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专题11 整式运算中含参数及新定义型问题的六类综合题型
目录
典例详解
类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值
类型二、利用单项式乘多项式求字母的值
类型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值
类型四、完全平方式中的字母参数问题
类型五、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题
类型六、整式的运算中的新定义型问题
压轴专练
类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值
1.系数与指数对应求值：单项式相乘后，系数和同字母指数分别相等，如2xm * 3x2 = 6x5，得m+2=5，求m=3。 2.代入化简代数式：先算单项式乘积化简，再代入字母值。如3a * 2b = 6ab，代入a=1、b=2，得结果12。
例1．已知单项式与的积为，则m，n的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式1-1】若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【变式1-2】设，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【变式1-3】已知与的积与是同类项．
(1)求的值，
(2)先化简，再求值：．
类型二、利用单项式乘多项式求字母的值
1.展开后系数对应：单项式乘多项式展开后，同类项系数对应相等。如2x(x + a)=2x + 6x，对比得2a=6，求a=3。 2.整体代入求值：先展开化简，如a(2b + c) - 2ab = ac，代入a=2、c=5，直接得2×5=10。
例2．若，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【变式2-1】若，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【变式2-2】已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（ ）
A．17 B． C． D．-17
【变式2-3】若对任意都成立，则 ．
类型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值
1. 合并同类项后系数为0：多项式相乘展开后，合并同类项，令不含项的系数等于0。如(x + a)(x + 2)=x +(a+2)x+2a，不含一次项则a+2=0，得a=-2。 2. 通过系数关系求解：分析乘积中某项系数构成，列方程求解。如(2x + m)(x - 3)不含常数项，常数项-3m=0，得m=0。
例3．若的展开式中不含x的二次项和一次项，求a，b的值．
【变式3-1】已知关于的代数式中不含项与项．
(1)求的值；
(2)求代数式的值．
【变式3-2】多项式，，A与B的乘积中不含项，且常数项是－6．
(1)试确定m和n的值；
(2)利用（1）的结果，求的值．
【变式3-3】定义，如．已知(n为常数)， ．
(1)若，求x的值；
(2)若A的代数式中不含x的一次项，且，求的值；
(3)若A中的n满足，且，求的值．
类型四、完全平方式中的字母参数问题
1.缺项补全求参数：形如x + ax + 9为完全平方式，因9=3 ，故ax=±2·x·3，得a=±6，利用中间项是两数积的2倍。 2.配方确定参数范围：如x + 2x + m是完全平方式，配方为(x+1) + (m-1)，需m-1=0，即m=1。
例4．（24-25八年级上·吉林·期末）若式子是一个完全平方式，则k= ．
【变式4-1】（24-25八年级上·吉林松原·期末）若是一个完全平方式，则常数k的值为 ．
【变式4-2】如果关于的多项式 是完全平方式，那么的值为 ．
【变式4-3】（24-25八年级上·重庆万州·期中）已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ．
类型五、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题
1.面积表达式去无关项：图形面积用多项式乘积表示后，合并同类项，令含无关字母的项系数为0。如某面积式为x + (a-2)y + 3，与y无关则a-2=0，得a=2。 2.乘积化简消参数：多项式相乘后，若结果与某字母无关，说明该字母系数为0。如(x + m)(x + 2)=x + (m+2)x + 2m，与x无关则m+2=0，得m=-2。
例5．如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为米、米（如图所示）．
(1)求音乐喷泉池的占地面积（用含，的式子表示）．
(2)若，满足，求该广场音乐喷泉的面积．
(3)在（2）的条件下，音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平米铺设地砖的费用为元，求市民活动区域铺设地砖的费用
【变式5-1】如图，一个小长方形的长为，宽为，将6个大小相同的小长方形放入大长方形内（无重叠）．
(1)用含、的代数式表示大长方形的长______，宽______；（结果写成最简形式）
(2)用含、的代数式表示大长方形中阴影部分的面积；（结果写成最简形式）
(3)若，大长方形面积为，大长方形中阴影部分为，求的值．
【变式5-2】两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．
(1)用含a，b的代数式分别表示、；
(2)若，，求的值；
(3)当时，求出图3中阴影部分的面积．
【变式5-3】有边长分别为a，b的两种正方形（如图1）卡片若干．
(1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的周长；
(2)将一张边长为a的正方形卡片和两张边长为b的正方形卡片按如图3放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的周长；
(3)将两种正方形卡片各一张按如图4放置在一个边长为c的大正方形内，左下角长方形的面积为S1，两张卡片重叠部分的面积为S2．若，请直接写出与的数量关系．
类型六、整式的运算中的新定义型问题
1. 理解新运算规则：按定义转化为整式运算，如定义a*b=a - b，则3*2=3 - 2=7，用熟悉公式计算。 2. 结合公式化简：新定义含多项式时，套用乘法公式，如a b=(a+b)(a-b)，即平方差，直接用公式简化运算。
