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专题06 利用等腰三角形的三线合一作辅助线的二类综合题型
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典例详解
类型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线
类型二、等腰三角形中底边无中点时，作高
压轴专练
类型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线
模型解析：等腰三角形中底边有中点，连中线 直接用“三线合一”，①AB=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原则。 连中线用“三线合一”，若AB=AC,BD=CD.则AD⊥BC，∠1=∠2.
例1．如图，已知中，，，直角的顶点P是中点，两边、分别交、的延长线于点E、F．求证：；
【变式1-1】如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为、．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【变式1-2】如图，在中，，D是的中点，过A作，且．求证：
(1)；
(2)．
【变式1-3】如图，在中，，，为边的中点，点、分别在射线、上，且， 连接．
(1)如图1，当点、分别在边 和上时，连接，
① 证明 ：．
② 直接写出，和的关系是：
(2)探究：如图2，当点E、F 分别在边、的延长线上时，，和的关系是：
(3)应用：若，，利用上面探究得到的结论，求的面积．
类型二、等腰三角形中底边无中点时，作高
1.三线合一性质核心应用：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。即使底边无中点，作底边的高后，高同时成为底边中线，可将等腰三角形分成两个全等直角三角形，利用直角三角形性质（如勾股定理）求解边长、角度等。 2.辅助线与转化思想：作高是关键辅助线，将等腰三角形转化为直角三角形，把非中点条件转化为中点条件，结合全等三角形判定（HL）和直角三角形边角关系，实现未知量向已知量的转化，体现几何中化归的重要思想。
例2．在中，点是边上的两点．

(1)如图1，若，．求证：；
(2)如图2，若，，设，．
①猜想与的数量关系，并说明理由；
②在①的条件下，，请直接写出的度数．
【变式2-1】已知在中，，且，作等腰，使得．

(1)如图1，若与互余，则___________；（用含的代数式表示）
(2)如图2，若与互补，过点C作于点H，求证：；
(3)若与的面积相等，请直接写出的度数．（用含的式子表示）
【变式2-2】在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且．

(1)如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是 ，若，则的长为 ；（用含a的式子表示）
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接．
①用等式表示与之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
一、单选题
1．如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（ ）

A． B．平分
C． D．
2．如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
3．如图，在等腰中 ，，点 D 为边的中点，点E在边上，．若点P是等腰的腰上的一点，当为等腰三角形时，则的度数是（ ）
A． B． C． D．或
4．如图，在中，平分为垂足，则下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
5．如图，在中，是边上的中线．若，则的度数为 ．
6．如图，在中，是边上的中线，作，交的延长线于点E．已知，那么 ．
7．如图，在中，，，把一块含角的三角板的直角顶点放在的中点上（两直角边，分别与，相交），则三角板与重叠部分的面积是 ．
8．如图，在中，是边上的高，过点A作，并且使，F是上一点，连接，使，交于G，H两点，若，则
三、解答题
9．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，．
(1)求证：；
(2)若，则的度数为 ___________．
10．如图，点D、E在的边上，，．

(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
11．如图．已知中，，点D是边上一点．连结，过点D作，交于点E，且有．求证：
(1)；
(2)．
12．如图1，在中，，，点P是斜边的中点，点D，E分别在边上，连接，若．
(1)求证：；
(2)若点D，E分别在边的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明；
(3)在（1）或（2）的条件下，是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出的度数（不用说理）；若不能，请说明理由．
13．已知中，，．点从点出发沿射线移动，同时点从点出发沿线段的延长线移动，点、移动的速度相同，与直线相交于点．
(1)如图①，过点作交于点，求证：；
(2)如图②，当点为的中点时，求的长；
(3)如图③，过点作于点，在点从点向点移动的过程中，线段的长度是否保持不变？若保持不变，请求出的长度，若改变，请说明理由．
14．已知平分，如图1所示，点B在射线上，过点B作于点A，在射线上取一点C，使得．

