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专题01 与三角形有关的线段与角的四类综合题型
目录
典例详解
类型一、利用三角形的三边关系化简
类型二、与三角形的高线、中线、角平分线有关的计算问题
类型三、三角形折叠中的角度问题
类型四、与三角形的内外角有关的问题
压轴专练
类型一、利用三角形的三边关系化简
定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边.
例1．若，，是的三边，试化简： ．
【变式1-1】已知a，b，c是三角形的三边长，化简.
【变式1-2】已知的三边分别为a,b,c．
(1)若为整数，求的周长．
(2)化简：．
类型二、与三角形的高线、中线、角平分线有关的计算问题
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言过点A作AD⊥BC于点D．取BC边的中点D，连接AD．作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．标示图形符号语言1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点．1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途举例1．线段垂直． 2．角度相等．1．线段相等． 2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．
例2．如图，是的中线，是的高，，，，．
(1)求高的长；
(2)求的面积．
【变式2-1】如图，在锐角中，两条高线相交于点O．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，，，与的角平分线交于点M，求的度数；
(3)如图3，对任意的锐角，与的角平分线交于点M，直接写出的度数是__________．
【变式2-2】【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．

【性质探究】
如图（1），用分别表示和的面积．
则，
∵
∴．
【性质应用】
(1)如图②，是的边上的一点．若，则__________；
(2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积．
【变式2-3】在中，，D为直线上任意一点，连结，于点E，于点F．
【画图】（1）如图①，当点D在边上时，请画出中边上的高；
【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想之间的数量关系为__________；为了说明之间的数关系，小明是这样做的：
证明：∵__________，
∴__________．
∵，∴__________．
【运用】（3）如图②，当点D为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由．
【拓展】（4）如图③，当点D在的延长线上时，请直接写出之间的数量关系．
【变式2-4】【问题情境】
如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？
小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是．
据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．
(1)【深入探究】
如图2，点D在的边上，点P在上．
①若是的中线，______．
②若，则______．
(2)【拓展延伸】
如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形．
①：直接写出，与之间的等量关系；_______
②：若，则_______．
类型三、三角形折叠中的角度问题
1. 性质运用：折叠属于轴对称变换，折叠前后对应边相等、对应角相等，折痕是对称轴且垂直平分对应点连线。可据此推导线段长度与角度关系，如在直角三角形折叠中，利用对应边相等结合勾股定理求边长。 2. 角度计算：通过对应角相等，结合三角形内角和180°、外角性质等知识，推导折叠产生的新角度。如折叠后出现的重叠角、翻折角，需分析其与原三角形内角的数量关系。 3. 辅助线与方程思想：复杂折叠常需作辅助线连接对应点，构造全等三角形或直角三角形。对于求边长、角度等未知量，常设未知数，根据折叠性质和几何定理建立方程求解，将几何问题代数化 。
例3．如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．

(1)若，求的度数；
(2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
【变式3-1】在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：

(1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若．则______；
(2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______；
(3)如图3，如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿DE折叠使得点与点重合．
①若，则______；
②若，求证：；
(4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系．
【变式3-2】综合与探究

(1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数．
(3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示．
【变式3-3】（1）如图，将一张三角形纸片沿着折叠，使点落在边上的处，若，则 ______；

