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专题09 幂的运算的四类综合题型
目录
典例详解
类型一、幂的混合运算
类型二、逆用幂的相关公式求值
类型三、利用幂的乘方比较大小
类型四、与幂的运算有关的新定义型问题
压轴专练
类型一、幂的混合运算
1.运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内。同底数幂相乘，底数不变指数相加；相除则指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘。 2.符号处理：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。混合运算中先确定符号，再算绝对值，避免符号错误。
例1．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了幂的混合运算，根据积的乘方以及同底数幂的乘除法法则计算即可．
【详解】解：原式
．
【变式1-1】计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则是解题的关键．
（1）先根据同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则进行计算，然后再合并同类项即可．
（2）先根据同底数幂的乘法和除法，积的乘方运算法则进行计算，然后再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式1-2】计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)0
(2)
【分析】本题考查了幂的运算，涉及幂的乘方运算，同底数幂的乘除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先计算幂的乘方，再分别计算同底数幂的除法和乘法，最后合并即可；
（2）先计算幂的乘方，再进行同底数幂的乘除法运算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【变式1-3】化简或化简求值
(1)．
(2)，其中，．
【答案】(1)
(2)，2
【分析】（1）先算括号中幂的乘方，再算括号中的除法，最后算乘方和乘法即可；
（2）先根据乘法公式算乘法，合并同类项，算除法，最后代入求出即可；
【详解】（1）解：原．
（2）原，
当，时，
原式
【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
类型二、逆用幂的相关公式求值
1.开方运算：是乘方的逆运算。若an = b（n为正整数），则a是b的n次方根。正数偶次方根有两个（互为相反数），奇次方根唯一；负数奇次方根为负，偶次方根无意义；0的方根是0。 2.对数运算：是指数运算的逆。若ab = N（a>0,a≠1,N>0），则b = loga N。遵循基本性质：loga1=0，logaa=1，及运算公式。 3.应用要点：逆运算需注意底数、指数限制（如对数底数和真数范围），结合乘方、指数法则逆向推导，解决方程求解等问题。
例2．解决下列有关幂的问题：
(1)若，求值；
(2)若n为正整数，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用
【分析】本题考查幂的乘方以及积的乘方，
（1）根据幂的乘方法则进行计算即可；
（2）根据幂的乘方、积的乘方进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴
．
【变式2-1】（1）已知，，求的值．
（2）已知，，，求的值．
【答案】（1）；（2）
【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方运算、同底数幂乘法的逆用
【分析】本题考查幂的运算法则．
（1）逆用同底数幂相乘以及幂的乘方即可解答；
（2）运用同底数幂的乘除法则以及幂的乘方即可解答．
【详解】解：（1）∵，，
∴原式；
（2）∵，，，
原式．
【变式2-2】①若，求的值．
②已知，，求的值．
【答案】①14；②1．
【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用
【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方，熟练掌握幂的混合运算是解题的关键．
①根据积的乘方与幂的乘方，进行计算即可求解；②根据积的乘方与幂的乘方，进行计算即可求解；
【详解】解：①
=，
当时，原式=；
②
=
=
=，
当，时，原式=，
∵为偶数，
∴原式=1．
【变式2-3】（1）已知，．求的值；
（2）已知，．用a，b表示的值；
（3）已知为正整数，且．求的值．
【答案】（1）5184；（2）；（3）2450
【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用
【分析】本题考查了积的乘方法则与幂的乘方法则的逆用．
（1）逆用积的乘方法则，即（其中n为正整数），则问题解决；
（2）逆用积的乘方法则和幂的乘方，即、（其中m、n均为正整数），则问题解决；
（3）逆用积的乘方和幂的乘方法则，即、 ，其中m、n均为正整数，则问题解决．
【详解】解：（1）∵，，
∴；
（2）∵，，
∴；
（3）∵，
∴
．
类型三、利用幂的乘方比较大小
1. 转化底数法：当底数不同但可化为同底数时，用幂的乘方将幂转化为同底数幂，再比较指数大小（底数>1时，指数大则幂大；0<底数<1时相反）。 2. 转化指数法：底数难统一时，将指数化为相同，通过幂的乘方变形成同指数幂，比较底数大小（指数为正，底数大则幂大）。 3. 中间值过渡：若底数、指数均难统一，借助中间值（如1、10等），分别比较两数与中间值的大小，间接判断关系，需注意符号对大小的影响。
例3．在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．）
解：，，且，
，
类比阅读材料的方法，解答下列问题：
(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______；
A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方
(2)比较的大小；
(3)比较与的大小；
(4)已知，，．求之间的等量关系．
【答案】(1)C
(2)
(3)
(4)