(1)若线段，求线段的长；
(2)如图2，点D是线段上一点，作，使得的另一边交于点E，连接．
①是否成立，请说明理由；
②请判断三条线段的数量关系，并说明理由．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题06 利用等腰三角形的三线合一作辅助线的二类综合题型
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典例详解
类型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线
类型二、等腰三角形中底边无中点时，作高
压轴专练
类型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线
模型解析：等腰三角形中底边有中点，连中线 直接用“三线合一”，①AB=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原则。 连中线用“三线合一”，若AB=AC,BD=CD.则AD⊥BC，∠1=∠2.
例1．如图，已知中，，，直角的顶点P是中点，两边、分别交、的延长线于点E、F．求证：；
【答案】见详解
【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，中线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
先证明，得，再由已知条件即可求证；
【详解】证明：如图，连接，
，点P是中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中：
，
，
，
，
，
即．
【变式1-1】如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为、．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)110度
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形“三线合一”，“等边对等角”，角平分线上的点到两端距离相等，以及三角形的内角和是180度，是解题的关键．
（1）连接，根据“三线合一”得出平分，再根据角平分线的性质定理，即可求证；
（2）先根据直角三角形两个锐角互余得出，再根据“等边对等角”得出，最后根据三角形的内角和定理，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
，D是的中点，
平分，
，，
．
（2）解：，
，
，
，
，
，
．
【变式1-2】如图，在中，，D是的中点，过A作，且．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，利用等腰三角形“三线合一"的性质得，再利用平行线的性质得，从而说明垂直平分，则有；
（2）利用等角的余角相等，再利用证明，从而证明结论．
【详解】（1）证明：连接AD，
，点为的中点，
，
，
，
，
，
，
垂直平分，
∴；
（2）
在和中，
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，余角的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一"的性质是解题的关键．
【变式1-3】如图，在中，，，为边的中点，点、分别在射线、上，且， 连接．
(1)如图1，当点、分别在边 和上时，连接，
① 证明 ：．
② 直接写出，和的关系是：
(2)探究：如图2，当点E、F 分别在边、的延长线上时，，和的关系是：
(3)应用：若，，利用上面探究得到的结论，求的面积．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
(3)或17
【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等腰三角形的性质、全等三角形的判定及其性质及三角形的面积等，根据图形构造全等三角形求解即可。
（1）①连接，即可证明；②根据，看图即可得出结论；
（2）连接，即同（1）可证明，根据看图即可得出结论；
（3）根据（1），（2）中的结论，代入求解即可。
【详解】（1）证明：①如图，连接
在中，，为边的中点，
∴,,
∴,
∴是等腰直角三角形，
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
在和中，
,
∴.
②∵,
∴,
根据图中所示，
,
∵为边的中点，
∴.
∴.
（2）解：如图，连接
在中，，为边的中点，
∴,,
∴,
∴是等腰直角三角形，
∴,
∴,
∴,
即,
∵,
∴,
∵,
∴,
在和中，
,
∴.
∵,
∴,
根据图中所示，
,
∵为边的中点，
∴.
∴.
（3）如（1）中结论，
∵，，
∴,
,
∵,
∴.
②如（2）中结论，
∵，，
∴,
,
∵,
∴
类型二、等腰三角形中底边无中点时，作高
1.三线合一性质核心应用：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。即使底边无中点，作底边的高后，高同时成为底边中线，可将等腰三角形分成两个全等直角三角形，利用直角三角形性质（如勾股定理）求解边长、角度等。 2.辅助线与转化思想：作高是关键辅助线，将等腰三角形转化为直角三角形，把非中点条件转化为中点条件，结合全等三角形判定（HL）和直角三角形边角关系，实现未知量向已知量的转化，体现几何中化归的重要思想。
例2．在中，点是边上的两点．

(1)如图1，若，．求证：；
(2)如图2，若，，设，．
①猜想与的数量关系，并说明理由；
②在①的条件下，，请直接写出的度数．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）过A作于F，根据三线合一得到，，利用线段的和差可得结果；
（2）①根据等边对等角和三角形内角和求出，再根据，整理可得结果；②根据等边对等角和三角形内角和求出，再根据，代入化简可得结果．
【详解】（1）解：如图，过A作于F，
∵，，
∴，，
∴，即；

（2）①猜想：，理由是：
∵，，
∴，
∵，，
∴，即，
整理得：；
②∵，
∴，
∵，
∴
．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等边对等角，三角形内角和，角的和差计算，解题的关键是利用这些性质找出角的关系．
【变式2-1】已知在中，，且，作等腰，使得．

