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专题06 实际问题与二次函数的三类综合题型
目录
典例详解
类型一、增长率、销售问题
类型二、拱桥、投球、喷水问题
类型三、图形及图形运动问题
压轴专练
类型一、增长率、销售问题
利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值
例1．（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元．
(1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率；
(2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？
【变式1-1】（24-25九年级上·云南玉溪·期末）某商家利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，若销售单价为36元，则每天可卖出88件，为提高利润，欲对该商品进行涨价销售，经调查发现：每涨价1元，每天要少卖出2件，按单价不低于成本价，且不高于50元销售．
(1)求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
(2)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
【变式1-2】（23-24九年级上·河南郑州·期末）巩义特产小相菊花茶深受顾客喜爱，小相菊花茶进价为元/两，某商店对销售情况作了调查，结果发现月最大销售量（两）与售价（元/两）之间的函数关系如图中的线段所示．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出两数）
(1)求出与之间的函数表达式；
(2)若该菊花茶某月的总销售利润元，求关于的函数表达式，当售价为多少元/两时，销售利润最大，该月进货数量应定为多少？
(3)若该商店某月进货两，如果销售不完，就以亏本元/两计入总利润，当销售单价定为多少时，当月月利润最大？（注：“两”是一种质量单位）
【变式1-3】（23-24九年级上·安徽·期末）某商店销售一种进价60元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表：
售价x/（元/件） 80 100
销售量y/件 100 60
(1)求销售量y关于售价x的函数关系式．
(2)①设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．
②若规定售价高于进价且不超过进价的1.5倍，问当售价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？
类型二、拱桥、投球、喷水问题
利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值
例2．（23-24九年级上·河南郑州·期末）你见过“倒过来的桥”吗？位于我国湖南省邵阳洞口县的淘金大桥，大桥的位置在一个山谷当中，桥全长70米，这座桥桥面是水平的，而桥底则是近似为抛物线，桥面和桥底用若干混凝土石柱竖直支撑．小明在研究淘金大桥时测得当距离桥头35米时，桥面和桥底的支撑石柱最长，为20米，小明以桥面为x轴，桥头为原点建立如图的平面直角坐标系，设桥底的函数解析式为．
(1)求该函数的解析式；
(2)思考：
①若该桥平均分布9根石柱支撑，求离桥头最近的石柱的长度；
②若石柱的长度为16.8米，则这根石柱安放的位置距离桥头有多远？
【变式2-1】（23-24九年级上·江苏淮安·期中）足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）
【变式2-2】（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2．
(1)求抛物线L的函数解析式；
(2)求小球P在x轴上的落点坐标；
(3)在x轴上的线段处，竖直向上摆放着若干个无盖儿的长方体小球回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是、，当小球P恰好能落入回收箱内（不含边缘）时，求竖直摆放的回收箱的个数．
【变式2-3】（23-24八年级下·福建福州·期末）小明和小亮玩打水仗，两人相距米，两人身高都是米．以水平线为轴，小明所站立线为轴建立如图所示直角坐标系，点是小明水枪的喷口，小明的喷水枪喷出的水行走的路线为抛物线，小亮为了喷到小明，踮脚抬臂，使得喷枪的喷口坐标为，小亮水枪喷出的水行走路线为抛物线，且其过点．
(1)请通过计算说明小明能否喷到小亮；
(2)如果是抛物线的顶点，请通过计算说明小亮能否喷到小明．
类型三、图形及图形运动问题
二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的．
例3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，某校准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点D在线段上，设的长为x米．
(1)请用含x的代数式表示的长；
(2)若要求所围成的小型农场的面积为平方米，求的长；
(3)求小型农场的最大面积．
【变式3-1】为充分利用现有资源，某校“牧春园”计划用一块矩形地种植两种花卉，如图，矩形地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积相等的矩形，已知栅栏的总长度为．
(1)若矩形地的面积为，求的长：
(2)当边为多少时，矩形地的面积最大，最大面积是多少？
【变式3-2】（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为．
(1)填空：______，_______；（用含t的式表示）
(2)当t为何值时，的长度等于？
(3)当t为何值时，的面积最大？
【变式3-3】如图，用一段长为的围栏，围成一边靠墙的三块矩形区域种植花卉，墙长为．矩形与矩形的面积相等，矩形与矩形的面积相等．设长为长为，矩形的面积为．
(1)直接写出与x，z与之间的函数关系式；
(2)当为何值时，有最大值？最大值是多少？
(3)若需要对矩形和矩形区域进行装修改造，单价分别为64元和40元．受资金投入限制，改造总费用不能超过11520元，请直接写出的取值范围．
一、单选题
1．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ）
A． B． C． D．