例6．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如：，．完成下面的探究：
（1）当时，的值是 ；
（2）若，则的值是 ．
【变式6-1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）新定义：为二阶行列式，它的运算规则是，例如：．
(1)计算的值；
(2)若，求的值．
【变式6-2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即），如果，则称B是A的“好多项式”，如果，则称B是A的“极好多项式”．例如多项式，，则，则，，，所以B是A的“好多项式”，但B不是A的“极好多项式”．
(1)若，均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项式”？是不是A的“极好多项式”？请判断并说明理由；
(2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则______；
(3)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，求m的值．
【变式6-3】（24-25七年级下·广东佛山·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数，，，规定．例如：．
请解答下列问题：
(1)填空： = ；
(2)若的代数式中不含的一次项时，求的值；
(3)如图1，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，设正方形和正方形的边长分别为，，若，，求出阴影部分的面积．
(4)如图2，小长方形长为，宽为，用张图中的小长方形按照图方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分图中阴影部分，设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为，当时，求的值．
一、单选题
1．如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（ ）
A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5
2．若关于的多项式是完全平方式，则的值为（ ）
A． B． C．1或 D．或7
3．甲、乙、丙、丁四位同学在计算多项式“)”时，得到了各不相同的四个结果：甲，；乙，；丙，；丁，．已知四位同学中只有1人计算正确，且“”处的数字是正数．则计算结果正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．现定义运算“”，对于任意有理数，都有．例如：，由此可知等于（　　）
A． B． C． D．
5．在长方形中，比长1个单位，将一张边长为a和两张边长为b的正方形纸片按图1，图2两种方式放置，长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影部分表示，若要知道图2中阴影部分的面积与图1中阴影部分的面积的差，则只要知道图中哪条线段的长（ ）
A． B． C．a D．b
二、填空题
6．，则 ．
7．若关于的多项式的计算结果中不含有项，则 ．
8．在多项式中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则这个单项式有 个．
9．对于实数，，定义新运算“”如下：．若，则的值为 ．
10．我们定义：一个整式能表示成（、是整式）的形式，则称这个整式为“完全式”．例如：是整式），所以为“完全式”．若（、是整式，为常数）为“完全式”，则当时，的值为 ．
三、解答题
11．（1）试说明代数式的值与s，t的取值有无关系；
（2）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值．
12．如图1是一个长为m，宽为n的矩形（）．用7张图1中的小矩形纸片，按图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．若大矩形的长是宽的．
(1)求m与n的关系；
(2)若图2中，大矩形的面积为18，求阴影部分的面积．
13．对于任意有理数、、、，定义一种新运算：．
(1) ；
(2)对于有理数、，若是一个完全平方式，则 ；
(3)对于有理数、，若，．求的值．
14．定义，如．已知（n为常数0），．
(1)若，则x的值为 ；
(2)若A的代数式中不含x的一次项，当，求的值；
(3)若A中的n满足，且时，求的值．
15．【阅读理解】
在计算机上可以设置程序，将二次多项式处理成一次多项式，设置程序为：将二次多项式A的二次项系数乘以2作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的一次项系数作为一次多项式B的常数项．
例如：，A经过程序设置得到．
【知识应用】
关于x的二次多项式A经过程序设置得到一次多项式B，已知，根据上方阅读材料，解决下列问题：
(1)若，求m，n的值；
(2)若的结果中不含一次项，求关于x的方程的解；
(3)某同学在计算时，把看成了，得到的结果是，求出的正确值．
16．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，因此这三个数都是“智慧数”．
(1)根据“智慧数”的定义，请判断除外的所有奇数______“智慧数”；（填“是”或“不是”）
(2)如图，拼叠的正方形边长是从开始的连续偶数，按此规律拼叠到正方形，其边长为（为正整数），请用含的代数式表示阴影部分的面积；（要求：需写出必要的化简过程）
(3)若为正整数，则是“智慧数”．请判断该命题的真假，并说明理由．
17．如图1，把边长为的正方形放在长方形中，其中正方形的两条边分别在，上，已知，．
(1)请用含a、b的代数式表示阴影部分的面积： ；
(2)将另一长方形BEFG放入图1中得到图2，已知，；
①请用含a、b的代数式表示长方形的面积： ；请用含a、b的代数式表示长方形面积： ；
②若长方形的周长为6，求阴影部分的面积（用含的代数式表示）．
18．对于两个正数a，b（），定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．例如：，则．
(1)根据上述运算填空：________；________：________．
(2)先观察，与的结果之间的关系，再观察（1）中的三个数4，8，32之间的关系，试着归纳：________，并证明你发现的结论；
