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专题05 二次函数图象和性质与系数的四类综合题型
目录
典例详解
类型一、二次函数中含参数的图像和性质
类型二、一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题
类型三、二次函数图像与各项系数符号问题
类型四、二次函数中含参数的综合问题
压轴专练
类型一、二次函数中含参数的图像和性质
1.参数对图象形状与位置的影响：二次项系数a决定开口方向（a>0向上，a<0向下）和宽窄（|a|越大越窄）；一次项系数b和a共同影响对称轴（x=-）；常数项c决定图象与y轴交点（0,c）。 2.参数与函数性质的关联：结合a、b、c可确定顶点坐标（-，），进而分析最值（a>0有最小值，a<0有最大值）及增减区间（以对称轴为界）。 3.含参问题的常见类型：含参二次函数与坐标轴交点问题（判别式Δ=b -4ac的应用）、区间最值讨论（需考虑对称轴与区间位置关系）等。
例1．在平面直角坐标系中，拋物线经过点，．则下列说法错误的是（ ）
A．若，抛物线的对称轴为直线
B．若且，则的取值范围为或
C．若，则抛物线的开口向下
D．若，点在该拋物线上，且，则有
【变式1-1】已知二次函数，下列结论正确的是（ ）
A．当时，函数图象的顶点坐标为
B．当时，的值随的增大而增大
C．当，时，的取值范围是
D．当时，的最大值为8，则或
【变式1-2】二次函数，有下列结论：
①该函数图象过定点；
②当时，函数图象与轴无交点；
③函数图象的对称轴不可能在轴的右侧；
④当时，点，是曲线上两点，若，，则．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-3】（23-24九年级上·天津河北·期末）已知二次函数为非零常数，，当时，随的增大而增大，则下列结论正确的是（　　）
①当时，随的增大而减小；
②若图象经过点，则；
③若，是函数图象上的两点，则；
④若图象上两点，对一切正数，总有，则．
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
类型二、一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断问题
1.各函数图象特征：一次函数y=kx+b（k≠0）是直线，k定倾斜方向（正增负减），b定与y轴交点；反比例函数y=k/x（k≠0）是双曲线，k正分布一三象限，负分布二四象限；二次函数y=ax +bx+c（a≠0）是抛物线，a定开口，对称轴和顶点影响位置。 2.参数关联性判断：同一坐标系中多函数共存时，需通过参数符号（如k、a正负）匹配图象位置，排除矛盾情况（如k正的一次函数与k负的反比例函数同存）。 3.交点与范围分析：利用函数交点坐标满足多解析式，结合图象高低判断函数值大小关系，辅助验证图象正确性。
例2．已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的图象大致为（ ）
A．B．C． D．
【变式2-2】若二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　）
A．B．C． D．
【变式2-3】已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
类型三、二次函数图象与各项系数符号问题
1. 单个系数符号判断：a由抛物线开口方向决定（上正下负）；c是抛物线与y轴交点纵坐标（交y轴正半轴为正，负半轴为负）；b的符号需结合对称轴x=-与a的符号判断（对称轴在y轴左，a、b同号；右则异号）。 2. 特殊点与系数关系：当x=1时，y=a+b+c，其值正负对应抛物线在(1,y)的位置；x=-1时，y=a-b+c，同理可判断该表达式符号。 3. 判别式与交点关系：判别式Δ=b -4ac的符号决定抛物线与x轴交点个数（Δ>0有两个，=0一个，<0无），间接反映系数间关系。
例3．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，有以下结论：①；②；③（m为任意实数）；④若方程的两根为，，且，则，⑤，其中说法正确的有 ．
【变式3-1】（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论正确的是 ．（填写序号）
①；②；③；④当时，；⑤为任意实数，则，⑥若，且，则．
【变式3-2】二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有 （填序号）
【变式3-3】二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③若为任意实数，则有；④；⑤若且，则．其中正确结论有
类型四、二次函数中含参数的综合问题
1.参数对图象与性质的影响：含参二次函数y=ax +bx+c（a≠0）中，a、b、c的符号决定开口方向、对称轴位置、顶点坐标及与坐标轴交点，需结合参数分析增减性、最值等。 2.分类讨论与转化思想：针对参数取值范围，讨论对称轴与给定区间的位置关系（同侧、异侧），确定区间最值；将含参问题转化为方程（如交点问题）或不等式（如取值范围）求解。 3.综合应用与关联知识：常结合一次函数、几何图形（如三角形、四边形面积），利用函数交点坐标、韦达定理及数形结合，解决存在性、最值等综合问题。
例4．已知二次函数．
(1)求该函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）．
