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专题02 绝对值的四类综合题型
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典例详解
类型一、绝对值的非负性
类型二、利用数轴化简绝对值
类型三、分类讨论化简绝对值
类型四、几何意义化简绝对值
压轴专练
类型一、绝对值的非负性
1. 绝对值的非负性指任何实数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，这是绝对值的核心性质，可用于判断式子取值范围。 2. 若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，如|a|+|b|=0时，a=0且b=0，此结论是解决含绝对值方程或求值问题的关键。
例1．（24-25七年级上·甘肃天水·期中）若，则 ， ．
【变式1-1】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）若，则 ．
【变式1-2】若x为有理数，则式子的最小值为 ．
【变式1-3】已知，则的相反数为 ．
类型二、利用数轴化简绝对值
1.先在数轴上确定绝对值内字母表示的数的位置，判断其正负性，正数绝对值是本身，负数是相反数，0的绝对值是0。 2.结合数轴上数的大小关系，化简含多个绝对值的式子，如|a - b|可由a与b的位置判断a - b的正负后化简。
例2．（23-24七年级上·四川眉山·期末）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且．
(1) ， ；
(2)化简：．
【变式2-1】（23-24七年级上·河南许昌·期中）已知数轴上A，，三点对应的数分别是，，，若，，，为最小的正整数．
(1)请在数轴上标出A，，三点的大致位置；
(2)化简：．
【变式2-2】（23-24七年级上·四川达州·期末）如图，数轴上有，，三点．

(1)____，_____，______；(填“”“”，“”)
(2)化简．
【变式2-3】（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：

(1)判断正负，用“”或“”填空：_____0，_____0，_____0；
(2)化简．
类型三、分类讨论化简绝对值
1. 确定绝对值内代数式的零点，即令其等于0的未知数的值，以此划分讨论区间，明确各区间内代数式的正负。 2. 按区间分类化简，正数取本身，负数取相反数，最后综合各区间结果，得到完整化简式，适用于字母取值不确定的情况。
例3．已知、、均为不等式0的有理数，则的值为 ．
【变式3-1】若，则 ．
【变式3-2】已知、，那么＝
【变式3-3】我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题：
(1)若时，的值为___________；
(2)若成立，则___________；
(3)若，则___________；
(4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围___________，最小值是___________．
类型四、几何意义化简绝对值
1.绝对值的几何意义是数轴上数对应的点到原点的距离，|a|表示a到原点的距离，非负，据此可直接判断简单绝对值的化简结果。 2.|a - b|表示数轴上a与b对应点的距离，利用此意义可化简含差的绝对值，如a在b右侧时，|a - b|=a - b，反之则为b - a。
例4．（24-25七年级上·四川乐山·期末）阅读材料
点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离．
比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离．
再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或．
解决问题：
(1) ．
(2)若，则______；若，则______．
(3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得．
【变式4-1】（24-25七年级上·内蒙古通辽·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．
【阅读】表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与两数在数轴上所对应的两点间的距离．
(1)__________；
(2)结合数轴找出所有符合条件的整数x，使得，则__________；
(3)利用数轴分析，若x是整数，且满足，请求出满足条件的所有x的值的和．
【变式4-2】 我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题：
(1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______；
(2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为_______；
(3)数轴上点A用数a表示，且满足的整数a有______个；有最小值，则最小值是：_____．
【变式4-3】（24-25七年级上·福建漳州·期中）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题：
（1）探究：
你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空．
①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ．
②数轴上表示和的两点之间的距离是 ．
③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ．
（2）归纳：
一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于．
（3）应用：
①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值．