（2）如图，将一张三角形纸片沿着折叠点，分别在边和上，并使得点和点重合，若，则 ______；
（3）如图，将长方形纸片沿着和折叠成如图所示的形状，和重合，
①的度数是多少？请说明理由；
②如果，求的度数．
类型四、与三角形的内外角有关的问题
1.内角和定理：三角形三个内角的和恒为180°。此定理是基础，可用于已知两角求第三角，或结合方程思想，设未知数求解含参数的三角形角度问题，如等腰三角形中已知顶角与底角关系求各角度数。 2.外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，且大于任意一个与它不相邻的内角。利用该性质可实现角的等量代换和大小比较，常用于几何证明与角度推导，如证明三角形中角的不等关系。 3.内外角关系：三角形的一个内角与相邻外角互补，其度数之和为180°。同时，三角形外角和为360°，无论三角形形状如何，这一规律始终成立，可用于快速检验角度计算结果的正确性或解决多边形外角相关拓展问题。
例4．如图，在中，与的平分线相交于点P，的外角与的平分线相交于点Q，延长相交于点F．
(1)若，求的度数；
(2)在中，若，求∠A的度数．
【变式4-1】[实验探究]
（1）将一副三角板如图1摆放，使三角板的两条直角边分别经过点，点，且，则______；
（2）在图1的基础上，三角板保持不动，将三角板旋转得到图2，使三角板的两条直角边依然分别经过点，点，则______．
[猜想证明]
如图3，试猜想之间的关系，并证明．
[结论应用]
请直接利用以上的结论，解决问题：如图4，与的角平分线交于点，若，，求的度数．
【变式4-2】如图，在中，，点、是边、上的点，点是平面内一动点．令，，．
(1)若点在线段上，如图1所示，，求的值；
(2)若点在边上运动，如图2所示，则、、之间的关系________；
(3)若点运动到边的延长线上，如图3所示，则、、之间有何关系？猜想并说明理由；
(4)若点运动到外，如图4所示，则请表示、、之间的关系，并说明理由．
【变式4-3】在中，与的平分线相交于点P．