(3)如图①，正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，，．求图中阴影部分的面积．
(4)如图②，四边形，是长方形纸条，，，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分长方形沿着翻折得到长方形，若，长方形的面积是15，，，求的值．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题11 整式运算中含参数及新定义型问题的六类综合题型
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典例详解
类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值
类型二、利用单项式乘多项式求字母的值
类型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值
类型四、完全平方式中的字母参数问题
类型五、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题
类型六、整式的运算中的新定义型问题
压轴专练
类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值
1.系数与指数对应求值：单项式相乘后，系数和同字母指数分别相等，如2xm * 3x2 = 6x5，得m+2=5，求m=3。 2.代入化简代数式：先算单项式乘积化简，再代入字母值。如3a * 2b = 6ab，代入a=1、b=2，得结果12。
例1．已知单项式与的积为，则m，n的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂“底数不变，指数相加” ），熟练掌握单项式乘法的运算规则是解题关键．先依据单项式乘法法则计算与的积，再通过对比积与的形式，确定、的值．
【详解】解： 单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加）
，，
又
，
故选：．
【变式1-1】若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查单项式乘单项式，找到关键信息：等式两边的同底数幂相等，且底数分别为和，需保证对应底数的指数相等；以及通过指数相等建立方程的等量关系思想．
根据单项式乘法法则将所给式子的左边化简，进而结合右边建立方程组，解方程组即可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故选：C．
【变式1-2】设，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值
【分析】本题考查单项式的乘法，根据求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
∵，
∴，，
解得：，，
∴，
故选：B．
【变式1-3】已知与的积与是同类项．
(1)求的值，
(2)先化简，再求值：．
【答案】(1)
(2)，
【知识点】积的乘方运算、利用单项式乘法求字母或代数式的值
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义：
（1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出，再由同类项的定义得到，解之即可得到答案；
（2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】（1）解：，
∵与的积与是同类项，
∴与是同类项，
∴，
∴；
（2）解：
，
当时，原式．
类型二、利用单项式乘多项式求字母的值
1.展开后系数对应：单项式乘多项式展开后，同类项系数对应相等。如2x(x + a)=2x + 6x，对比得2a=6，求a=3。 2.整体代入求值：先展开化简，如a(2b + c) - 2ab = ac，代入a=2、c=5，直接得2×5=10。
例2．若，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值
【分析】本题考查了单项式乘多项式，解决本题的关键是掌握单项式乘多项式法则；根据单项式乘多项式，可得相等的多项式，根据相等多项式的项相等，可得a，b的值，根据有理数的加法，可得答案．
【详解】解：，
，
，
故选：．
【变式2-1】若，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值
【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
【变式2-2】已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（ ）
A．17 B． C． D．-17
【答案】B
【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值
【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算．先把原式变形为，根据当x为任意数时该等式都成立，可得，然后代入，即可求解．
【详解】解：，
∴，
∵，当x为任意数时该等式都成立，
∴，
∴
故选：B
【变式2-3】若对任意都成立，则 ．
【答案】1
【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值
【分析】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用单项式乘多项式的法则对等式左边进行整理，再结合等式的性质进行求解即可．
【详解】解：，
，
，
原式子对任意都成立，
，，
解得：，，
．
故答案为：1．
类型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值
1. 合并同类项后系数为0：多项式相乘展开后，合并同类项，令不含项的系数等于0。如(x + a)(x + 2)=x +(a+2)x+2a，不含一次项则a+2=0，得a=-2。 2. 通过系数关系求解：分析乘积中某项系数构成，列方程求解。如(2x + m)(x - 3)不含常数项，常数项-3m=0，得m=0。
例3．若的展开式中不含x的二次项和一次项，求a，b的值．
【答案】；
【分析】本题考查的是多项式的乘法运算的结果中不含某项，先计算多项式的乘法，合并同类项，再根据不含某项建立方程求解即可.