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、幂的乘方的逆用
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算：
（1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可；
（2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，，据此可得答案；
（3）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，据此可得答案；
（4）根据得到，进而得到，则．
【详解】（1）解：由题意得，上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则，
故答案为：C；
（2）解：∵，，，且，
∴；
（3）解：∵，，且，
∴．
（4）解：∵，，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式3-1】比较大小： （填“”、“”或“”）．
【答案】
【知识点】幂的乘方的逆用
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据，，由，，得出，根据，即可得出结论．
【详解】解：，
，
∵，，
∴，
∵，
∴，
即．
故答案为：．
【变式3-2】阅读下列两则材料，解决问题．
材料一：比较和的大小．
解：因为，
所以，即．
小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小．
材料二：比较和的大小．
解：因为，
所以，即．
小结：底数相同（底数大于1）的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小．
(1)比较的大小；
(2)比较的大小；
(3)已知，比较的大小（均为大于1的数）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】有理数大小比较、幂的乘方的逆用、幂的乘方运算
【分析】本题主要考查了幂的乘方、幂的乘方的逆用、有理数大小比较等知识点，掌握幂的乘方的运算法则成为解题的关键．
（1）根据材料一的方法求解即可；
（2）根据材料二的方法求解即可；
（3）先根据材料一的方法可得，然后判断即可解答．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
（2）解：∵，，
∴．
（3）解：∵，
∴．
∵，
∴．
类型四、与幂的运算有关的新定义型问题
1.理解新定义：紧扣题目给出的新运算规则（如自定义幂的运算符号、新公式），明确底数、指数的变化逻辑，对比常规幂运算找异同，避免混淆。 2.转化应用：将新定义转化为熟悉的幂运算形式，运用同底数幂、幂的乘方等法则推导，结合新规则中的限制条件（如底数范围、指数特殊规定）逐步计算。 3.验证与拓展：通过简单例子验证对新定义的理解，再解决复杂问题；注意新定义下公式的逆向运用，灵活处理含字母的化简或求值。
例4．对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如．
(1)填空：当，时，__________；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)3
(2)81
【知识点】同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方运算
【分析】（1）根据新定义的运算方法计算即可；
（2）根据条件结合新定义的运算方法判断出，，可得结论．
【详解】（1）解：
，
故答案为：3；
（2），，
，，
整理得：，，解得：，
．
【点睛】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题．
【变式4-1】定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题．
(1)求的值；
(2)，求的值；
(3)若运算的结果为，则t的值是多少？
【答案】(1)96
(2)96
(3)2
【知识点】有理数的乘方运算、幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用
【分析】（1）根据新定义进行计算即可求解；
（2）根据同底数幂的乘法以及幂的乘方进行计算即可求解；
（3）根据新定义得出，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，
（2）∵，
∴
．
（3）因为，
即，
即，
所以．
【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式4-2】我们给出以下两个定义：
①三角形 ；②3×3的方格图
请你根据上面两个定义，解答下列问题：
(1)填空： =__________
(2)填空： =____________
(3)若 ，求
【答案】(1)16
(2)48
(3)18
【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂相乘
【分析】（1）根据①中所给公式直接进行求解即可；
（2）根据②中所给公式直接进行求解即可；
（3）根据题中所给公式直接代值求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
；
故答案为16；
（2）解：由题意得：
；
故答案为48；
（3）解：由题意得：，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法及幂的乘方，熟练掌握幂的运算及题中所给新定义运算是解题的关键．
【变式4-3】在形如的式子中， 我们已经研究过两种情况：①已知和，求，这是乘方运算：②已知和，求，这是开方运算 ． 现在我们研究第三种情况： 已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算 ． 定义： 如果，，，则叫做以为底的对数，记作：，例如： 求，因为，所以；又比如
，
，
(1)根据定义计算：
① ；② ；③如果，那么 ；
(2)设，，则，，，、均为正数） ，，
，
，即这是对数运算的重要性质之一， 进一步， 我们还可以得出： ； （其 中、、、、均为正数，，
(3)请你猜想： （，，、均为正数）
【答案】(1)①4 ；②0 ；③2
(2)
(3)
【知识点】同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用