②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值．
③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由．
一、单选题
1．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）式子取最小值时，x等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
2．（24-25八年级上·山东临沂·期中）若，则（ ）
A．2 B．7 C．8 D．5
3．（2025·山东济南·二模）已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
二、填空题
4．（24-25七年级上·四川德阳·期末）当的值最小时， ．
5．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知，则 ．
6．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）已知a，b，c为非零有理数，请解决下列问题：
（1）当时， ；
（2）若，则的值为 ．
三、解答题
7．（24-25七年级上·江西南昌·期中）已知有理数，，，且．

(1)如图，在数轴上将a、b、c三个数填在相应的括号中：
(2)化简：
8．（2024七年级上·全国·专题练习）根据这一性质，解答下列问题：
(1)当 时，有最小值，此时最小值为 ；
(2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？
(3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？
9．（24-25七年级上·广东东莞·期中）有理数在数轴上的位置如图：
(1)______，______，______0；填（“”或“”）
(2)如果互为相反数，则______；
(3)计算：．
10．（24-25七年级上·江西抚州·期末）我们知道，是指数轴上表示数的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点分别对应数，那么两点间的距离为．
(1)如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，则_____，_____，_____；
(2)若，则_____；
(3)已知三个数在数轴上的位置如图所示，化简：．
11．（24-25七年级上·江苏盐城·期中） “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题．
例：三个有理数a，b，c满足，求的值．
解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当a，b，c都是正数，即，，时，
则：；
②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，
则：，
综上述：的值为3或．
请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题：
(1)已知a，b是有理数，当时，求值．
(2)已知a，b，c是有理数，，，求的值．
12．（24-25七年级上·广西南宁·期中）阅读下列材料：
经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时根据绝对值的几何意义，也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．可以表示5与之差的绝对值．也可以理解为5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．
(1)表示数轴上4与___________所对应的两点之间的距离．
(2)表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离，表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离．
(3)利用绝对值的几何意义，请找出有符合条件的整数，使得请直接写出这样的整数的值：_________________________________．
(4)利用绝对值的几何意义，求出的最小值．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 绝对值的四类综合题型
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典例详解
类型一、绝对值的非负性
类型二、利用数轴化简绝对值
类型三、分类讨论化简绝对值
类型四、几何意义化简绝对值
压轴专练
类型一、绝对值的非负性
1. 绝对值的非负性指任何实数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，这是绝对值的核心性质，可用于判断式子取值范围。 2. 若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，如|a|+|b|=0时，a=0且b=0，此结论是解决含绝对值方程或求值问题的关键。
例1．（24-25七年级上·甘肃天水·期中）若，则 ， ．
【答案】 3 4
【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值具有非负性是解题的关键．根据绝对值的非负性即可解答．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，．
故答案为：3；4．
【变式1-1】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．
【详解】解：，
，，
，，
．
故答案为：．
【变式1-2】若x为有理数，则式子的最小值为 ．
【答案】2024
【分析】此题主要考查了非负数的性质．直接利用绝对值的性质得出的最小值为0．进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴时，取最小值，最小值为2024．