(1)如图1，若与互余，则___________；（用含的代数式表示）
(2)如图2，若与互补，过点C作于点H，求证：；
(3)若与的面积相等，请直接写出的度数．（用含的式子表示）
【答案】(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）根据与互余得 ，根据等腰三角形两底角相等得，即可求出的度数；
（2）作，根据AAS证明，则，由等腰三角形三线合一可得，因此，问题得证；
（3）由与的面积相等得高相等.情况①：作于，于,根据可得，则可得；情况②:是钝角三角形，作于，作垂直于的延长线于，根据可得，则可得，由于与互补，因此与互补，即可得出结果．
【详解】（1）解：中，，且=,
，，
，
，
，

；
故答案为：；
（2）证明：如图，过A点作于E点，
中，，，
，
中，，
，
，
,=，
，
，
，
，
．
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①如图，作于，于，

∵与的面积相等，
∴，
又∵ ，
∴，
∴，
即，
，
；
②如图，作于，作垂直于的延长线于，

则，
∵，，
∴，
∵与的面积相等，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
，
，
综上，或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同底等高的两个三角形面积相等，.熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式2-2】在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且．

(1)如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是 ，若，则的长为 ；（用含a的式子表示）
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接．
①用等式表示与之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)互相垂直；
(2)①，证明见解析；②，证明见解析
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得与的位置关系是互相垂直，过点A作于点M，根据等腰三角形性质得到，利用证明，根据全等三角形性质即可得出；
（2）当点E与点C不重合时，①过点A作于点M、于点N，利用证明，根据全等三角形性质即可得到；
②在上截取，连接，利用证明，根据全等三角形性质得到，，根据角的和差得到，再利用证明，根据全等三角形性质及线段和差即可得到．
【详解】（1）解：当点E与点C重合时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即与的位置关系是互相垂直，
若，过点A作于点M，如图：

则，
∵，
∴，
在与中，
∴，
∴，
即的长为，
故答案为：互相垂直；；
（2）解：①当点E与点C不重合时，用等式表示与之间的数量关系是：，证明如下：
过点A作于点M、于点N，如图：

则，
∴，
∵，
即，
∴，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
②用等式表示线段，，之间的量关系是：，证明如下：
在上截取，连接，如图：

∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
由①知：，
即，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
一、单选题
1．如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（ ）

A． B．平分
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可得，平分，从而判断B与C正确；由等腰三角形等边对等角的性质可判断A正确；根据已知条件不能判断D正确．
【详解】解：∵中，，D是中点
∴，即平分，
故A、B、C三项正确， D不正确．
故选：D．
2．如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．延长交于，根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出．
【详解】解：延长交于，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
故选：．
3．如图，在等腰中 ，，点 D 为边的中点，点E在边上，．若点P是等腰的腰上的一点，当为等腰三角形时，则的度数是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，过D作，易证，，再根据四边形内角和即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵点P是等腰的腰上的一点，，D为的中点，
∴，
过D作，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得
∴，
∴，
综上，的度数是或，
故选：D．
4．如图，在中，平分为垂足，则下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质定理，根据等腰三角形三线合一的性质可判断（1）（2）（3），根据角平分线的性质定理可判断（4）．
【详解】解：∵平分，
∴，，，
故（1）（2）（3）正确，
∵平分，
∴，
∴
故（4）正确，
综上，一共有4个正确，
故选：D
二、填空题
5．如图，在中，是边上的中线．若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，因为是边上的中线，所以是等腰三角形，平分，结合，即可作答．
【详解】解：∵在中，是边上的中线，
∴是等腰三角形，平分，
∵，
∴
故答案为：
6．如图，在中，是边上的中线，作，交的延长线于点E．已知，那么 ．
【答案】6
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据线段的和差求解即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∵在中，是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：6．
7．如图，在中，，，把一块含角的三角板的直角顶点放在的中点上（两直角边，分别与，相交），则三角板与重叠部分的面积是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，由“”可证和全等，可得，即可求解．
【详解】解∶如图，连接，
∵，，，点D是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案：．
8．如图，在中，是边上的高，过点A作，并且使，F是上一点，连接，使，交于G，H两点，若，则
【答案】/
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长至点M，使，证明，推出，，由等腰三角形三线合一的性质，可得，结合，推出，可得．
【详解】解：如图，延长至点M，使，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
是边上的高，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
三、解答题
9．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，．
(1)求证：；
(2)若，则的度数为 ___________．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一、等边对等角的性质是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得出，从而可得，然后根据等腰三角形的三线合一性质即可得证；
（2）根据等边对等角可得，，根据三角形外角的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
的垂直平分线交于点，
，
，
，
为线段的中点，
；
（2）解：，
，
，
由（1）知，，
，
，，
，，
，
．
故答案为：．
10．如图，点D、E在的边上，，．