2．某景区旅店有30张床位，每床每天收费10元时，可全部租出．若每床每天收费提高5元，则有1张床位不能租出；若每床每天收费再提高5元，则再有1张床位不能租出；若每次按提高5元的这种方法变化下去，则该旅店每天营业收入最多为（ ）
A．3125元 B．2120元 C．2950元 D．1280元
3．如图①所示的矩形窗框ABCD的周长及其两条隔断EF，GH的总长为，且隔断EF，GH分别与矩形的两条邻边平行．设BC的长为，矩形ABCD的面积为，y关于x的函数图象如图②，则下列说法正确的是（ ）
A．矩形ABCD的最大面积为 B．当时，矩形ABCD的面积最大
C．a的值为12 D．以上说法均错误
二、填空题
4．（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）如图1是小峡水电站黄河公路大桥，它的一个桥拱可以近似看作抛物线，一个桥拱在水面的跨度约为40米，若按如图2所示方式建立平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线可以表示为，则此时桥拱最高点P离水面的高度是 米．
5．（24-25八年级下·广西南宁·期末）某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度（单位：）与足球飞行的时间（单位：）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球到达最高点所需的时间是 ．
6．用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的菜园．
方案一：如图①，围成一个矩形菜园，其中一边是墙，
其余的三边，， 用篱笆，其中；
方案二：如图②，围成一个扇形菜园，一条半径是墙，其余用篱笆．
有下列结论：
①的长可以是；
②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为；
③矩形菜园的面积的最大值为；
④方案二围成扇形菜园的最大面积大于方案一围成矩形菜园的最大面积．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题
7．（2025·广东·中考真题）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式．
8．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个12元，标价为每个20元．
(1)商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城对甲商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元售出，求每次降价的百分率；
(2)市场调研表明：当甲商品每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个．
①在保证甲每个商品的售价不低于进价的前提下，若商城要想销售甲商品每天的销售额为1190元，则每个应降价多少元？
②若要使甲商品每天的销售利润最大，每个应该降价多少元？此时最大利润为多少元？
9．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面宽，拱顶距离水面．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若水位上升就达到警戒线的位置，求这时水面的宽度．
10．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）某超市销售一批成本为元/千克的绿色健康食品，深受游客青睐，经市场调查发现，该食品每天的销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)写出关于的函数关系式：________，销售利润为__________元（用含有代数式表示）
(2)为尽可能让利于顾客，当该超市每天销售这种绿色健康食品获利元时，销售单价为多少元？
(3)请求出销售利润的最大值及此时销售单价．
11．（24-25九年级下·湖北孝感·期中）习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造”．某校为促进学生全面发展、健康成长，计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图），另外三边用长为的篱笆围成．已知墙长为，设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为，其中，平行于墙的一边的长为，矩形劳动实践基地的面积为．
(1)请直接写出与，与的函数关系式；
(2)当时，求垂直于墙的一边长；
(3)若根据实际情况，可利用的墙的长度不超过，垂直于墙的一边长为多少时，这个矩形劳动实践基地的面积最大？并求出这个最大值．
12．（24-25八年级下·福建福州·期末）八年级小惠同学的爸爸是开花店的，于是他就想趁着情人节活动赚点零花钱，他以元/朵的价格从爸爸那里购入一批玫瑰花，准备在情人节那天销售．开花店的爸爸告诉他前4天的这种玫瑰花日销售量y（朵）与销售单价x（元）的对应值表：
销售单价x/元 10 12 14 16
日销售量y/朵 36 32 28 24
小惠判断出y与x是一次函数关系．请你根据以上信息，帮小惠完成下列问题：
(1)求y关于x的函数解析式：
(2)当销售单价为多少元时，小惠获得的日销售利润最大？并求出最大利润；
(3)爸爸要求小惠日销售利润不低于180元，请直接写出销售单价x的取值范围______．
13．2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网高度为1米．建立如图①所示的平面直角坐标系．运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高．
(1)求抛物线的解析式；
(2)判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由；
(3)运动员在第二次击球时仍然在点P处，通过击球改变网球的飞行路线，其抛物线为，网球在距球网右侧水平距离2米时，离地面的高度不低于4米，且网球落在对方区域内（含边界），求m的最大值．
14．（2025·山西·中考真题）综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为．
数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．