故答案为：2024．
【变式1-3】已知，则的相反数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查非负性，相反数的定义，根据非负数的性质，可求出的值，相加后取相反数即可，理解非负性，相反数的定义是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
∴，
∴的相反数为，
故答案为：．
类型二、利用数轴化简绝对值
1.先在数轴上确定绝对值内字母表示的数的位置，判断其正负性，正数绝对值是本身，负数是相反数，0的绝对值是0。 2.结合数轴上数的大小关系，化简含多个绝对值的式子，如|a - b|可由a与b的位置判断a - b的正负后化简。
例2．（23-24七年级上·四川眉山·期末）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且．
(1) ， ；
(2)化简：．
【答案】(1)0，
(2)
【分析】本题考查了数轴上表示有理数以及利用数轴判断式子符号、化简绝对值：
（1）结合数轴以及，得与是相反数，即可作答．
（2）由数轴得，，得出，接着化简，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，∵
∴，
∴，
故答案为：0，；
（2）解：∵
∴
∴
【变式2-1】（23-24七年级上·河南许昌·期中）已知数轴上A，，三点对应的数分别是，，，若，，，为最小的正整数．
(1)请在数轴上标出A，，三点的大致位置；
(2)化简：．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查数轴和绝对值，整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握有理数的有关概念、绝对值的性质．
（1）由c为最小的正整数，确定出，再由，，，得出b到原点的距离大于a到原点的距离，从而确定出在数轴上的大概位置；
（2）根据A，B，C三点在数轴上的位置得到，，，然后化简求解即可．
【详解】（1）解：A，，三点的大致位置，如图所示，
（2）解：由数轴可得，，，，
∴，，，
∴
．
【变式2-2】（23-24七年级上·四川达州·期末）如图，数轴上有，，三点．

(1)____，_____，______；(填“”“”，“”)
(2)化简．
【答案】(1)，，；
(2)．
【分析】（）根据数轴分别判断，，的正负；
（）根据，，的正负去掉绝对值，最后合并同类项即可；
本题考查了整式的加减和去绝对值，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负．
【详解】（1）由数轴可得，，，，
故答案为：，，；
（2）
，
．
【变式2-3】（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：

(1)判断正负，用“”或“”填空：_____0，_____0，_____0；
(2)化简．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题考查了有理数大小比较，绝对值的化简，熟练掌握数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，有理数的加法运算，差的绝对值是大数减小数，负数的绝对值是它的相反数．
（1）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得a、b、c的关系，根据有理数加
减运算，可得答案；
（2）根据差的绝对值是大数减小数，负数的绝对值是它的相反数，可得答案．
【详解】（1）解：由数轴可知，且，
，，，
故答案为：，，；
（2）由（1）可知：，，，
．
类型三、分类讨论化简绝对值
1. 确定绝对值内代数式的零点，即令其等于0的未知数的值，以此划分讨论区间，明确各区间内代数式的正负。 2. 按区间分类化简，正数取本身，负数取相反数，最后综合各区间结果，得到完整化简式，适用于字母取值不确定的情况。
例3．已知、、均为不等式0的有理数，则的值为 ．
【答案】3，-3，1， 1．
【分析】根据绝对值的性质，将绝对值符号去掉，然后计算．由于不知道a、b、c的符号，故需分类讨论．
【详解】解：(1)当a>0，b>0，c>0时，=1+1+1=3；
(2)当a<0，b<0，c<0时，== 1 1 1= 3；
(3)当a>0，b>0，c<0时，==1+1 1=1；
同理，a>0，b<0，c>0；a<0，b>0，c>0时原式的值均为1．
(4)当a<0，b<0，c>0时，== 1 1+1= 1；
同理，当a<0，b>0，c<0；a>0，b<0，c<0时原式的值均为 1．
故答案为：3，-3，1， 1．
【点睛】本题考查了绝对值规律的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，解答时要注意分类讨论．
【变式3-1】若，则 ．
【答案】或0或2
【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的除法计算，讨论a、b的符号，然后化简绝对值即可得到答案．
【详解】解：当a、b同时为正时，，
当a、b同时为负时，，
当a、b一正一负时，不妨设a为负，，
综上所述，的值为或0或2．
故答案为：或0或2．
【变式3-2】已知、，那么＝
【答案】±2或0
【分析】根据x+a，x+b的符号，结合绝对值的性质进行计算即可．
【详解】解：当x+a＞0，x+b＞0时，原式＝1+1＝2，
当x+a＞0，x+b＜0时，原式＝1﹣1＝0，
当x+a＜0，x+b＞0时，原式＝﹣1+1＝0，
当x+a＜0，x+b＜0时，原式＝﹣1﹣1＝﹣2，
故答案为：±2或0．
【点睛】本题考查绝对值，理解绝对值的性质是解答的关键．
【变式3-3】我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题：
(1)若时，的值为___________；
(2)若成立，则___________；
(3)若，则___________；
(4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围___________，最小值是___________．