【详解】解：原式，
的展开式中不含x的二次项和一次项，
，
解得．
【变式3-1】已知关于的代数式中不含项与项．
(1)求的值；
(2)求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了多项式乘以多项式、积的乘方的逆运算，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后根据题意得出，即可得出m，n的值；
（2）将m，n的值代入，再利用积的乘方的逆运算进行计算即可．
【详解】（1）解：
=，
∵不含x项与项，
∴，
解得：；
（2）．
【变式3-2】多项式，，A与B的乘积中不含项，且常数项是－6．
(1)试确定m和n的值；
(2)利用（1）的结果，求的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）两多项式相乘后，利用多项式乘多项式法则计算，由乘积中的展开式中，不含项，且常数项是，确定出m和n的值；
（2）原式化简后代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：
∵不含项，且常数项是，
∴，
解得：；
（2）解：
，
当时，原式．
【变式3-3】定义，如．已知(n为常数)， ．
(1)若，求x的值；
(2)若A的代数式中不含x的一次项，且，求的值；
(3)若A中的n满足，且，求的值．
【答案】(1)
(2)9
(3)5
【分析】（1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可；
（2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，结合，求的值即可；
（3）根据，得到，结合定义，已知求解即可．
【详解】（1）解：
∵，
∴，
∴；
（2）解：
∵A的代数式中不含x的一次项，
∴，
∵，
∴，
∴时， ．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了新定义，一元一次方程的解法，求代数式的值，整式中不含项的意义，完全平方公式的应用，熟练掌握定义是解题的关键．
类型四、完全平方式中的字母参数问题
1.缺项补全求参数：形如x + ax + 9为完全平方式，因9=3 ，故ax=±2·x·3，得a=±6，利用中间项是两数积的2倍。 2.配方确定参数范围：如x + 2x + m是完全平方式，配方为(x+1) + (m-1)，需m-1=0，即m=1。
例4．（24-25八年级上·吉林·期末）若式子是一个完全平方式，则k= ．
【答案】
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题主要考查了完全平方式，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【详解】解：∵，
∴，
解得．
故答案为：．
【变式4-1】（24-25八年级上·吉林松原·期末）若是一个完全平方式，则常数k的值为 ．
【答案】
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征确定出的值即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴
故答案为：．
【变式4-2】如果关于的多项式 是完全平方式，那么的值为 ．
【答案】或/或
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行求解即可．
【详解】解：，
∴，
解得：或，
故答案为：或．
【变式4-3】（24-25八年级上·重庆万州·期中）已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ．
【答案】或
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、求完全平方式中的字母系数
【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出M．
【详解】解：①∵，
∴，
②若中M是多项式的平方，
则；
故答案为：或．
类型五、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题
1.面积表达式去无关项：图形面积用多项式乘积表示后，合并同类项，令含无关字母的项系数为0。如某面积式为x + (a-2)y + 3，与y无关则a-2=0，得a=2。 2.乘积化简消参数：多项式相乘后，若结果与某字母无关，说明该字母系数为0。如(x + m)(x + 2)=x + (m+2)x + 2m，与x无关则m+2=0，得m=-2。
例5．如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为米、米（如图所示）．
(1)求音乐喷泉池的占地面积（用含，的式子表示）．
(2)若，满足，求该广场音乐喷泉的面积．
(3)在（2）的条件下，音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平米铺设地砖的费用为元，求市民活动区域铺设地砖的费用
【答案】(1)音乐喷泉池的占地面积为
(2)
(3)市民活动区域铺设地砖的费用为元
【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据题意列式，再根据多项式乘多项式计算即可；
（2）根据非负数的性质，得出，代入（1）的式子进行计算即可求解；
（2）先根据题意列式求出市民活动区域的面积，再列式计算求出铺设地砖的费用即可，将，代入即可求解．