(1)如图1，，，求的度数．
(2)如图2，如果，求的度数（用含的代数式表示）．
(3)如图3，作的外角的平分线交的延长线于点D．
①试探究，之间的数量关系．
②在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，直接写出的度数．
一、单选题
1．如图，点是线段延长线上的点，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
2．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在直角三角形中，，把三角形沿方向平移得到三角形平分分别交于点、、．则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：；；；；；，⑦，其中结论错误的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
5．如图，在中，是的高线，是的角平分线，，，则的度数为 ．
6．已知的三边分别为，化简：
7．在中，，E是上的一点，且与相交于点F，．若的面积为1，则的面积为 ．
8．如图，，点E在的延长线上，交于点F，，，点P为线段上一点，点Q为上一点，且．
（1） ；（用含x的代数式表示）
（2）若平分，则的度数为 ．
三、解答题
9．已知：的三边长分别为a，b，c．
(1)化简：；
(2)若a，b，c满足，试判断的形状．
10．如图，为的中线，为的中线．
(1)已知，的周长为，求的周长；
(2)在中作边上的高；
(3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？
11．数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，自给条件，自设问题．有三名同学的作品如下：
(1)小香：如图1，已知的高，面积为，求的长度．
(2)小涵：如图2，已知D是中点，，，求．
(3)小宇：如图3，已知平分，，，求．
12．（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长；
（2）如图2，在中，，，求的高与的比；
（3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值．
13．中，，点D，E分别是边上的点，点P是一动点，令，．
初探：
（1）如图1，若点P在线段上，且，则________；
（2）如图2，若点P在线段上运动，则之间的关系为__________；
（3）如图3，若点P在线段的延长线上运动，则之间的关系为__________．
再探：
（4）如图4，若点P运动到的内部，写出此时之间的关系，并说明理由．
（5）若点P运动到的外部，请在图5中画出一种情形，写出此时之间的关系，并说明理由．
14．我们知道：过三角形的顶点引一条直线，可以将它分割成两个小三角形．如果每个小三角形都有两个相等的内角，则我们称这条直线为原三角形的“美丽线”．如图1，直线为的“美丽线”．
（1）如图2，在中，，，请利用直尺和量角器在图2中画出的“美丽线”（标出所得三角形的内角度数，不要求写画法）；
（2）在中，，．若存在过点C的“美丽线”，试探究与的关系．下面是对这个问题的部分探究过程：
设为的“美丽线”，点D在边上，则与中各有两个相等的内角．
【探究1】
如图3，当时，因为，所以________，且为锐角，则为钝角，所以在中，．由此可以得到与的关系为________，其中的取值范围为________．
【探究2】
借助图4，请你继续完成本问题的探究，直接写出与的关系．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题01 与三角形有关的线段与角的四类综合题型
目录
典例详解
类型一、利用三角形的三边关系化简
类型二、与三角形的高线、中线、角平分线有关的计算问题
类型三、三角形折叠中的角度问题
类型四、与三角形的内外角有关的问题
压轴专练
类型一、利用三角形的三边关系化简
定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边.
例1．若，，是的三边，试化简： ．
【答案】
【分析】本题考查三角形三边关系定理，绝对值的代数意义，不等式的性质．根据三角形三边关系得到，，然后再根据绝对值的代数意义进行化简即可．解题的关键是掌握：三角形的任意两边之和大于第三边．
【详解】解：∵，，是的三边，
∴，，
∴，，
∴
．
故答案为：．
【变式1-1】已知a，b，c是三角形的三边长，化简.
【答案】
【分析】此题考查了三角形的三边关系的应用、化简绝对值、整式的加减等知识，根据三角形的三边关系化简绝对值，再进行整式加减即可.
【详解】解：∵a，b，c是三角形的三边长，
∴，
∴，
∴
【变式1-2】已知的三边分别为a,b,c．
(1)若为整数，求的周长．
(2)化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，理解三角形的三边关系成为解题的关键．
（1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而c的值，最后求周长即可；
（2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答．
【详解】（1）解：∵，
，即，
∵c为整数，
∴，的周长为．
（2）解：的三边长为a，b，c，
，
．
类型二、与三角形的高线、中线、角平分线有关的计算问题
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言过点A作AD⊥BC于点D．取BC边的中点D，连接AD．作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．标示图形符号语言1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点．1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途举例1．线段垂直． 2．角度相等．1．线段相等． 2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．
例2．如图，是的中线，是的高，，，，．
(1)求高的长；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了三角形的高，中线：
（1）根据，即可求解；
（2）根据三角形中线的定义可得，再由三角形的面积公式计算，即可．
【详解】（1）解：∵是的高， ．
∴，
∵，，，
∴，
解得：；
（2）解：∵是的中线，，
∴，
∴的面积．
【变式2-1】如图，在锐角中，两条高线相交于点O．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，，，与的角平分线交于点M，求的度数；
(3)如图3，对任意的锐角，与的角平分线交于点M，直接写出的度数是__________．
【答案】(1)的度数为；
(2)；
(3)
【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和定理，三角形的高．
（1）利用垂直的性质求得，，再利用三角形内角和定理即可求解；
（2）利用垂直的性质结合角平分线有关的三角形内角和定理，计算即可求解；
（3）同（2）计算即可求解．
【详解】（1）解：∵锐角中，两条高线相交于点O，
∴，，
∴
，
答：的度数为；
（2）解：∵，，
∴，
，
∵与的角平分线交于点M，
∴，，
∴；
∴；
（3）解：∵锐角中，两条高线相交于点O，
∴，
，
∵与的角平分线交于点M，
∴，，
∴
；
∴．
【变式2-2】【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．

【性质探究】
如图（1），用分别表示和的面积．
则，
∵
∴．
【性质应用】
(1)如图②，是的边上的一点．若，则__________；
(2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题主要考查三角形的面积公式，理解等高的两个三角形的面积比等于底的比是解题的关键．
（1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案．
（2）根据和是等高三角形和和是等高三角形即可知道三角形的面积比即底的比，从而求出面积，
【详解】（1）解：如图，过点A作，
则
．