（2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长；
（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题06 实际问题与二次函数的三类综合题型
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典例详解
类型一、增长率、销售问题
类型二、拱桥、投球、喷水问题
类型三、图形及图形运动问题
压轴专练
类型一、增长率、销售问题
利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值
例1．（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元．
(1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率；
(2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)19元；250元
【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数)、销售问题(实际问题与二次函数)、y=ax +bx+c的最值、增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可．
（2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得．
本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键．
【详解】（1）设商城每次降价的百分率为x，
根据题意，得，
解得（舍去），
答：商城每次降价的百分率为为．
（2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，
根据题意，得
，
∴当时，利润最大，250(元),
答：定价为19元，最大利润为250元．
【变式1-1】（24-25九年级上·云南玉溪·期末）某商家利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，若销售单价为36元，则每天可卖出88件，为提高利润，欲对该商品进行涨价销售，经调查发现：每涨价1元，每天要少卖出2件，按单价不低于成本价，且不高于50元销售．
(1)求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
(2)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)销售单价定为50元时，才能使销售该商品每天获得的利润w元最大，最大利润是1200元
【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，列函数关系式，
（1）根据销售单价为36元，则每天可卖出88件，每涨价1元，每天要少卖出2件列出对应的函数关系式即可；
（2）根据利润（售价成本）数量，列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
；
（2）解：由题意得，
，
∴对称轴为直线，
∵，
∴当时，w随的增大而增大，
∴当时，w最大，最大值，
答：销售单价定为50元时，才能使销售该商品每天获得的利润w元最大，最大利润是1200元．
【变式1-2】（23-24九年级上·河南郑州·期末）巩义特产小相菊花茶深受顾客喜爱，小相菊花茶进价为元/两，某商店对销售情况作了调查，结果发现月最大销售量（两）与售价（元/两）之间的函数关系如图中的线段所示．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出两数）
(1)求出与之间的函数表达式；
(2)若该菊花茶某月的总销售利润元，求关于的函数表达式，当售价为多少元/两时，销售利润最大，该月进货数量应定为多少？
(3)若该商店某月进货两，如果销售不完，就以亏本元/两计入总利润，当销售单价定为多少时，当月月利润最大？（注：“两”是一种质量单位）
【答案】(1)；
(2)，销售单价为元时利润最大，该月进货数量应定为两；
(3)售价定为元/两时，当月月利润最大．
【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、求一次函数解析式
【分析】（）利用待定系数法解答即可求解；
（）由题意可得，再根据二次函数的性质解答即可求解；
（）设当月月利润为元，可得，进而可得抛物线开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，函数值越大，由得，据此即可求解；
本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：设与的函数关系式为，
点在函数上，
∴，
解得，
∴与的函数关系式为；
（2）解：由题意可得，，
∵，
当时，取得最大值，此时，
即关于的函数表达式是，销售单价为元时利润最大，该月进货数量应定为两；
（3）解：设当月月利润为元，
则，
∵，
∴抛物线开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，函数值越大，
该商店进货两，
，
解得，
当时，取得最大值，
答：售价定为元/两时，当月月利润最大．
【变式1-3】（23-24九年级上·安徽·期末）某商店销售一种进价60元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表：
售价x/（元/件） 80 100
销售量y/件 100 60
(1)求销售量y关于售价x的函数关系式．
(2)①设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．
②若规定售价高于进价且不超过进价的1.5倍，问当售价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)①；②W有最大值．最大值为2400
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键．
（1）设，待定系数法求函数解析式即可；
（2）①利用总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数解析式；②利用二次函数的性质，求最值即可．
【详解】（1）解：设销售量y关于售价x的函数关系式为．
根据题意，得
解得：，
销售量y关于售价x的函数关系式为：．
（2）解：①由（1）知每天的销售量．
∵商品进价为60元/件，