(2)当时，二次函数的最小值为，求此时二次函数的解析式．
【变式4-1】已知二次函数，其中．
(1)求该二次函数图象的对称轴；
(2)若，当时，该二次函数的最大值与最小值的差等于9，求t的值；
(3)若，是图象上不同的两点，当时，求m的值．
【变式4-2】已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)平移抛物线，使其顶点在直线上，得到抛物线．
（ⅰ）若抛物线的顶点关于坐标原点的对称点在抛物线上，求抛物线的解析式；
（ⅱ）若点，在抛物线上，当时，都有，求抛物线顶点纵坐标的最大值．
【变式4-3】已知二次函数．
(1)若二次函数经过点，
①求二次函数解析式；
②当时，求的取值范围；
(2)若，点、、在二次函数图象上，请比较的大小．
一、单选题
1．二次函数的图象上有，两点．下列选项正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
2．在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3．下列关于二次函数 （为常数）的结论，①该函数的图象与函数 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，随的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数 的图像上，其中正确的有 （ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图是抛物线的一部分，抛物线的对称轴为直线，有以下5个结论：
①； ②； ③；
④ ⑤，
其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
5．已知抛物线关于对称，其部分图象如图所示，则 ．
6．已知点，，在二次函数的图象上，则，，之间的大小关系是 （用“”连接）．
7．已知抛物线，点，是抛物线上两点，且．
（1）抛物线的对称轴为 （用含有的式子表示）；
（2）当时，始终满足，则的取值范围是 ．
8．如图，已知抛物线 图象的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示．下列命题中：①；②；③对于任意实数m，都有；④是抛物线上的两个点，若 且 ＞2，则 ．真命题的序号是 ．
三、解答题
9．已知二次函数（是常数且）．
(1)若，求出该函数图象的顶点坐标；
(2)若该函数图象经过原点，当时，函数的最大值恰好是，求的值．
10．在平面直角坐标系中，已知点在二次函数的图象上．
(1)若，求二次函数的顶点坐标；
(2)若对于，有，求实数的取值范围．
11．已知二次函数为常数，且
(1)若函数图象过点，求a的值．
(2)当时，函数的最大值为M，最小值为N，若，a的值．
12．已知二次函数．
(1)若二次函数经过，求二次函数的解析式；
(2)当时，函数有最大值为6，求t的值；
(3)在二次函数图象上任取两点，，当时，总有，求t的取值范围．
13．已知二次函数（）．
(1)若函数经过，求二次函数的解析式；
(2)若点，点均在函数图象上，求的值；
(3)当时，函数最大值为7，求的值．
14．已知，二次函数，x与y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … t m p n …
(1)当时，
①若，求二次函数解析式．
②若，求证：．
(2)若，且当时，函数y有最大值，求a的取值范围．
15．已知二次函数（为常数）的图象的顶点坐标为．
(1)求二次函数的表达式．
(2)已知点在的图象上，．
①若，请比较与的大小并说明理由．
②若（为常数），当时，求的范围并说明理由．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题05 二次函数图象和性质与系数的四类综合题型
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典例详解
类型一、二次函数中含参数的图像和性质
类型二、一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题
类型三、二次函数图像与各项系数符号问题
类型四、二次函数中含参数的综合问题
压轴专练
类型一、二次函数中含参数的图像和性质
1.参数对图象形状与位置的影响：二次项系数a决定开口方向（a>0向上，a<0向下）和宽窄（|a|越大越窄）；一次项系数b和a共同影响对称轴（x=-）；常数项c决定图象与y轴交点（0,c）。 2.参数与函数性质的关联：结合a、b、c可确定顶点坐标（-，），进而分析最值（a>0有最小值，a<0有最大值）及增减区间（以对称轴为界）。 3.含参问题的常见类型：含参二次函数与坐标轴交点问题（判别式Δ=b -4ac的应用）、区间最值讨论（需考虑对称轴与区间位置关系）等。
例1．在平面直角坐标系中，拋物线经过点，．则下列说法错误的是（ ）
A．若，抛物线的对称轴为直线
B．若且，则的取值范围为或
C．若，则抛物线的开口向下
D．若，点在该拋物线上，且，则有
【答案】D
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质：
若，把点代入，求出a的值，可求出抛物线解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解；求出抛物线与x轴的另一个交点为，再根据二次函数的图象，即可求解；