【分析】此题考查了同底数幂的乘法及除法逆运算， 弄清题中的新定义是解本题的关键 ．
（1） 各项根据题中的新定义计算即可得到结果；
（2） 利用对数的运算法则变形即可得到结果；
（3） 利用已知的新定义化简即可得到结果 ．
【详解】（1）解： ①
；
②
；
③，
；
故答案为：4，0，2；
（2）解：；
故答案为：；
（3）解：设，，则，，（且，、均为正数） ，
，
，则，
，
故答案为：．
一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则进行求解即可．
【详解】解：，
故选：A．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法和除法、积的乘方、幂的乘方逐项判断即可．
本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法和除法、积的乘方、幂的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意；
B、，故该选项错误，不符合题意；
C、，故该选项错误，不符合题意；
D、，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
3．已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查幂得乘方、有理数的大小比较．将各数转化为同底数3的幂，比较指数大小即可．
【详解】解：；，，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
4．已知a，b，c为自然数，且满足，则的取值不可能是（ ）
A． B．2 C．1 D．7
【答案】C
【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用，掌握相关运算法则是解题的关键．
将等式化简为，得到且，列举所有可能的自然数组合，计算的值，判断选项中不可能的结果．
【详解】解：原式可化为：，
，
，
，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
时，为负数，不符合自然数条件，
可能的结果为，，，而不在其中，故的取值不可能是1．
故选：C．
5．我们定义：，若，则的值为（ ）
A．4 B．16 C．64 D．256
【答案】C
【分析】本题考查了整式的混合运算、有理数的混合运算，解决本题的关键是求出．
由定义可得，，．
【详解】
解：因为，
所以，
所以，
因为，
所以
故选：C．
二、填空题
6．化简：（1） ．（2） ．
【答案】
【分析】（1）根据同底数幂的除法运算法则，底数不变，指数相减来计算。
（2）依据幂的乘方与积的乘方运算法则，幂的乘方是底数不变，指数相乘；积的乘方是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 。
本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方运算，熟练掌握这些运算法则是解题的关键。
【详解】解：（1）
故答案为： 。
（2）
故答案为： 。
7．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键．
将原式化为，再逆用积的乘方计算即可；
【详解】解：原式
．
8．定义新运算：，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了定义新运算，积的乘方，合并同类项，理解定义新运算的计算方法，整式的混合运算法则是关键，根据定义新运算法则计算，结合整式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为： ．
9．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，代数式求值，解一元一次方程．根据同底数幂乘法法则可得，即可求解．
【详解】解：因为，，
所以，
解得，
所以．
故答案为：
10．【新情境】如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球8个、20个、8个．先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出，，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案．
【详解】解：由题意可知，调整后三只袋中的球数：
甲袋：个，乙袋：（个），丙袋：（个），
一共有（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同，
调整后每只袋中球数为：（个），
，，
，，
，
∴
故答案为：．
三、解答题
11．计算：
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的混合运算，包括幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法以及积的乘方，熟练掌握相关法则为解题关键．
（1）先根据幂的乘方法则计算，再根据同底数幂的乘法法则计算，最后进行减法运算；
（2）先根据同底数幂的乘法法则计算，再根据积的乘方法则计算，然后进行加法运算，最后根据同底数幂的除法法则计算除法．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
12．若（且，m、n是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果，求x的值；
(2)如果，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方对式子进行变形．
（1）根据幂的乘方运算法则把与化为底数为2的幂，再根据同底数幂的乘除法法则解答即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则把变形为即可解答．
【详解】（1）解：，
，
，
，
解得：；
（2），
，
，
．
13．计算：
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)81
(2)36
【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘除法逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）利用幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法法则，转化成，再整体代入，即可求出．