【答案】(1)
(2)2
(3)0或
(4)；7
【分析】（1）根据绝对值的性质代入化简即可；
（2）根据题意得出表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等，然后求出中点到的距离为7，即可求解；
（3）根据题意，分情况讨论分析，然后代入求解即可；
（4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和，得出当时，距离和即为到4的距离即可求解．
【详解】（1）解：时，，
故答案为：；
（2）表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等，
∵与9的距离为，
∴中点到的距离为7，
∴，
∴，
故答案为：2；
（3）∵，
∴分情况讨论：当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
综上可得：值为0或，
故答案为：0或；
（4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和，
当时，距离和即为到4的距离，
故答案为：；7．
【点睛】题目主要考查绝对值的意义及化简，理解绝对值在数轴上的意义上解题关键．
类型四、几何意义化简绝对值
1.绝对值的几何意义是数轴上数对应的点到原点的距离，|a|表示a到原点的距离，非负，据此可直接判断简单绝对值的化简结果。 2.|a - b|表示数轴上a与b对应点的距离，利用此意义可化简含差的绝对值，如a在b右侧时，|a - b|=a - b，反之则为b - a。
例4．（24-25七年级上·四川乐山·期末）阅读材料
点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离．
比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离．
再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或．
解决问题：
(1) ．
(2)若，则______；若，则______．
(3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得．
【答案】(1)
(2)或；；
(3)、、、、
【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．
（1）根据数轴上表示的点与表示的点之间的距离为，即可得到结论；
（2）根据数轴上与表示的点相距个单位的点表示的数为或，数轴上与表示的点和表示的点距离相等的点所表示的数为，即可得到结论；
（3）根据表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和，即可得到使得成立的所有符合条件的整数为，，，，；
【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示的点之间的距离为，
．
故答案为：；
（2）∵，
∴，
解得：或；
，
，
解得：；
故答案为：或；；．
（3）∵表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，，
这样的整数有、、、、
【变式4-1】（24-25七年级上·内蒙古通辽·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．
【阅读】表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与两数在数轴上所对应的两点间的距离．
(1)__________；
(2)结合数轴找出所有符合条件的整数x，使得，则__________；
(3)利用数轴分析，若x是整数，且满足，请求出满足条件的所有x的值的和．
【答案】(1)5
(2)或3
(3)
【分析】本题考查了数轴：数轴和绝对值的综合应用，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
（1）根据绝对值的意义，直接计算即可；
（2）根据绝对值的意义，得到数轴上数和之间的距离为4，进而得到数即可；
（3）根据绝对值的意义，得到当在和2之间时，，进而确定整数的值，求和即可．
【详解】（1）解：；
故答案为：5．
（2）解：表示数轴上数和之间的距离为4，
∴或；
故答案为：或3．
（3）解：表示数轴上数到2和之间的距离之和等于7，
∵2和之间的距离为7，
∴当在和2之间时，，
∵为整数，
∴，
∴．
【变式4-2】 我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题：
(1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______；
(2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为_______；
(3)数轴上点A用数a表示，且满足的整数a有______个；有最小值，则最小值是：_____．
【答案】(1)8
(2)5或
(3)6，2025
【分析】本题主要考查的是绝对值的定义的应用，数轴上两点之间的距离，理解并应用绝对值的定义及两点间的距离公式是解题的关键．
（1）根据两点间的距离公式求解可得；
（2）根据绝对值的定义可得；
（3）由的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，据此可得；由表示数轴到表示3与表示的点距离之和，根据两点之间线段最短可得．
【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是；
（2）解：若，那么的值为5或；
（3）解：的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，
，其中整数有，，0，1，2，3，共6个；
表示数轴到表示3与表示的点距离之和，
由两点之间线段最短可知：
当时，有最小值，最小值为．
【变式4-3】（24-25七年级上·福建漳州·期中）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题：
（1）探究：