若，把点代入可得，再由，可得，，从而得到抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，然后根据，可得，再根据，可得到对称轴的距离大于对称轴的距离，即可求解．
【详解】解：当时，点，
把点代入得：，
解得：，
∴该函数解析式为，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线；选项A说法正确，不符合题意；
令，则，
解得：，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，m的取值范围为或；选项B说法正确，不符合题意；
若，
把点代入得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线开口向下，选项C说法正确，不符合题意；
抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴到对称轴的距离大于对称轴的距离，
∴．选项D说法错误，符合题意；
故选：D．
【变式1-1】已知二次函数，下列结论正确的是（ ）
A．当时，函数图象的顶点坐标为
B．当时，的值随的增大而增大
C．当，时，的取值范围是
D．当时，的最大值为8，则或
【答案】D
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．根据条件和二次函数的性质，逐项分析判断原说法的正误即可．
【详解】解：A、当时，，顶点坐标是，故原说法错误，不符合题意；
B、当时，，当时，的值随的增大而增大，但前提条件没有说，故原说法错误，不符合题意；
C、当时，，当时，，解得，故原说法错误，不符合题意；
D、抛物线对称轴是直线．
若，则时，的最大值为8，
∴，
∴；
若，则时，的最大值为8，
∴，
∴．
∴当时，的最大值为8，则或，正确，符合题意；
故选：D．
【变式1-2】二次函数，有下列结论：
①该函数图象过定点；
②当时，函数图象与轴无交点；
③函数图象的对称轴不可能在轴的右侧；
④当时，点，是曲线上两点，若，，则．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将抛物线整理为，即可判断①，将代入并计算即可判断②，计算抛物线的对称轴并根据即可判断③；根据题意确定对称轴的范围后可确定、的位置，再根据增减性即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
【详解】解：，
当时，，
该函数图象过定点，故①正确；
当时，，
，
函数图象与轴无交点，故②正确；
抛物线的对称轴为：，
，
，
当时，对称轴在轴左侧，当时，对称轴在轴右侧，故③错误；
，
，
，，
，在对称轴左侧，，在对称轴右侧，
，
抛物线开口向上，在对称轴左侧，随增大而减小，在对称轴右侧，随增大而增大，
当时，，
当时，，
此时，，
，
，
，故④错误，
故选：B．
【变式1-3】（23-24九年级上·天津河北·期末）已知二次函数为非零常数，，当时，随的增大而增大，则下列结论正确的是（　　）
①当时，随的增大而减小；
②若图象经过点，则；
③若，是函数图象上的两点，则；
④若图象上两点，对一切正数，总有，则．
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：①：∵二次函数为非零常数，，
，
又∵当时，随的增大而增大，
∴，开口向下，
∴当时，随的增大而减小，
故①正确；
②：∵二次函数为非零常数，，当时，随的增大而增大，
，
若图象经过点，则，
得，
，
∴ ，
故②错误；
③：又∵对称轴为直线，，
∴，
∴若，是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，则，
故③正确；
④若图象上两点，对一切正数n，总有，，
∴该函数与x轴的两个交点为，
∴，
解得，
故④正确；
∴①③④正确；②错误．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
类型二、一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断问题
1.各函数图象特征：一次函数y=kx+b（k≠0）是直线，k定倾斜方向（正增负减），b定与y轴交点；反比例函数y=k/x（k≠0）是双曲线，k正分布一三象限，负分布二四象限；二次函数y=ax +bx+c（a≠0）是抛物线，a定开口，对称轴和顶点影响位置。 2.参数关联性判断：同一坐标系中多函数共存时，需通过参数符号（如k、a正负）匹配图象位置，排除矛盾情况（如k正的一次函数与k负的反比例函数同存）。 3.交点与范围分析：利用函数交点坐标满足多解析式，结合图象高低判断函数值大小关系，辅助验证图象正确性。
例2．已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、反比例函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题考查一次函数、二次函数、反比例函数的图象，根据二次函数的图象确定，，，再去判断一次函数与反比例函数的图象即可．
【详解】∵二次函数的部分函数图象开口向上，与x轴有两个交点，
∴，，
∴一次函数的图象位于第一，二，三象限，排除选项A，C；
由二次函数的部分函数图象可知，点在x轴上方，
∴，
∴的图象位于第一，三象限，
据此可知，符合题意的是B，
故选：B．