∴W与x之间的函数关系式为
即；
②∵．
∴，
∴．
∵．
∴当时．W有最大值．最大值为2400．
类型二、拱桥、投球、喷水问题
利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值
例2．（23-24九年级上·河南郑州·期末）你见过“倒过来的桥”吗？位于我国湖南省邵阳洞口县的淘金大桥，大桥的位置在一个山谷当中，桥全长70米，这座桥桥面是水平的，而桥底则是近似为抛物线，桥面和桥底用若干混凝土石柱竖直支撑．小明在研究淘金大桥时测得当距离桥头35米时，桥面和桥底的支撑石柱最长，为20米，小明以桥面为x轴，桥头为原点建立如图的平面直角坐标系，设桥底的函数解析式为．
(1)求该函数的解析式；
(2)思考：
①若该桥平均分布9根石柱支撑，求离桥头最近的石柱的长度；
②若石柱的长度为16.8米，则这根石柱安放的位置距离桥头有多远？
【答案】(1)
(2)①7.2米
②21米或49米
【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是关键．
（1）依据题意，用待定系数法进行计算可得抛物线的解析式；
（2）①依据题意，由桥长70米，该桥平均分布9根石柱支撑，每两根石柱间的距离是(米)，再结合（1），当时求出y的值即可；
②结合（1），当时，求出x的值即可得解．
【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为，
设抛物线的解析式为，将代入得：
，
解得，
∴，
答：该函数图象的解析式为；
（2）解：①若该桥平均分布9根石柱支撑，则每根石柱的距离为（米），
即离桥头最近的石柱桥面位置距桥头为7米，
在平面直角坐标系中，这个点的横坐标为7，代入解析式可得，
当时，，
∴离桥头最近的石柱长度为7.2米．
②若石柱的高度为16.8米，由题意得，
当时，，
解得或，
∴若石柱的高度为16.8米，则这根石柱安放的位置距离桥头有21米或49米．
【变式2-1】（23-24九年级上·江苏淮安·期中）足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）
【答案】(1)
(2)球不能射进球门
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决是关键．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）当时，，即可求解．
【详解】（1）解： ，
抛物线的顶点坐标为，设抛物线，
把点代入得：，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：当时，
，
球不能射进球门．
【变式2-2】（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2．
(1)求抛物线L的函数解析式；
(2)求小球P在x轴上的落点坐标；
(3)在x轴上的线段处，竖直向上摆放着若干个无盖儿的长方体小球回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是、，当小球P恰好能落入回收箱内（不含边缘）时，求竖直摆放的回收箱的个数．
【答案】(1)抛物线L的函数解析式为；
(2)小球P在x轴上的落点坐标为；
(3)竖直摆放的回收箱的个数为3个或4个或5个或6个或7个
【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）由题意知，抛物线L的顶点坐标为，再利用待定系数法求解即可；
（2）对于，令，求解一元二次方程，据此计算即可求解；
（3）由题意先求出，当和时，求得对应的值，再设竖直摆放的回收箱有个，根据题意得出关于的不等式组，求出的整数解即可．
【详解】（1）解：∵从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2，
∴顶点坐标为，
∴设抛物线L对应的函数解析式为，
把代入得，
解得，
∴抛物线L对应的函数解析式为；
（2）解：对于，
令，则，
解得，，
∴小球P在x轴上的落点坐标为；
（3）解：∵，，
∴，对于，
当时，；
当时，；
设竖直摆放的回收箱有个，
则，
解得，
∵是正整数，
∴可以是3或4或5或6或7，
答：竖直摆放的回收箱的个数为3个或4个或5个或6个或7个．
【变式2-3】（23-24八年级下·福建福州·期末）小明和小亮玩打水仗，两人相距米，两人身高都是米．以水平线为轴，小明所站立线为轴建立如图所示直角坐标系，点是小明水枪的喷口，小明的喷水枪喷出的水行走的路线为抛物线，小亮为了喷到小明，踮脚抬臂，使得喷枪的喷口坐标为，小亮水枪喷出的水行走路线为抛物线，且其过点．
(1)请通过计算说明小明能否喷到小亮；
(2)如果是抛物线的顶点，请通过计算说明小亮能否喷到小明．
【答案】(1)小明能喷到小亮，理由见解析；
(2)小亮能喷到小明，理由见解析．
【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数)
【分析】（）根据抛物线过点，代入求出，得出抛物线解析式，在将代入解析式求出即可判断；
（）根据抛物线的顶点坐标为，设抛物线为，再根据抛物线过点，即可求出抛物线解析式，再算出时，的值，即可判断；
本题考查了二次函数的实际应用，熟悉掌握二次函数图象上点的坐标特征及性质是解题的关键．
【详解】（1）∵抛物线过点，
∴，
解得：，
∴抛物线，
∵当时，，
∵且小于，
∴小明能喷到小亮；
（2）∵抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线
∵抛物线过点，
∴ ，
解得：，
∴抛物线为，
又∵当时，，
∵且小于，
∴小亮能喷到小明．
类型三、图形及图形运动问题
二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的．
例3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，某校准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点D在线段上，设的长为x米．
(1)请用含x的代数式表示的长；
(2)若要求所围成的小型农场的面积为平方米，求的长；
(3)求小型农场的最大面积．
【答案】(1)
(2)的长为米
(3)12平方米
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)
【分析】此题主要考查的是二次函数的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键.