【详解】（1）解：由题可得音乐喷泉池的占地面积为
．
答：音乐喷泉池的占地面积为．
（2）解：，
∴
解得： ，
∴
（3）解：由题可得市民活动区域的面积为
．
市民活动区域每平米铺设地砖的费用为80元，
．
当时，
答：市民活动区域铺设地砖的费用为元．
【变式5-1】如图，一个小长方形的长为，宽为，将6个大小相同的小长方形放入大长方形内（无重叠）．
(1)用含、的代数式表示大长方形的长______，宽______；（结果写成最简形式）
(2)用含、的代数式表示大长方形中阴影部分的面积；（结果写成最简形式）
(3)若，大长方形面积为，大长方形中阴影部分为，求的值．
【答案】(1)，；
(2)大长方形面积：；阴影部分的面积：
(3)5
【分析】此题主要考查了整式运算的应用，正确理解题意、掌握求解的方法是解本题的关键．
（1）利用大长方形的长、宽分别包含的小长方形的长和宽，即可求解；
（2）利用（1）结果求得大长方形的面积，再利用大长方形的面积减去6个小长方形的面积即可求解；
（3）写出图中阴影部分的面积与大长方形的面积，代入，即可求解．
【详解】（1）解：大长方形的长：，
宽：，
故答案为：，；
（2）大长方形面积：
，
阴影部分的面积：
；
（3）当时，
由（2）得，
∴．
【变式5-2】两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．
(1)用含a，b的代数式分别表示、；
(2)若，，求的值；
(3)当时，求出图3中阴影部分的面积．
【答案】(1)，
(2)165
(3)15
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算．
（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示、；
（2）根据，将，，代入进行计算即可；
（3）根据，，即可得到阴影部分的面积．
【详解】（1）解：由图可得，，
；
（2）解：，
∵，，
∴；
（3）解：由图可得，，
∵，
∴．
【变式5-3】有边长分别为a，b的两种正方形（如图1）卡片若干．
(1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的周长；
(2)将一张边长为a的正方形卡片和两张边长为b的正方形卡片按如图3放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的周长；
(3)将两种正方形卡片各一张按如图4放置在一个边长为c的大正方形内，左下角长方形的面积为S1，两张卡片重叠部分的面积为S2．若，请直接写出与的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了多项式乘法和图形面积．
（1）根据正方形的边长为a，正方形的边长为b，得，由此可得出阴影部分的周长；
（2）正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b，得，再根据得，则，由此可得出阴影部分的周长；
（3）根据正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为b，，即可得到结论．
【详解】（1）解：如图2所示：
∵正方形的边长为a，正方形的边长为b，
∴，
∴，
∴阴影部分的周长为：；
（2）如图3所示：
∵正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的周长为：；
（3）与的数量关系是：，理由如下：
如图4所示：
∵正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为b，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
类型六、整式的运算中的新定义型问题
1. 理解新运算规则：按定义转化为整式运算，如定义a*b=a - b，则3*2=3 - 2=7，用熟悉公式计算。 2. 结合公式化简：新定义含多项式时，套用乘法公式，如a b=(a+b)(a-b)，即平方差，直接用公式简化运算。
例6．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如：，．完成下面的探究：
（1）当时，的值是 ；
（2）若，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据定义，求出，再将即可解答；
（2）根据定义求得，得到，，再求出，最后整体代入即得答案．
【详解】解：（1）
；
故答案为：；
（2）
，
∴，，
∴
．
故答案为：．
【变式6-1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）新定义：为二阶行列式，它的运算规则是，例如：．
(1)计算的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)1
(2)
【分析】本题考查有理数的混合运算及乘法公式，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解题关键．
（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出的值．
【详解】（1）解：
．
（2）解：．
，
∴，
∴，
．
【变式6-2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即），如果，则称B是A的“好多项式”，如果，则称B是A的“极好多项式”．例如多项式，，则，则，，，所以B是A的“好多项式”，但B不是A的“极好多项式”．