【变式2-1】二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的图象大致为（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断、一次函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象，根据二次函数的图象得出，，，，从而得出，即可判断一次函数图象所经过的象限，由当时，，即可判断反比例函数的图象所经过的象限，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，抛物线对称轴在轴右侧，交轴于负半轴，与轴有个交点，
，，，，
，
，
一次函数的图象经过第一、二、三象限，
在抛物线中，当时，，
反比例函数经过第一、三象限，
故选：A．
【变式2-2】若二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　）
A．B．C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、反比例函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质，一次函数和反比例函数的图象和性质．观察抛物线的图象可得，，从而得到一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象位于第一、三象限，即可求解．
【详解】解：观察抛物线的图象得：抛物线与y轴交于正半轴，开口向下，且对称轴位于y轴的右侧，
∴，
∴，
∴一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象位于第一、三象限，
∴一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系的图象可能是
故选：C
【变式2-3】已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断、一次函数、二次函数图象综合判断、一次函数与反比例函数图象综合判断
【分析】本题主要考查反比例函数，二次函数，一次函数的性质和图像；先根据抛物线过原点排除A，再根据反比例函数图象确定的符号，再由的符号确定抛物线与直线在直角坐标系中的位置即可．
【详解】∵抛物线的常数项为0，
抛物线一定经过原点，故A错误.
∵反比例函数的图象在第一、三象限，
，即同号
当，抛物线的对称轴在轴左侧，直线经过第二、三、四象限，故D错误.
当，抛物线的对称轴在轴右侧，直线经过第一、二、三象限，故B错误，C正确．
故选：C．
类型三、二次函数图象与各项系数符号问题
1. 单个系数符号判断：a由抛物线开口方向决定（上正下负）；c是抛物线与y轴交点纵坐标（交y轴正半轴为正，负半轴为负）；b的符号需结合对称轴x=-与a的符号判断（对称轴在y轴左，a、b同号；右则异号）。 2. 特殊点与系数关系：当x=1时，y=a+b+c，其值正负对应抛物线在(1,y)的位置；x=-1时，y=a-b+c，同理可判断该表达式符号。 3. 判别式与交点关系：判别式Δ=b -4ac的符号决定抛物线与x轴交点个数（Δ>0有两个，=0一个，<0无），间接反映系数间关系。
例3．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，有以下结论：①；②；③（m为任意实数）；④若方程的两根为，，且，则，⑤，其中说法正确的有 ．
【答案】②③④⑤
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解二次函数的开口方向，对称轴，与坐标轴交点的关系等知识．
根据抛物线开口方向、对称轴、与轴的交点可对①⑤进行判断；根据抛物线的对称性可知时，，可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；根据函数与方程的关系可对④进行判断．
【详解】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线，
，则，
∴，所以⑤正确；
抛物线与轴的交点在轴下方，
，
，所以①错误；
抛物线对称轴是直线，且过点，
抛物线过点，
时，，
，所以②正确；
抛物线的对称轴为直线，
当时，有最小值，
（为任意实数），
则，所以③正确；
方程的两根为，，且，
抛物线与直线有两个交点，，
由图象可知，所以④正确．
故答案为：②③④⑤．
【变式3-1】（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论正确的是 ．（填写序号）
①；②；③；④当时，；⑤为任意实数，则，⑥若，且，则．
【答案】①③⑥
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数图象的对称轴位置和抛物线开口方向确定①②⑤，根据时的值判定③，由抛物线图象和性质判定④，利用因式分解可判定⑥．
【详解】解：抛物线开口向上，则，
抛物线与轴交于点和点，
对称轴为直线，
则，
，即，故②不正确；
抛物线开口向上，
∴，
，
抛物线与轴的交点在负半轴，则，
，故①正确；
抛物线过点，
又
，即，故③正确；
抛物线与轴交于点和点，
当时，由图象可得或，故④不正确；
对称轴为直线，，
当时，抛物线有最小值，
当为任意实数，则，
即，故⑤不正确；
若，且，
∴，
，
整理得，
∵，
∴，
∴，故⑥正确．
综上，正确的有①③⑥．
故答案为：①③⑥．