（1）根据题意结合图形即可求解；
（2）根据矩形的面积公式列方程求解即可；
（3）设小型农场的面积为，求出关于的长的函数关系式，根据二次函数的性质即可解答.
【详解】（1）∵点在线段上，
米，
（2）解：∵点在线段上，
，即，
；
∵的面积为平方米，
∴，
解得（舍去），，
∴的长为米；
（3）解：设小型农场的面积为，
则，
∵
∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴当时，最大，最大为12平方米．
【变式3-1】为充分利用现有资源，某校“牧春园”计划用一块矩形地种植两种花卉，如图，矩形地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积相等的矩形，已知栅栏的总长度为．
(1)若矩形地的面积为，求的长：
(2)当边为多少时，矩形地的面积最大，最大面积是多少？
【答案】(1)的长为
(2)当时，S有最大值，最大值为
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，求二次函数的最值等知识，解题关键是列出函数关系式．
（１）设的长为，先用表示出的长，再列出关于为的一元二次方程求解，然后通过验根后作答；
（２）设矩形的面积为，列出二次函数关系式，配方后结合自变量的范围求出最值．
【详解】（1）解：设的长为，则的长为，
根据题意得：，
解得或，
当时，，不合题意，舍去，
当时，，符合题意，
，
答：的长为；
（2）设矩形的面积为，
则，
，
，
，
当时，y随x的增大而减小
∴当时，S有最大值，最大值为．
【变式3-2】（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为．
(1)填空：______，_______；（用含t的式表示）
(2)当t为何值时，的长度等于？
(3)当t为何值时，的面积最大？
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，二次函数的性质，三角形面积公式的运用，在解答时要注意所求的解使实际问题有意义．
（1）根据路程速度时间就可以表示出，．再用就可以求出的值；
（2）在中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值；
（3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立关系式，利用二次函数的性质即可求出的值．
【详解】（1）解：由题意，得，．
故答案为：，；
（2）解：在中，由勾股定理，得，
解得：(舍去)，；
（3）解：由（1）知，，
，
，
的面积等于，
，
当时，的面积最大．
【变式3-3】如图，用一段长为的围栏，围成一边靠墙的三块矩形区域种植花卉，墙长为．矩形与矩形的面积相等，矩形与矩形的面积相等．设长为长为，矩形的面积为．
(1)直接写出与x，z与之间的函数关系式；
(2)当为何值时，有最大值？最大值是多少？
(3)若需要对矩形和矩形区域进行装修改造，单价分别为64元和40元．受资金投入限制，改造总费用不能超过11520元，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)，
(2)当时，有最大值，最大值是420
(3)
【分析】（1）根据题意得到，，然后根据围栏的长度为得到，进而得到，然后根据矩形的面积公式得到；
（2）首先将配方成顶点式，然后求出，然后根据二次函数的性质求解即可；
（3）首先表示出矩形的面积和矩形的面积，设改造总费用为w，根据单价分别为64元和40元表示出，然后求出时，，进而求解即可．
【详解】（1）∵矩形与矩形的面积相等，矩形与矩形的面积相等，设长为，长为
∴，
∵用一段长为的围栏
∴
∴；
∴矩形的面积；
（2）由（1）可得．
，即．
抛物线的开口向下．
对称轴
当时，随的增大而减小．
当时，有最大值，最大值是420．
（3）解：矩形的面积为，矩形的面积为，
设改造总费用为w
∵单价分别为64元和40元
∴
当时，
整理得，
解得，
∵改造总费用不能超过11520元，且
∴．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
一、单选题
1．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意、将抛物线转化为顶点式是解题关键；
将抛物线化为顶点式即可解决问题.