(1)若，均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项式”？是不是A的“极好多项式”？请判断并说明理由；
(2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则______；
(3)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，求m的值．
【答案】(1)B是A的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”，理由见解析；
(2)3；
(3)或．
【分析】本题考查了新定义，多项式与多项式的乘法，理解“好多项式”和“极好多项式”的定义是解答本题的关键．
（1）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“好多项式”的定义判断；
（2）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“极好多项式”，得到关于a的方程，解方程即可求解；
（3）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“极好多项式”，得到关于m的方程，解方程即可求解．
【详解】（1）B是A的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”，
理由如下：
，
∵的项数比A的项数多1项，
∴B是A的“好多项式”，不是A的“极好多项式”；
（2）
，
∵B是A的“极好多项式”，
∴且，
解得．
故答案为：3；
（3）
，
∵B是A的“极好多项式”，
∴或，
解得或0．
∴的值是或0．
【变式6-3】（24-25七年级下·广东佛山·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数，，，规定．例如：．
请解答下列问题：
(1)填空： = ；
(2)若的代数式中不含的一次项时，求的值；
(3)如图1，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，设正方形和正方形的边长分别为，，若，，求出阴影部分的面积．
(4)如图2，小长方形长为，宽为，用张图中的小长方形按照图方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分图中阴影部分，设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为，当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题通过新定义运算将代数运算与几何图形问题巧妙结合，既考查了对新定义的理解和运用能力，又综合考查了整式运算、方程求解以及图形面积计算等知识点，对综合运用能力要求较高．
（1）直接根据新运算定义代入计算即可；
（2）先根据新运算得出代数式，再通过合并同类项，根据一次项系数为求解；
（3）利用新运算得到等式，结合已知线段长度，通过完全平方公式变形求阴影部分面积(即两个正方形面价和)；
（4）先根据图形表示出、，结合已知等式得出 和关系，再代入新运算式子求值．
【详解】（1）解：根据新运算，
对于；
故答案为：．
（2），
∵代数式中不含x的一次项，
∴一次项系数，
∴解得；
（3），
可得：，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
阴影部分面积为两个三角形面积和；
（4）∵，
∴，，
∵
∴，
即，
∴
．
一、单选题
1．如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（ ）
A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5
【答案】C
【分析】本题考查整式乘除，解题的关键是掌握单项式与单项式乘法．根据单项式乘以单项式法则即可求出、的值．
【详解】解：由题意可知：
，
，，
，，
故选：C
2．若关于的多项式是完全平方式，则的值为（ ）
A． B． C．1或 D．或7
【答案】D
【分析】本题主要查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍．据此解答即可．
【详解】解：∵多项式是完全平方式，
∴，
∴，
则m的值为：或7．
故选：D．
3．甲、乙、丙、丁四位同学在计算多项式“)”时，得到了各不相同的四个结果：甲，；乙，；丙，；丁，．已知四位同学中只有1人计算正确，且“”处的数字是正数．则计算结果正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【分析】本题考查了多项式乘法运算及多项式各项系数的特征，解题的关键是通过设未知数表示多项式展开式，结合常数项和一次项系数的符号及数值特征排除错误选项．
设 “” 为正数a，展开多项式得，根据常数项符号排除丙、丁；对于甲与乙，可根据一次项系数、常数项对应相等分别求得a值，保持一致性的确定为正确结果．
【详解】
解：设 “” 为正数a，则，
∴常数项，但丙与丁的常数项均为正数，故排除丙与丁．
若，得且，
均解得，故甲符合题意；
若，得且，
解得与，矛盾，无解，故乙不符合题意；
综上，只有甲符合题意，
故选：A．
4．现定义运算“”，对于任意有理数，都有．例如：，由此可知等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，根据新定义代入，然后根据完全平方公式以及平方差公式展开，最后合并同类项即可．