【变式3-2】二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有 （填序号）
【答案】③④⑤
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于．根据抛物线的开口方向、与轴的交点、对称轴可判断①；由抛物线与轴的交点及抛物线的对称性可判断②，对称轴为直线，即可判断③；由抛物线与轴有两个交点，且对称轴为直线，即可判断④．由抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．判断⑤；
【详解】解：∵二次函数的部分图象如图所示，
∴开口向下，
∵图象过点，对称轴为直线，
∴
∴
∵抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．
∴
∴
故①错误；
∵
∴
故③正确；
∵如图：
则图象过点，抛物线开口向下
把代入
∴
∴
故②错误；
∵则图象过点，对称轴为直线
∴抛物线与轴的另一个交点为
∵抛物线开口向下
∴当时，
故④正确的；
把代入，
得
∵
∴
∴
∵
∴
故⑤正确的
故答案为：③④⑤．
【变式3-3】二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③若为任意实数，则有；④；⑤若且，则．其中正确结论有
【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴求得与的关系，以及熟练掌握二次函数与方程、不等式之间的转化，是解题的关键．
由抛物线的开口方向判断的大小，根据抛物线与轴的交点判断的大小，根据对称轴和抛物线与轴的交点情况进行推理，对结论逐一判断，即可解答．
【详解】解：图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右边，
可得：，，故①正确；
根据对称轴为直线，抛物线与轴的交点在的左边，
可得：抛物线与轴的另一个交点在和之间，
当时，，故②正确；
当时，函数具有最大值为，
，即，故③错误；
根据，可得，由②得，故④正确；
∵，
∴，
令，
则：在二次函数上，
，
关于对称轴直线对称，
根据中点公式可得，
，故⑤错误；
故答案为：①②④．
类型四、二次函数中含参数的综合问题
1.参数对图象与性质的影响：含参二次函数y=ax +bx+c（a≠0）中，a、b、c的符号决定开口方向、对称轴位置、顶点坐标及与坐标轴交点，需结合参数分析增减性、最值等。 2.分类讨论与转化思想：针对参数取值范围，讨论对称轴与给定区间的位置关系（同侧、异侧），确定区间最值；将含参问题转化为方程（如交点问题）或不等式（如取值范围）求解。 3.综合应用与关联知识：常结合一次函数、几何图形（如三角形、四边形面积），利用函数交点坐标、韦达定理及数形结合，解决存在性、最值等综合问题。
例4．已知二次函数．
(1)求该函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）．
(2)当时，二次函数的最小值为，求此时二次函数的解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数的最值，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象性质．
（1）将函数解析式化成顶点式，即可求解；
（2）根据抛物线开口向上．对称轴为直线，得出在对称轴的左侧，则当时，y最小为，得出，解得．再根据，则，得到，代入即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数，
∴顶点坐标为．
（2）解：∵1＞0，
∴抛物线开口向上．
∵对称轴为直线，
∴在对称轴的左侧，
∴当时，y最小为，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
此时二次函数的解析式为．
【变式4-1】已知二次函数，其中．
(1)求该二次函数图象的对称轴；
(2)若，当时，该二次函数的最大值与最小值的差等于9，求t的值；
(3)若，是图象上不同的两点，当时，求m的值．
【答案】(1)直线
(2)
(3)
【分析】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．
（1）根据二次函数的对称轴公式求解即可；
（2）有得到表达式，然后求出当时，二次函数有最小值3，求出当时，，然后根据题意得到当时，，然后代入求解即可；
（3）根据题意得到，然后得到点和点关于对称轴对称，即可得到．
【详解】（1）∵二次函数
∴对称轴为直线；
（2）若，
∴二次函数
∴当时，二次函数有最小值3
∴当时，
∵当时，该二次函数的最大值与最小值的差等于9，
∴当时，
∴
解得（舍去）或；
（3）∵若，是图象上不同的两点，当时，
∴
由（1）得，该二次函数图象的对称轴为直线
∴点和点关于对称轴对称
∴．
【变式4-2】已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)平移抛物线，使其顶点在直线上，得到抛物线．
（ⅰ）若抛物线的顶点关于坐标原点的对称点在抛物线上，求抛物线的解析式；
（ⅱ）若点，在抛物线上，当时，都有，求抛物线顶点纵坐标的最大值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）抛物线的解析式为或；（ⅱ）3
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移问题，一次函数图象上的点的坐标特点，熟知二次函数的相关知识是解题的关键。