（2）利用同底数幂的乘除法逆运算化简，然后整体代入即可求出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴
，
；
（2）解：∵，
∴
．
14．定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解答下列问题：
(1)求的值．
(2)，，，求的值．
(3)若运算的结果为，则的值是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可；
（2）结合幂的乘方及同底数幂的乘法的法则进行运算即可；
（3）根据新定义的运算，结合同底数幂的乘法与有理数的乘方的法则进行运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）当，，时，
；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值是．
【点睛】本题考查新定义，幂的乘方，同底数幂的乘法，有理数的乘方，求代数式的值，解题的关键是正确理解新定义，掌握相应的运算法则．
15．如果，那么我们规定，例如：因为，所以．
(1)（理解）根据上述规定，填空：________，________；
(2)（说理）记，，，试说明：；
(3)（应用）若（且），求的值．
【答案】(1)3，4
(2)见解析
(3)80
【分析】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握有理数的乘方、同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．
（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；
（2）根据规定的运算可得，，，结合同底数幂的乘法法则计算即可；
（3）设，，，根据规定的运算和同底数幂乘法的逆用进行求解即可．
【详解】（1）解∶∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：3，4；
（2）解：∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（3）解∶设，，，且，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
16．阅读下列各式：，，……
(1)发现规律：______，______．
(2)应用规律：
①填空：______，______；
②计算：．
(3)若，请求出n的值．
【答案】(1)，
(2)①， ②
(3)
【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算：
（1）根据题意计算求解即可；
（2）①利用积的乘方的逆运算求解即可；
②把原式变形为，进而求解即可；
（3）根据幂的乘方和积的乘方逆运算法则解答即可．
【详解】（1）解：，，
故答案为：，；
（2）解：①；
；
故答案为：，；
②
；
（3）解：，
∴，
解得．
17．若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果，求x的值；
(2)如果，求x的值；
(3)若，，用含x的代数式表示y（结果需要化简）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了逆用幂的乘方法则，逆用同底数幂的乘法则，解题关键是掌握逆用幂的乘方法则和逆用同底数幂的乘法则．
（1）利用逆用幂的乘方法则计算；
（2）逆用同底数幂的乘法计算；
（3）逆用幂的乘方法则计算．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，解得：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即．
18．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用，对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（，为正整数）.请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：
(1)①已知，则_____．
②计算：_____．
(2)已知，，，请比较，，的大小，并用“”连接起来．
(3)若规定：，，，求的值．
【答案】(1)①12， ②
(2)
(3)
【分析】本题考查了幂的运算的逆用.
（1）①直接逆用同底数幂的乘法法则计算即可；
②逆用同底数幂的乘法得到，根据乘法结合律计算即可；
（2）逆用幂的乘方，将，，化为幂为111的数，再比较即可；
（3）先求出的值，再逆用同底数幂的乘法计算即可.
【详解】（1）解：①，
故答案为：；
②
，
故答案为：；
（2），，，，
∴；
（3）由题意可知：，
∴
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典例详解
类型一、幂的混合运算
类型二、逆用幂的相关公式求值
类型三、利用幂的乘方比较大小
类型四、与幂的运算有关的新定义型问题
压轴专练
类型一、幂的混合运算
1.运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内。同底数幂相乘，底数不变指数相加；相除则指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘。 2.符号处理：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。混合运算中先确定符号，再算绝对值，避免符号错误。
例1．计算：．
【变式1-1】计算：
(1)；
(2)．
【变式1-2】计算：
(1)；
(2)．
【变式1-3】化简或化简求值
(1)．
(2)，其中，．
类型二、逆用幂的相关公式求值
1.开方运算：是乘方的逆运算。若an = b（n为正整数），则a是b的n次方根。正数偶次方根有两个（互为相反数），奇次方根唯一；负数奇次方根为负，偶次方根无意义；0的方根是0。 2.对数运算：是指数运算的逆。若ab = N（a>0,a≠1,N>0），则b = loga N。遵循基本性质：loga1=0，logaa=1，及运算公式。 3.应用要点：逆运算需注意底数、指数限制（如对数底数和真数范围），结合乘方、指数法则逆向推导，解决方程求解等问题。