【详解】解：根据题意可知：
，
故选：C
5．在长方形中，比长1个单位，将一张边长为a和两张边长为b的正方形纸片按图1，图2两种方式放置，长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影部分表示，若要知道图2中阴影部分的面积与图1中阴影部分的面积的差，则只要知道图中哪条线段的长（ ）
A． B． C．a D．b
【答案】D
【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，图1种阴影部分面积为图2中阴影部分面积为，据此分别求出两个阴影部分面积，作差即可得到答案．
【详解】解：由题意得，图1种阴影部分面积为
图2中阴影部分面积为
，
∴图2中阴影部分的面积与图1中阴影部分的面积的差为，
故选：D．
二、填空题
6．，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了单项式乘多项式运算、解一元一次方程等知识点，掌握单项式乘多项式运算法则成为解题的关键．
先根据单项式乘多项式运算法则计算，然后解关于m的方程求解即可．
【详解】解：，
，
，
．
故答案为：．
7．若关于的多项式的计算结果中不含有项，则 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再根据展开结果中不含有项，即含有项的系数为0列式求解即可．
【详解】解：
，
∵关于的多项式的计算结果中不含有项，
∴，
∴，
故答案为：2．
8．在多项式中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则这个单项式有 个．
【答案】
【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【详解】解：；
；
加上的单项式可以是、中任意一个．
故答案为：．
9．对于实数，，定义新运算“”如下：．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】
本题考查了完全平方公式的应用，平方差公式的应用，由题意可得，由此计算即可得解，熟练掌握运算法则，理解题意是解此题的关键．
【详解】
解：∵，
∴，
解得：或，
即的值为，
故答案为：．
10．我们定义：一个整式能表示成（、是整式）的形式，则称这个整式为“完全式”．例如：是整式），所以为“完全式”．若（、是整式，为常数）为“完全式”，则当时，的值为 ．
【答案】
【分析】利用完全平方公式分别把含x和y的项写成一个代数式的平方的形式，根据“完全式”的定义得，从而得到k的值．
本题考查完全平方公式的应用，实数的非负性应用，求代数式的值，熟练掌握新定义是解题的关键．
【详解】解：
，
由（、是整式，为常数）为“完全式”，
故，
解得，
当时，
故，
解得，
故，
故答案为：．
三、解答题
11．（1）试说明代数式的值与s，t的取值有无关系；
（2）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】本题考查整式的混合运算和无关型问题，与哪一项无关即是该项的系数为0，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键．
（1）根据多项式乘多项式法则和单项式乘多项式法则对原式进行计算，再合并同类项，可得结果为，即可解答；
（2）根据多项式乘多项式法则对原式进行计算，然后合并同类项，再根据题意可得的一次项系数为，常数项为，列式求解得到和的值，即可求得的值．
【详解】解：（1）
，
∴代数式的值与s的取值有关系，与t的取值无关系；
（2）
，
∵多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为，
∴，，
解得：，
∴．
12．如图1是一个长为m，宽为n的矩形（）．用7张图1中的小矩形纸片，按图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．若大矩形的长是宽的．
(1)求m与n的关系；
(2)若图2中，大矩形的面积为18，求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列代数式、整式的加减、多项式乘多项式、代数式求值，看懂图形，正确列出代数式是解答的关键．
（1）先根据图形，用m、n表示出矩形的长、宽，再根据长和宽的关系可得结论；
（2）根据图形，用m、n表示出大矩形的面积，进而求得，进而可得阴影面积的值．
【详解】（1）解：由题意，大矩形的长为，宽为，
∵大矩形的长是宽的，
∴，
化简，得；
（2）解：∵大矩形的面积为，大矩形的面积为18，，
∴，
解得，
∴阴影部分的面积为．
13．对于任意有理数、、、，定义一种新运算：．
(1) ；
(2)对于有理数、，若是一个完全平方式，则 ；
(3)对于有理数、，若，．求的值．
【答案】(1)
(2)2或
(3)56
【分析】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
（1）根据新运算的规则计算即可；
（2）根据新运算的规则可得，再根据是一个完全平方式可得结论；
（3）据新运算的规则化简，然后整体代入计算解题．
【详解】（1）解：原式．
故答案为：；
（2）解：原式，
是完全平方公式，
或．
故答案为：2或；
（3）解：原式
，
，，
，，
．
14．定义，如．已知（n为常数0），．
(1)若，则x的值为 ；
(2)若A的代数式中不含x的一次项，当，求的值；
(3)若A中的n满足，且时，求的值．
【答案】(1)1
(2)9
(3)13
【分析】本题考查了新定义下整式的运算.