(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）作于点，利用等腰三角形三线合一的性质得到,相减后即可得到正确的结论.
（2）由等腰三角形三线合一的性质得到，，即可得到，设，根据三角形的内角和定理可得，解题即可．
【详解】（1）过点作于.

∵.
∴,
∴.
（2）∵，，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
设，则，
∴，
根据三角形的内角和可得，
解得：，
∴，
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，方程思想，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解答此题的关键．
11．如图．已知中，，点D是边上一点．连结，过点D作，交于点E，且有．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形判定及性质，直角三角形性质，等腰三角形的性质，这些知识点的掌握是正确解题的关键．
（1）由垂直的定义得到，再根据，结合直角三角形的性质即可证明结论；
（2）取的中点F，连结，则，由等腰三角形的性质得到，由（1）知；证明，即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：取的中点F，连结，则，
，
，
，
由（1）知；
，
，
，
．
12．如图1，在中，，，点P是斜边的中点，点D，E分别在边上，连接，若．
(1)求证：；
(2)若点D，E分别在边的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明；
(3)在（1）或（2）的条件下，是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出的度数（不用说理）；若不能，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)成立，见解析
(3)能成为等腰三角形，此时的度数为或或或
【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，可证得，即可求证；
（2）连接，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再由∵，可得，可证得，即可；
（3）根据等腰三角形的性质，分四种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）明∶ 连接，
∵，
∴，
∵P为斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：仍成立，理由如下：
连接，
∵，
∴，
∵P为斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：能成为等腰三角形，
①当，点E在的延长线上时，则，
又∵，
∴；
②当，点E在上时，则；
③当时，则，
∴；
④当，点E和C重合，
∴；
综上所述，能成为等腰三角形，的度数为或或或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
13．已知中，，．点从点出发沿射线移动，同时点从点出发沿线段的延长线移动，点、移动的速度相同，与直线相交于点．
(1)如图①，过点作交于点，求证：；
(2)如图②，当点为的中点时，求的长；
(3)如图③，过点作于点，在点从点向点移动的过程中，线段的长度是否保持不变？若保持不变，请求出的长度，若改变，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)线段的长度保持不变，
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据题意得出，根据等边对等角得出，根据平行线的性质得出，推得，根据等角对等边得出，推得，根据全等三角形的判定定理即可证明；
（2）过点作交于，先推得，再根据全等三角形的性质得出，即可求解；
（3）过点点作交于，根据等腰三角形三线合一的性质得出，根据全等三角形的性质得出，即可推得．
【详解】（1）证明：∵点、移动的速度相同，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
在与中，
，
∴．
（2）解：如图，过点作交于，
∵点为的中点，，
∴为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：线段的长度保持不变．
如图，过点点作交于，
由（1）知，
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∴．
14．已知平分，如图1所示，点B在射线上，过点B作于点A，在射线上取一点C，使得．

(1)若线段，求线段的长；
(2)如图2，点D是线段上一点，作，使得的另一边交于点E，连接．
①是否成立，请说明理由；
②请判断三条线段的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)①成立，理由见解析；②，理由见解析
【分析】（1）如图所示，过点B作于H，由三线合一定理得到，由角平分线的定义得到，进一步证明，得到，则；
（2）①如图所示，过点B作于H，由三线合一定理得到，同（1）可得，则，由，即可推出；
②如图所示，在上截取，连接，先证明，进而证明，得到，进一步证明，从而证明，得到，由可证明．
【详解】（1）解：如图所示，过点B作于H，
∵，
∴，即，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴

（2）解：①成立，理由如下：
如图所示，过点B作于H，
∵，
∴，即，
同（1）可得，
∴，
∵，
∴，
∴；

②，理由如下：
如图所示，在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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