例2．解决下列有关幂的问题：
(1)若，求值；
(2)若n为正整数，且，求的值．
【变式2-1】（1）已知，，求的值．
（2）已知，，，求的值．
【变式2-2】①若，求的值．
②已知，，求的值．
【变式2-3】（1）已知，．求的值；
（2）已知，．用a，b表示的值；
（3）已知为正整数，且．求的值．
类型三、利用幂的乘方比较大小
1. 转化底数法：当底数不同但可化为同底数时，用幂的乘方将幂转化为同底数幂，再比较指数大小（底数>1时，指数大则幂大；0<底数<1时相反）。 2. 转化指数法：底数难统一时，将指数化为相同，通过幂的乘方变形成同指数幂，比较底数大小（指数为正，底数大则幂大）。 3. 中间值过渡：若底数、指数均难统一，借助中间值（如1、10等），分别比较两数与中间值的大小，间接判断关系，需注意符号对大小的影响。
例3．在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．）
解：，，且，
，
类比阅读材料的方法，解答下列问题：
(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______；
A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方
(2)比较的大小；
(3)比较与的大小；
(4)已知，，．求之间的等量关系．
【变式3-1】比较大小： （填“”、“”或“”）．
【变式3-2】阅读下列两则材料，解决问题．
材料一：比较和的大小．
解：因为，
所以，即．
小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小．
材料二：比较和的大小．
解：因为，
所以，即．
小结：底数相同（底数大于1）的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小．
(1)比较的大小；
(2)比较的大小；
(3)已知，比较的大小（均为大于1的数）．
类型四、与幂的运算有关的新定义型问题
1.理解新定义：紧扣题目给出的新运算规则（如自定义幂的运算符号、新公式），明确底数、指数的变化逻辑，对比常规幂运算找异同，避免混淆。 2.转化应用：将新定义转化为熟悉的幂运算形式，运用同底数幂、幂的乘方等法则推导，结合新规则中的限制条件（如底数范围、指数特殊规定）逐步计算。 3.验证与拓展：通过简单例子验证对新定义的理解，再解决复杂问题；注意新定义下公式的逆向运用，灵活处理含字母的化简或求值。
例4．对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如．
(1)填空：当，时，__________；
(2)若，，求的值．
【变式4-1】定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题．
(1)求的值；
(2)，求的值；
(3)若运算的结果为，则t的值是多少？
【变式4-2】我们给出以下两个定义：
①三角形 ；②3×3的方格图
请你根据上面两个定义，解答下列问题：
(1)填空： =__________
(2)填空： =____________
(3)若 ，求
【变式4-3】在形如的式子中， 我们已经研究过两种情况：①已知和，求，这是乘方运算：②已知和，求，这是开方运算 ． 现在我们研究第三种情况： 已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算 ． 定义： 如果，，，则叫做以为底的对数，记作：，例如： 求，因为，所以；又比如
，
，
(1)根据定义计算：
① ；② ；③如果，那么 ；
(2)设，，则，，，、均为正数） ，，
，
，即这是对数运算的重要性质之一， 进一步， 我们还可以得出： ； （其 中、、、、均为正数，，
(3)请你猜想： （，，、均为正数）
一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．已知a，b，c为自然数，且满足，则的取值不可能是（ ）
A． B．2 C．1 D．7
5．我们定义：，若，则的值为（ ）
A．4 B．16 C．64 D．256
二、填空题
6．化简：（1） ．（2） ．
7．计算： ．
8．定义新运算：，则 ．
9．若，则的值为 ．
10．【新情境】如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球8个、20个、8个．先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于 ．
三、解答题
11．计算：
(1)；
(2)；
12．若（且，m、n是正整数），则，利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果，求x的值；
(2)如果，求x的值．
13．计算：
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
14．定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解答下列问题：
(1)求的值．
(2)，，，求的值．
(3)若运算的结果为，则的值是多少？
15．如果，那么我们规定，例如：因为，所以．
(1)（理解）根据上述规定，填空：________，________；
(2)（说理）记，，，试说明：；
(3)（应用）若（且），求的值．
16．阅读下列各式：，，……
(1)发现规律：______，______．
(2)应用规律：
①填空：______，______；
②计算：．
(3)若，请求出n的值．
17．若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果，求x的值；
(2)如果，求x的值；
(3)若，，用含x的代数式表示y（结果需要化简）．
18．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用，对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（，为正整数）.请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：
(1)①已知，则_____．
②计算：_____．
(2)已知，，，请比较，，的大小，并用“”连接起来．
(3)若规定：，，，求的值．
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