【详解】解：∵，
∴当时，；
故选：B.
2．某景区旅店有30张床位，每床每天收费10元时，可全部租出．若每床每天收费提高5元，则有1张床位不能租出；若每床每天收费再提高5元，则再有1张床位不能租出；若每次按提高5元的这种方法变化下去，则该旅店每天营业收入最多为（ ）
A．3125元 B．2120元 C．2950元 D．1280元
【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用．此题难度不大，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式．设每床每晚收费应提高个5元，旅店每天营业收入为元，然后根据题意可得函数解析式：，再根据二次函数的性质即可求得答案．
【详解】解：设每床每晚收费提高个5元，旅店每天营业收入为元，
根据题意得：
，
当时，最大，最大值为1280元，
该旅店每天营业收入最多为1280元，
故选：D．
3．如图①所示的矩形窗框ABCD的周长及其两条隔断EF，GH的总长为，且隔断EF，GH分别与矩形的两条邻边平行．设BC的长为，矩形ABCD的面积为，y关于x的函数图象如图②，则下列说法正确的是（ ）
A．矩形ABCD的最大面积为 B．当时，矩形ABCD的面积最大
C．a的值为12 D．以上说法均错误
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象和性质，解题的关键是识别函数图象，确定自变量的取值为何值时函数取得最大值．
观察图2，得出当时，函数值最大，可判断A、B错误；根据题意确定，即判断C正确，进而可判断D．
【详解】解：由题图②可知，矩形ABCD的最大面积为，此时，故A，B选项错误；
当时，矩形ABCD的面积取最大值4，
，
，
故C选项正确，D选项错误．
故选：C．
二、填空题
4．（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）如图1是小峡水电站黄河公路大桥，它的一个桥拱可以近似看作抛物线，一个桥拱在水面的跨度约为40米，若按如图2所示方式建立平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线可以表示为，则此时桥拱最高点P离水面的高度是 米．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的运用，根据桥拱在水面的跨度约为40米，则，且桥拱所在抛物线可以表示为，代入计算即可求解k的值，根据顶点坐标，即可求出此时桥拱最高点P离水面的高度．
【详解】解：桥拱所在抛物线可以表示为，桥拱在水面的跨度约为40米，则，
∴，
解得，，
∴，
即此时桥拱最高点P离水面的高度是米，
故答案为：．
5．（24-25八年级下·广西南宁·期末）某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度（单位：）与足球飞行的时间（单位：）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球到达最高点所需的时间是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
先确定抛物线的对称轴方程，再根据抛物线的图象性质可得出结论．
【详解】解：根据函数的图象可得抛物线的对称轴方程为：，
∵函数的开口向下，
∴在时，足球到达最高点，
即足球到达最高点所需的时间是
故答案为：
6．用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的菜园．
方案一：如图①，围成一个矩形菜园，其中一边是墙，
其余的三边，， 用篱笆，其中；
方案二：如图②，围成一个扇形菜园，一条半径是墙，其余用篱笆．
有下列结论：
①的长可以是；
②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为；
③矩形菜园的面积的最大值为；
④方案二围成扇形菜园的最大面积大于方案一围成矩形菜园的最大面积．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】②③
【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数的应用，准确列出方程和函数解析式是解答本题的关键．①设边长为，则边长为，当时，求出是，不符合题意，即可判断正误；②列出一元二次方程：求出值即可判断正误；③列出二次函数解析式 ，根据最值求法即可判断正误；④列出二次函数解析式 ，求得扇形面积的最大值，即可判断正误．
【详解】解：图①，设边长为，则边长为，
当时， ，
∴，
∵，
故①不正确；
∵菜园面积为
∴，
整理得：
解得： 或，
∴或，
∵时， ， 满足，故②正确；
设矩形菜园的面积为
根据题意得：，
，
∴当时， 有最大值，最大值为，故③正确；
如图②，设则弧长，
，
，
∴当时， 有最大值，最大值为，
∴方案二围成扇形菜园的最大面积等于方案一围成矩形菜园的最大面积.
故④不正确.
∴正确结论是②③.