你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空．
①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ．
②数轴上表示和的两点之间的距离是 ．
③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ．
（2）归纳：
一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于．
（3）应用：
①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值．
②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值．
③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由．
【答案】（1）①；②；③；（3）①；②；③当时，的值最小，最小值为．
【分析】本题考查了绝对值，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解题的关键．
（1）①根据两点间的距离公式即可求解；
②根据两点间的距离公式即可求解；
③根据两点间的距离公式即可求解；
（3）①根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解；
②根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解；
③根据线段上的点到线段两端点的距离和最小即可求解．
【详解】解：（1）①数轴上表示6和3的两点之间的距离是，
故答案为：；
②数轴上表示和的两点之间的距离是，
故答案为：；
③数轴上表示和2的两点之间的距离是，
故答案为：；
（3）①，
解得：；
②∵数轴上表示数m的点位于与4之间，
∴，
∴ ；
③，表示点到三点的距离和，
∴当时，点到三点的距离和最小，即的值最小，
∴，
∴当时，的值最小，最小值为．
一、单选题
1．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）式子取最小值时，x等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】D
【分析】本题考查了绝对值的性质：绝对值非负，即绝对值的最小值为0；根据绝对值的最小值性质，当绝对值的表达式为零时，绝对值取得最小值；将原式拆解为绝对值部分和常数部分，确定最小值对应的x值即可．
【详解】解：式子中，的最小值为0，
当且仅当，即时取得；
此时整个式子的值为，为最小值．
故选：D．
2．（24-25八年级上·山东临沂·期中）若，则（ ）
A．2 B．7 C．8 D．5
【答案】D
【分析】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质列式求出m、n，然后代入计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
∴．
故选：D．
3．（2025·山东济南·二模）已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的除法计算，根据数轴可得，据此化简绝对值后计算求解即可．
【详解】解：由数轴可得，
∴
，
，
故选：C．
二、填空题
4．（24-25七年级上·四川德阳·期末）当的值最小时， ．
【答案】
【分析】此题主要考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性可知即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
此时时，的值最小，则；
故答案为：．
5．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查绝对值的非负性，根据非负数的性质求出的值，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
解得，
∴，
故答案为：．
6．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）已知a，b，c为非零有理数，请解决下列问题：
（1）当时， ；
（2）若，则的值为 ．
【答案】 1 0或/或0
【分析】本题主要考查了绝对值的性质、有理数的运算，熟练掌握绝对值的性质，是解题的关键．
（1）由给出条件和绝对值的性质即可解答；
（2）由条件先确定a、b、c的正负情况，再化简绝对值，然后计算代数式的值即可．
【详解】解：（1）当时，．
故答案为：1．
（2）∵，
∴a、b、c为两正一负或a、b、c都为负，
①当a、b、c为两正一负时，不防设，
∴；
①当a、b、c都为负时，即，
∴；
综上，该代数式的值为0或．
故答案为：0或．
三、解答题
7．（24-25七年级上·江西南昌·期中）已知有理数，，，且．

(1)如图，在数轴上将a、b、c三个数填在相应的括号中：
(2)化简：
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了数轴与绝对值，整式的加减运算，根据题意判断式子正负是解题关键．
（1）由题意可知，，再填写数轴即可；
（2）由题意可知，再取绝对值符号化简即可．
【详解】（1）解：有理数，，，且，
则，，
在数轴上表示如下：

（2）解：由题意，可知，
所以
．
8．（2024七年级上·全国·专题练习）根据这一性质，解答下列问题：
(1)当 时，有最小值，此时最小值为 ；
(2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？
(3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？
【答案】(1)4，0
(2)，3
(3)，4
【分析】本题考查了整式的绝对值的求解能力，对绝对值的性质的理解和掌握是解题的关键．
（1）根据绝对值的性质，可知0的绝对值最小，为0，则可得时，有最小值，由此即可求解；
（2）要使有最小值，则要取最小，即，由此即可求解；
（3）要使有最大值，则取最小值，结合即可求解．