（1）利用待定系数法求解函数解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案；
（2）设抛物线的顶点的横坐标为，则抛物线的顶点坐标为，根据关于原点对称的点横纵坐标互为相反数可推出点在抛物线上将代入，得，解方程即可得到答案；
（ⅱ）设抛物线的顶点的横坐标为，由（ⅰ）得，则可得到，，进而得到，根据，，得到，则，再由抛物线的顶点的纵坐标为，可得当时，取最大值，最大值为．
【详解】（1）解：将点代入中，得，
解得，
∴抛物线解析式为，
抛物线的顶点坐标为；
（2）解：（ⅰ）设抛物线的顶点的横坐标为，
抛物线的顶点在直线上，
抛物线的顶点坐标为，
抛物线的解析式为，
点关于坐标原点的对称点为，且点在抛物线上
∴将代入，得，
整理，得，
解得，，
抛物线的解析式为或；
（ⅱ）设抛物线的顶点的横坐标为，
由（ⅰ）得，
，在抛物线上，
，，
，
，
，
，
，
，
，
抛物线的顶点的纵坐标为，
当时，取最大值，最大值为．
【变式4-3】已知二次函数．
(1)若二次函数经过点，
①求二次函数解析式；
②当时，求的取值范围；
(2)若，点、、在二次函数图象上，请比较的大小．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据自变量的范围求函数值的范围，二次函数的增减性，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式．
（1）①把代入，求出，就可得二次函数解析式；
②先求出二次函数的最小值，再在自变量范围内求出最大值即可；
（2）先分别求得，， ，判断各自的符号，再比较的大小．
【详解】（1）解：①把代入，得：，解得，
二次函数解析式为；
②在“”范围内，
，
对称轴为直线，二次项系数为，
抛物线的开口向上，
当时，，
当时，，
当时，，
；
（2）当时，
当时，
，
，当时，
，
当时，，
．
一、单选题
1．二次函数的图象上有，两点．下列选项正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图像上的点和因式分解，比较点和的纵坐标大小，需分析二次函数对称轴及开口方向，结合不同a的取值区间判断函数值关系，解题的关键是比较两个数的大小用作差法；
【详解】解：求对称轴：二次函数的对称轴为.
∴ （代入）， （代入）.
∴ .
分析表达式的符号：
当：均为负，乘积为负，故，故选项A正确.
当：，乘积为正，故，故故选项B、C错误.
当：，乘积为负，故 ，
当：均为正，乘积为正，故，但选项D包含区间，故整体错误.
故选项：A
2．在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象等知识点，灵活运用利用一次函数的性质和二次函数的性质是解题的关键．
根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数中a、b的正负情况与二次函数中a、b的正负情况，然后逐项判断即可解答．
【详解】解：A、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项A错误，不符合题意；
B、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项B正确，符合题意；
C、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项C错误，不符合题意；
D、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项D错误，不符合题意．
故选：B．
3．下列关于二次函数 （为常数）的结论，①该函数的图象与函数 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，随的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数 的图像上，其中正确的有 （ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．通过分析二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及特定点代入，逐一验证各结论的正确性．
【详解】解：二次函数形状由二次项系数决定，原函数为，其二次项系数为，与的系数相同，故两函数图象形状相同，结论①正确；
对于，当时，即，该函数的图象一定经过点，结论②正确；
由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，结论③错误；
的顶点坐标为，对于二次函数，当时，，即该函数的图象的顶点在函数的图象上，结论④正确；
综上，正确结论为①②④，共3个，
故选：C．
4．如图是抛物线的一部分，抛物线的对称轴为直线，有以下5个结论：
①； ②； ③；
④ ⑤，
其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系， 根据函数图像可知：，，由对称轴直线可知，可得出，进而可判断①②，由二次函数的对称性可判断③，当时，，结合可判断④，由二次函数的最大值可判断⑤．
【详解】解：根据函数图像可知：，，
∵，
∴，
∴，故①正确，
，故②正确，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当和时，y值相等，且当时，，
即，故③正确，