故答案为： ②③．
三、解答题
7．（2025·广东·中考真题）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式．
【答案】该抛物线的表达式为
【分析】本题考查待定系数法求二次函数表达式，先由题意，建立恰当的平面直角坐标系，从而得到、，设该抛物线的顶点式为，将代入解方程即可得到答案．根据题中示意图，建立恰当的平面直角坐标系，并设出抛物线表达式是解决问题的关键．
【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
则抛物线顶点坐标为，，即，
设该抛物线的表达式为，
将代入得，
解得，
该抛物线的表达式为．
8．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个12元，标价为每个20元．
(1)商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城对甲商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元售出，求每次降价的百分率；
(2)市场调研表明：当甲商品每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个．
①在保证甲每个商品的售价不低于进价的前提下，若商城要想销售甲商品每天的销售额为1190元，则每个应降价多少元？
②若要使甲商品每天的销售利润最大，每个应该降价多少元？此时最大利润为多少元？
【答案】(1)每次降价的百分率是
(2)①每个应降价3元；②每个应该降价2元，此时最大利润为360元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程．
（1）设每次降价的百分率为，根据题意得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）①设每个应降价x元，利用销售总额销售单价销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x值，再根据售价不低于进价进行选择即可求出结论；
②设每个应降价x元，利润为W元，列出二者之间的函数关系式，再根据顶点式求出二次函数的最值即可．
【详解】（1）解：设每次降价的百分率是，
根据题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
每次降价的百分率是；
（2）解：设每个应降价x元，
①根据题意得：，
解得或，
售价不低于进价，
舍去，
，
每个应降价3元；
②设甲商品每天的销售利润为W元，
根据题意得
，当时，W取最大值，最大值为360，
每个应该降价2元，此时最大利润为360元．
9．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面宽，拱顶距离水面．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若水位上升就达到警戒线的位置，求这时水面的宽度．
【答案】(1)
(2)米
【分析】此题考查了求抛物线的解析式，二次函数的应用，正确理解题意得到为是解题的关键．
（1）由抛物线对称性可知，为，设解析式为，将点B坐标代入求出a即可．
（2）根据题意得出点C、D的纵坐标为，代入函数解析式求解即可．
【详解】（1）解：由抛物线对称性可知，为，
∵抛物线顶点在原点，
∴设解析式为，把代 得：
∴，
∴．
（2）∵水位上升就达到警戒线的位置，
∴点C、D的纵坐标为，
当时，
，
解得：，
∴，
∴米．
10．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）某超市销售一批成本为元/千克的绿色健康食品，深受游客青睐，经市场调查发现，该食品每天的销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)写出关于的函数关系式：________，销售利润为__________元（用含有代数式表示）
(2)为尽可能让利于顾客，当该超市每天销售这种绿色健康食品获利元时，销售单价为多少元？
(3)请求出销售利润的最大值及此时销售单价．
【答案】(1)，；
(2)元；
(3)销售单价元时，销售利润最大，最大值是元．
【分析】本题主要考查了一次函数的应用、二次函数的应用、一元二次方程的应用．
（1）设关于的函数关系式是，因为图象经过点，，可得关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得到关于的函数关系式；根据销售成本为元/千克，销售单价为元/千克，可得每千克的利润为元/千克，根据销售利润每千克利润销售量，可得元；
（2）根据每天销售这种绿色健康食品获利元，可得关于的一元二次方程：，解方程可得当销售单价定为元和元时，销售利润均可达到元，因为超市要让利于顾客，所以单价应定为元；
（3）把二次函数整理成顶点坐标式，可得：，根据二次函数的性质可知：当时，销售利润最大，最大值是元．
【详解】（1）解：设关于的函数关系式是，
由图象可知，图象经过点，，
可得：，
解得：，
关于的函数关系式是；
销售成本为元/千克，销售单价为元/千克，
每千克的利润为元/千克，
销售利润为元；
故答案为：，；
（2）解：由题意得：，
解得：，
要尽可能让利于顾客，
销售单价应定为元/千克，
答：销售单价为元；
（3）解：
当时，销售利润最大，最大值是元．
11．（24-25九年级下·湖北孝感·期中）习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造”．某校为促进学生全面发展、健康成长，计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图），另外三边用长为的篱笆围成．已知墙长为，设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为，其中，平行于墙的一边的长为，矩形劳动实践基地的面积为．
(1)请直接写出与，与的函数关系式；
(2)当时，求垂直于墙的一边长；
(3)若根据实际情况，可利用的墙的长度不超过，垂直于墙的一边长为多少时，这个矩形劳动实践基地的面积最大？并求出这个最大值．
【答案】(1)；
(2)垂直于墙的一边长为；