【详解】（1）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是0．
故答案为：4，0
（2）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是3．
（3）因为，所以，所以当时，有最大值，这个最大值是4．
9．（24-25七年级上·广东东莞·期中）有理数在数轴上的位置如图：
(1)______，______，______0；填（“”或“”）
(2)如果互为相反数，则______；
(3)计算：．
【答案】(1)，，；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据、、在数轴上的位置即可求解；
（）根据相反数的定义即可求解；
（）结合数轴，根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可求解；
本题考查了数轴，绝对值的性质，相反数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：由数轴可知：，，
∴，，，
故答案为：，，；
（2）解：∵互为相反数，
∴，即，
∴，
故答案为：；
（3）解：由数轴可知：，
∴
．
10．（24-25七年级上·江西抚州·期末）我们知道，是指数轴上表示数的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点分别对应数，那么两点间的距离为．
(1)如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，则_____，_____，_____；
(2)若，则_____；
(3)已知三个数在数轴上的位置如图所示，化简：．
【答案】(1)，，
(2)或
(3)
【分析】（）根据数轴解答即可求解；
（）由可得式子表示数对应的点到对应的点与到对应点的距离之和，根据可得数不可能在与之间，再分在左侧和在右侧两种情况解答即可求解；
（）由数轴可得，，进而得到，，，，再根据绝对值的性质化简合并即可；
本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间距离，有理数与数轴，理解绝对值的意义是解题的关键．
【详解】（1）解：由数轴可得，，，，
∴，
故答案为：，，；
（2）解：∵，
∴式子表示数对应的点到对应的点与到对应点的距离之和，
∵，
∴数不可能在与之间，
当在左侧时，则，
解得；
当在右侧时，则，
解得；
∴或，
故答案为：或；
（3）解：由数轴可得，，，
∴，，，，
∴原式
．
11．（24-25七年级上·江苏盐城·期中） “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题．
例：三个有理数a，b，c满足，求的值．
解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当a，b，c都是正数，即，，时，
则：；
②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，
则：，
综上述：的值为3或．
请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题：
(1)已知a，b是有理数，当时，求值．
(2)已知a，b，c是有理数，，，求的值．
【答案】(1)或0
(2)1
【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法法则，根据分类讨论的思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键．
（1）对、进行讨论，即、同正，、同负，、异号，根据绝对值的意义计算得到结果；
（2）根据，，是有理数，，把求转化为求的值，根据得结果．
【详解】（1）解：已知，是有理数，当时，可分为四种情况：
①若，，；
②若，，；
③若，，；
④若，，．
故的值为或0；
（2）解：因为，，是有理数，，，
所以，，，且，，有两个负数一个正数，
不妨设，，，
则．
12．（24-25七年级上·广西南宁·期中）阅读下列材料：
经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时根据绝对值的几何意义，也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．可以表示5与之差的绝对值．也可以理解为5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．
(1)表示数轴上4与___________所对应的两点之间的距离．
(2)表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离，表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离．
(3)利用绝对值的几何意义，请找出有符合条件的整数，使得请直接写出这样的整数的值：_________________________________．
(4)利用绝对值的几何意义，求出的最小值．
【答案】(1)1
(2)5，
(3)，，0，1
(4)5
【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的性质，掌握以上知识是解题的关键；
（1）根据数轴上的两点距离可直接判断；
（2）根据数轴上的两点距离可直接进行求解；
（3）根据绝对值的几何意义，得出该式表示数轴上有理数所对应的点到的距离和到1的距离的和为3，进而求解；
（4）利用绝对值的几何意义，写出的最小值；
【详解】（1）解：由题意得：表示数轴上4与1所对应的两点之间的距离；
故答案为：1；
（2）解：表示数轴上有理数所对应的点到5所对应点之间的距离；表示数轴上有理数到所对应点之间的距离．
故答案为：5，；
（3）解：由题意得：表示数轴上有理数所对应的点到的距离和到1的距离的和为3，
又∵，
∴，
又∵为整数，
∴表示的数为：，，0，1．
故答案为：，，0，1．
（4）解：由题意得：当时，有最小值，最小值为：．
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