当时，，
∵
∴，
∴
即
∴，故④正确，
∵抛物线开口向下，对称轴为，
∴当时，y有最大值，
当时，，
∴
∴，故⑤正确，
综上：①②③④⑤正确，
故选∶D
二、填空题
5．已知抛物线关于对称，其部分图象如图所示，则 ．
【答案】
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，利用顶点式求出二次函数的解析式，即可得到a和c的值，然后代入计算解题．
【详解】解：设抛物线的解析式为，把和代入得：
，解得，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
6．已知点，，在二次函数的图象上，则，，之间的大小关系是 （用“”连接）．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵，
∴，
故答案为：．
7．已知抛物线，点，是抛物线上两点，且．
（1）抛物线的对称轴为 （用含有的式子表示）；
（2）当时，始终满足，则的取值范围是 ．
【答案】 直线 或
【分析】本题考查了抛物线的对称性质，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）令，可求得抛物线与x轴的两个交点坐标，即可求得对称轴；
（2）分与两种情况考虑，利用二次函数的图象与性质即可求解．
【详解】解：（1）令，则；
∵，
∴；
即抛物线与x轴交于点，
∴抛物线的对称轴为直线；
故答案为：直线；
（2）当时，，
抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小，
∵当，且时，始终满足，
∴，
解得：；
∴；
当时，，
抛物线开口向下，抛物线对称轴的右侧，函数值y随自变量的增大而减小；
∵当，且时，始终满足，
∴，
即，
∴；
综上，或；
故答案为：或．
8．如图，已知抛物线 图象的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示．下列命题中：①；②；③对于任意实数m，都有；④是抛物线上的两个点，若 且 ＞2，则 ．真命题的序号是 ．
【答案】①③
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，根据二次函数的性质可得，可判断结论①；由可判断结论②；由处函数值最大可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离可判断结论④．
【详解】解：∵二次函数开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵二次函数对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵
∴，
∴，故②错误；
由得函数的最大值为，
∵抛物线开口向下，
∴不论取何值，都有，
∴，故③正确；
∵对称轴是直线，
∴若，即时，则，
∴当时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离
∵二次函数开口向下，
∴离对称轴越远函数值越小，
∴，故④错误．
综上所述，正确的选项是①③．
故答案为：①③．
三、解答题
9．已知二次函数（是常数且）．
(1)若，求出该函数图象的顶点坐标；
(2)若该函数图象经过原点，当时，函数的最大值恰好是，求的值．
【答案】(1)
(2)或8
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
（1）将代入即可得二次函数的解析式，再将二次函数的解析式化成顶点式即可得其顶点坐标；
（2）先将点代入求出二次函数的解析式为，再分两种情况：①和②，利用二次函数的增减性求解即可得．
【详解】（1）解：当时，，即，
将二次函数的解析式化成顶点式为，
则该函数图象的顶点坐标为．
（2）∵函数图象经过点，
∴，
∴或（不符合题意，舍去），
∴，其对称轴为直线，
∴时的函数值与时的函数值相等，即为，
由二次函数的性质可知，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．
则分以下两种情况：
由①当时，则在内，当时，的值最大，
∴，
解得，符合题设；
②当时，则在内，当时，的值最大，
∴，
解得或（不符合题设，舍去）；
综上，的值为或8．
10．在平面直角坐标系中，已知点在二次函数的图象上．
(1)若，求二次函数的顶点坐标；
(2)若对于，有，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线上的点离对称轴越远近，判断函数值大小是解题关键，
（1）根据顶点公式求解即可；
（1）根据抛物线解析式可得：对称轴，开口方向向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，由此得出， 根据，得不等式组，分类根据的取值范围化简绝对值解不等式组即可．
【详解】（1）解：当 时，二次函数为 ，
顶点横坐标为 ，
代入 ，得 ，
故顶点坐标为 ．
（2）∵抛物线的对称轴，开口方向向上，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
又∵点， ，
∴，
又∵，
∴，
当时，不等式组化为
，不等式组无解，
当时，不等式组化为
，解得：，
当时，不等式组化为
，不等式组无解，
当时，不等式组化为
，解得：，
综上所述： 的取值范围为 或 ．
11．已知二次函数为常数，且
(1)若函数图象过点，求a的值．