(3)当垂直于墙的一边长为时，矩形劳动实践基地面积最大，最大值为
【分析】本题考查二次函数解实际应用题，涉及求一次函数与二次函数表达式、二次函数最值等知识．
（1）根据题意，表示出长方形的长与宽，根据矩形面积公式即可得到二次函数表达式，由墙的最大可用长度为即可确定自变量的取值范围；
（2）令，解方程即可解题；
（3）由（1）中得到函数关系式，利用二次函数图像与性质，在自变量范围内讨论求出其最值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
∴；
（2）解：当时，，
解得，，
∵，
∴，
答：垂直于墙的一边长为；
（3）解：∵，
解得，
∴，
，
∵，
∴开口向下，
∵对称轴为直线，，
∴在对称轴右侧，S随x的增大而减小，
∴当时，，
答：垂直于墙的一边长为，矩形劳动实践基地面积最大，最大值为．
12．（24-25八年级下·福建福州·期末）八年级小惠同学的爸爸是开花店的，于是他就想趁着情人节活动赚点零花钱，他以元/朵的价格从爸爸那里购入一批玫瑰花，准备在情人节那天销售．开花店的爸爸告诉他前4天的这种玫瑰花日销售量y（朵）与销售单价x（元）的对应值表：
销售单价x/元 10 12 14 16
日销售量y/朵 36 32 28 24
小惠判断出y与x是一次函数关系．请你根据以上信息，帮小惠完成下列问题：
(1)求y关于x的函数解析式：
(2)当销售单价为多少元时，小惠获得的日销售利润最大？并求出最大利润；
(3)爸爸要求小惠日销售利润不低于180元，请直接写出销售单价x的取值范围______．
【答案】(1)y关于x的函数解析式为
(2)当时，最大，最大值为元
(3)日销售利润不低于180元，销售单价x的取值范围为
【分析】本题主要考查一次函数，二次函数的运用，理解数量关系，掌握待定系数法，二次函数图象的性质是关键．
（1）根据表格信息，运用待定系数法求解即可；
（2）销售单价x元，则每朵的利润为元，设销售利润为，由此列式，根据二次函数图象的性质求解即可；
（3）根据（2）中的利润，当时，，结合二次函数图象即可求解．
【详解】（1）解：y与x是一次函数关系，设，
∴，
解得，，
∴y关于x的函数解析式为：
（2）解：销售单价x元，则每朵的利润为元，
设销售利润为，
∴，
∵，
∴当时，最大，最大值为元；
（3）解：∵，
∴当时，，
整理得，，
解得，，即，
∵，函数图象开口向下，
∴日销售利润不低于180元，销售单价x的取值范围为．
13．2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网高度为1米．建立如图①所示的平面直角坐标系．运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高．
(1)求抛物线的解析式；
(2)判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由；
(3)运动员在第二次击球时仍然在点P处，通过击球改变网球的飞行路线，其抛物线为，网球在距球网右侧水平距离2米时，离地面的高度不低于4米，且网球落在对方区域内（含边界），求m的最大值．
【答案】(1)
(2)此次击球越过球网并落在对方区域内，理由见解析
(3)
【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出时，y的值，时，y的值，即可求解；
（3）把代入，求出与的关系式，当时，，当时，，解不等式即可求解最大值．
【详解】（1）解：网球飞行过程中在点处达到最高，
设抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：此次击球越过球网并落在对方区域内（含边界）；理由如下：
∵，
当时，，
网球越过球网，
当时，，
网球落在对方区域；
此次击球越过球网并落在对方区域内；
（3）解：把代入，得：，
，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
，
的最大值为．
14．（2025·山西·中考真题）综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为．
数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．
（2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长；
（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）．
【答案】（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3）
【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键：
（1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可；
（2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可；
（3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可；
【详解】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为，
∴顶点坐标为，
设抛物线的函数解析式为：，
∵图象过原点，
∴，解：，
∴；
（2）∵抛物线的形状不变，点，
故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的，
∴新的抛物线的解析式为：，
当时，，
解得：，（舍去）；
故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；
（3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：，
∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，
由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：，
∴把代入，得：，解得：；
故设该平台的高度为．
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