（2）和是等高三角形，
，
；
和是等高三角形，
，
．
【变式2-3】在中，，D为直线上任意一点，连结，于点E，于点F．
【画图】（1）如图①，当点D在边上时，请画出中边上的高；
【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想之间的数量关系为__________；为了说明之间的数关系，小明是这样做的：
证明：∵__________，
∴__________．
∵，∴__________．
【运用】（3）如图②，当点D为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由．
【拓展】（4）如图③，当点D在的延长线上时，请直接写出之间的数量关系．
【答案】（1）见详解；（2），，，；（3）与的数量关系为，理由见解析；（4）
【分析】本题考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积．
（1）过点B作交于一点E，即可作答．
（2），根据已有的过程结合面积之间的关系列式化简，即可作答．
（3）同理得，因为点D为中点，所以，结合，化简得，即可作答．
（4）同理结合面积之间的关系列式化简，，即可作答．
【详解】解：（1）依题意，边上的高如图所示：
（2）；
证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（3）过点B作交于一点G，
∵，
∴，
∵点D为中点，
∴，
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴，
（4）过点B作交于一点，
∵，
∴，
∵，
∴，
则，
【变式2-4】【问题情境】
如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？
小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是．
据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．
(1)【深入探究】
如图2，点D在的边上，点P在上．
①若是的中线，______．
②若，则______．
(2)【拓展延伸】
如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形．
①：直接写出，与之间的等量关系；_______
②：若，则_______．
【答案】(1)① ②
(2)① ②30
【分析】本题考查了三角形的中线，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键．
（1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，得到，即可得出结果；
②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明；
（2）①连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明，
②由①可得，同理可证得，根据，即可推得，即可求解．
【详解】（1）解：①证明：∵是的中线，
∴，点为的中点，
∴是的中线，
∴，
∴，
即，
∴
②，
解：设边上的高为，
则，，
∵，
∴，
同理，
则，
即，
∴．
（2）①证明：连接，，，如图：
∵点、、、分别为、、、的中点，
∴，，，分别为，，，的中线，
∴，，，，
∴，
∵，
即；
②由①可得，同理可证得，
，
即，
∵，
∴．
类型三、三角形折叠中的角度问题
1. 性质运用：折叠属于轴对称变换，折叠前后对应边相等、对应角相等，折痕是对称轴且垂直平分对应点连线。可据此推导线段长度与角度关系，如在直角三角形折叠中，利用对应边相等结合勾股定理求边长。 2. 角度计算：通过对应角相等，结合三角形内角和180°、外角性质等知识，推导折叠产生的新角度。如折叠后出现的重叠角、翻折角，需分析其与原三角形内角的数量关系。 3. 辅助线与方程思想：复杂折叠常需作辅助线连接对应点，构造全等三角形或直角三角形。对于求边长、角度等未知量，常设未知数，根据折叠性质和几何定理建立方程求解，将几何问题代数化 。
例3．如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕．

(1)若，求的度数；
(2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不变，
【分析】本题主要考查了三角形的折叠问题，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，数形结合．
（1）根据折叠得出，，根据，求出，即可求出结果；
（2）根据，，得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵将对折，得到折痕，
∴，
∵将对折，得到折痕，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：不变．理由如下：
∵，，，
∴，
即．
∴的大小不随点的运动而变化．
【变式3-1】在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：

(1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若．则______；
(2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______；
(3)如图3，如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿DE折叠使得点与点重合．
①若，则______；
②若，求证：；
(4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②见解析
(4)F在E左侧；F在之间；F在D右侧．
【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；
（2）先由角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，据此求解即可；
（3）①同（1）求得，由折叠的性质可得，据此计算即可求解；②证明，同①即可证明；
（4）分点F在点E左侧，点F在D、E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴；
故答案为：；
（3）解：①∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∵，
∴；
（4）解：当点F在点E左侧时，如图4-1所示，

∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∵，
∴
；
当F在D、E之间时，如图4-2所示：

同理可得，
，
∴
；
当点F在D点右侧时，如图4-3所示：

同理可得
；
综上所述，F在E左侧；F在之间；F在D右侧．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键．
【变式3-2】综合与探究