(2)当时，函数的最大值为M，最小值为N，若，a的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．
（1）把点代入解析式即可求得a的值；
（2）把解析式化成顶点式，即可求得抛物线的顶点为，即可求得时，，进而求得当时，，然后分两种情况列出关于a的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：二次函数的图象过点，
，
（2）解：由题意，，
抛物线的顶点为，
时，，
当时，，
当时，当时，，，
，
，
当时，当时，，，
，
，
的值为或
12．已知二次函数．
(1)若二次函数经过，求二次函数的解析式；
(2)当时，函数有最大值为6，求t的值；
(3)在二次函数图象上任取两点，，当时，总有，求t的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的性质及待定系数法主函数解析式．
（1）把点的坐标代入函数解析式中求出t即可；
（2）根据二次函数解析式得抛物线开口向上，进而得或时，函数有最大值6，分别代入、，得到关于t的方程，解方程求出t的值，并验证此时最大值为6即可；
（3）抛物线开口向上，得出称轴为直线，根据二次函数图象的增减性结合题意可得关于t的不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：把代入函数解析式得，
，
∴，
∴函数解析式为：；
（2）解：∵，
∴抛物线开口向上，
∴当时，或时，函数有最大值6，
若当时，，
解得，
当时，，将代入得，
，符合题意；
若当时，，
解得，
当时，，将代入得，
，符合题意；
综上，t的值为8或；
（3）解：∵二次函数，
∴二次函数图象的对称轴为，
∵当时，总有，开口向上，
∴当点，在对称轴同侧时，随的增大而减小，则都在对称轴的左侧，即，解得；
当点，在对称轴异侧时，则对称轴左右两端存在函数值的相等的两段范围，无法保证左边的函数值一定比右边大，即不合题意，
综上所述，．
13．已知二次函数（）．
(1)若函数经过，求二次函数的解析式；
(2)若点，点均在函数图象上，求的值；
(3)当时，函数最大值为7，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的对称性和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键；
（1）把点代入，求出m即可得解；
（2）由题意可得A、B两点关于抛物线的对称轴对称，求出抛物线的对称轴，进而求解；
（3）分与两种情况，根据抛物线的性质得到关于m的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：把点代入，得
，
解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：∵点，点均在函数图象上，
∴A、B两点关于抛物线的对称轴对称，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
解得：；
（3）解：当时，∵时，函数最大值为7，且抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，，
∴当时，函数取到最大值7，
即，
解得：；
当时，∵时，函数最大值为7，且抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大，，
∴当时，函数取到最大值7，
即，
解得：；
综上：或．
14．已知，二次函数，x与y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … t m p n …
(1)当时，
①若，求二次函数解析式．
②若，求证：．
(2)若，且当时，函数y有最大值，求a的取值范围．
【答案】(1)①；②见解析
(2)或
【分析】本题主要考查求出函数解析式以及二次函数的性质，解答本题的关键要熟悉函数与坐标轴的交点，以及这些点代表的意义及函数特征．
（1）①由可求出，再根据对称性求出，故可得抛物线的解析式；
②求得，，，由得，从而可得结论；
（2）分和两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：①当时，
若时，抛物线对称轴为直线，
解得
二次函数解析式为；
②当时，，
当时，，
当时，，
，即；
（2）解：若时，二次函数解析式为，
此抛物线的对称轴为直线
若，函数有最大值，
且，解得
若，当时，函数有最大值顶点的纵坐标，解得
综上所述，或
15．已知二次函数（为常数）的图象的顶点坐标为．
(1)求二次函数的表达式．
(2)已知点在的图象上，．
①若，请比较与的大小并说明理由．
②若（为常数），当时，求的范围并说明理由．
【答案】(1)
(2)①，理由见解析；②，理由见解析
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法和二次函数的性质．
（1）根据顶点坐标得出对称轴，求出，再将代入求解即可；
（2）①根据，得出，根据，，得出．根据，得出，即可得．即可得出．
②根据，得出，根据，
得出，结合，得出，即．根据，即可得出．
【详解】（1）解：顶点坐标为，
，
．
将代入，得．
．
（2）解：①，
，
，
，
．
，
，
．
，
．
②，
，
，
，
，
，
．
，
．
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