（1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可；
（2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，结合，求的值即可；
（3）根据，得到，结合定义，已知求解即可．
【详解】（1）解：
∵，
∴，
∴；
故答案为：1；
（2）解：
∵A的代数式中不含x的一次项，
∴，
∵，
∴，
∴时， ；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴
15．【阅读理解】
在计算机上可以设置程序，将二次多项式处理成一次多项式，设置程序为：将二次多项式A的二次项系数乘以2作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的一次项系数作为一次多项式B的常数项．
例如：，A经过程序设置得到．
【知识应用】
关于x的二次多项式A经过程序设置得到一次多项式B，已知，根据上方阅读材料，解决下列问题：
(1)若，求m，n的值；
(2)若的结果中不含一次项，求关于x的方程的解；
(3)某同学在计算时，把看成了，得到的结果是，求出的正确值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查整式计算，解一元一次方程．
（1）根据题意列式对应系数相等即可得到结果；
（2）根据题意列式即可得到结果；
（3）先求出的值，再求出即可．
【详解】（1）解：，．
，
，，
，；
（2）解：，
∵的结果中不含一次项，
，解得：，
由得：，
；
（3）解：，
，
，
∴．
16．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，因此这三个数都是“智慧数”．
(1)根据“智慧数”的定义，请判断除外的所有奇数______“智慧数”；（填“是”或“不是”）
(2)如图，拼叠的正方形边长是从开始的连续偶数，按此规律拼叠到正方形，其边长为（为正整数），请用含的代数式表示阴影部分的面积；（要求：需写出必要的化简过程）
(3)若为正整数，则是“智慧数”．请判断该命题的真假，并说明理由．
【答案】(1)是
(2)阴影部分的面积为
(3)该命题为假命题，理由见解析
【分析】本题主要考查新定义，整式的混合运算，数字规律的计算，掌握以上知识的计算法则是关键．
（1）根据材料提示内容即可求解；
（2）根据图形面积，结合材料提示方法求解即可；
（3）根据题意若是“智慧数，则必有两个正整数、，使得，结合材料提示，平方差公式的计算判定即可求解．
【详解】（1）解：，
∴根据“智慧数”的定义，除1外的所有奇数是“智慧数”，
故答案为：是；
（2）解：方法一：
∵
，
∴阴影部分的面积为．
方法二：
∵
，
∴阴影部分的面积为．
（3）解：方法一：
该命题为假命题，理由如下：
∵若是“智慧数，则必有两个正整数、，使得，
∴，
∵、是两个正整数，
∴、同为偶数或同为奇数，
∴是4的倍数或奇数，
又∵不是4的倍数，也不是奇数，
∴不是“智慧数”，
∴该命题为假命题．
方法二：（举反例）
该命题为假命题，理由如下：
∵当时，，且，
又∵若6是“智慧数，则必有两个正整数、，使得，
∴，
∵、是两个正整数，
∴、同为偶数或同为奇数，
又∵、都是奇数乘偶数，
∴6不是“智慧数”，
∴该命题为假命题．
∵当时，，而6不是智慧数，
∴该命题为假命题．
17．如图1，把边长为的正方形放在长方形中，其中正方形的两条边分别在，上，已知，．
(1)请用含a、b的代数式表示阴影部分的面积： ；
(2)将另一长方形BEFG放入图1中得到图2，已知，；
①请用含a、b的代数式表示长方形的面积： ；请用含a、b的代数式表示长方形面积： ；
②若长方形的周长为6，求阴影部分的面积（用含的代数式表示）．
【答案】(1)；
(2)①，；②．
【分析】本题主要考查几何图形与多项式乘以多项式运算，掌握用整式表示阴影部分面积是解题的关键．
（1）用大长方形面积减去小正方形面积，即可；
（2）①用代数式表示出，，结合长方形的面积公式即可求解；
②由长方形的周长为6可得，结合即可得到答案．
【详解】（1）解：；
（2）①根据题意得，，，
∴，
；
②，
，
，
，
．
18．对于两个正数a，b（），定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．例如：，则．
(1)根据上述运算填空：________；________：________．
(2)先观察，与的结果之间的关系，再观察（1）中的三个数4，8，32之间的关系，试着归纳：________，并证明你发现的结论；
(3)如图①，正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，，．求图中阴影部分的面积．
(4)如图②，四边形，是长方形纸条，，，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分长方形沿着翻折得到长方形，若，长方形的面积是15，，，求的值．
【答案】(1)2，3，5
(2)
(3)120
(4)1
【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式的变形求值，幂的乘方计算，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据如果，那么，据此计算即可；
（2）由得；
（3）由得到，由得到，由得到，最后根据图中阴影部分的面积为计算即可；
（4）由得到，，由图可得：矩形的面积是，，解得，即可得到，，再根据，得到，，代入求值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵，，，，，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵，
∴由（2）可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵正方形的边长为，小正方形的边长为，
∴图中阴影部分的面积为；
（4）解：∵，
∴，，
由图可得：矩形的面积是，，
∴，解得，
∴，，
∴，，
，
∴，，
∴．
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