇杷合作社”带动村民大量栽种枇杷．现阶段枇杷陆续成熟，“枇杷合作社”为解决果农后顾之忧，于是邀请部分网络平台实现网络销售，每箱枇杷的成本是40元．某平台经过调查发现，当每箱枇杷的售价是80元时，每天可售出100箱．如果降价销售，每降价1元，每天可多售出10箱．
（1）若该平台某天销售枇杷的利润为6000元，且使顾客得到最大优惠，求每箱枇杷的售价；
（2）这批枇杷在市场一售而空，该平台又以同样的价格购进一批枇杷，当每箱枇杷的售价为多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润为多少元？
24．已知二次函数y＝x2﹣2ax﹣3（a为常数）．
（1）若该二次函数的图象经过点（2，﹣3）．
①求a的值．
②自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？
（2）若点A（m，0），B（n，0），C（m+1，p），D（n+1，q）均在该二次函数的图象上，求证：p+q＝2．
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