(1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数．
(3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示．
【答案】(1)，理由见解析；
(2)
(3)
【分析】（1）由折叠的性质得出，，由平角的定义及三角形内角和定理可得出答案；
（2）由（1）可知，，求出，则可得出答案；
（3）由（2）可知，，求出，由周角的定义求出，则可得出答案．
【详解】（1）．
理由：由折叠得：，，
，
，
；
（2）由（1）可知，，
，
，
，
，
，
；
（3）由（2）可知，，
，
，，
，
又
，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
【变式3-3】（1）如图，将一张三角形纸片沿着折叠，使点落在边上的处，若，则 ______；

（2）如图，将一张三角形纸片沿着折叠点，分别在边和上，并使得点和点重合，若，则 ______；
（3）如图，将长方形纸片沿着和折叠成如图所示的形状，和重合，
①的度数是多少？请说明理由；
②如果，求的度数．
【答案】（1）；（2）；（3）①；②
【分析】（1）利用对折性质可知是角平分线，由此即可求解；
（2）根据三角形的内角和可知，根据折叠可知的度数，利用两个平角和等于，由此即可求解；；
（3）①根据折叠可得，，且，代入计算即可；
②，代入计算即可．
【详解】解：（1）由对折性质可知，是角平分线，
∴，
故答案为：．
（2）在中，，，
∴，
根据折叠的性质得，，
∴，
∵，
，
故答案为：．
（3）①由折叠的性质可知：，，且，
，
②根据折叠的性质及上述知识可知，
．
【点睛】本题考查折叠问题中角的计算问题，掌握翻折的性质是本题的关键．
类型四、与三角形的内外角有关的问题
1.内角和定理：三角形三个内角的和恒为180°。此定理是基础，可用于已知两角求第三角，或结合方程思想，设未知数求解含参数的三角形角度问题，如等腰三角形中已知顶角与底角关系求各角度数。 2.外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，且大于任意一个与它不相邻的内角。利用该性质可实现角的等量代换和大小比较，常用于几何证明与角度推导，如证明三角形中角的不等关系。 3.内外角关系：三角形的一个内角与相邻外角互补，其度数之和为180°。同时，三角形外角和为360°，无论三角形形状如何，这一规律始终成立，可用于快速检验角度计算结果的正确性或解决多边形外角相关拓展问题。
例4．如图，在中，与的平分线相交于点P，的外角与的平分线相交于点Q，延长相交于点F．
(1)若，求的度数；
(2)在中，若，求∠A的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形内角和问题，三角形外角的定义和性质：
（1）先根据三角形内角和为180度计算出，根据角平分线的定义计算出，最后再次用三角形内角和定理即可求解；
（2）根据三角形外角的性质可得，，结合角平分线的定义、三角形内角和定理可得，再根据推出，结合即可求解．
【详解】（1）解：中，，
，
与的平分线相交于点P，
，，
，
；
（2）解：与是的外角，
，，
与的平分线相交于点Q，
，，
，
；
是的外角，
，
，
又，
，
，
解得．
【变式4-1】[实验探究]
（1）将一副三角板如图1摆放，使三角板的两条直角边分别经过点，点，且，则______；
（2）在图1的基础上，三角板保持不动，将三角板旋转得到图2，使三角板的两条直角边依然分别经过点，点，则______．
[猜想证明]
如图3，试猜想之间的关系，并证明．
[结论应用]
请直接利用以上的结论，解决问题：如图4，与的角平分线交于点，若，，求的度数．
【答案】[实验探究] （1）；（2）；[猜想证明] ，证明见解析；[结论应用]
【分析】本题考查了三角形内角和定理，准确识别图形是解题的关键．
[实验探究] （1）根据直角三角板的性质可得，，即可求解；
（2）根据直角三角板的性质可得，，即可求解；
[猜想证明] 连接，在和中，根据三角形内角和定理可得，，即可求解；
[结论应用] 由[猜想证明]得：，，再由角平分线的定义可得，即可求解．
【详解】解：[实验探究] （1）∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
（2）∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
[猜想证明] ，证明如下：
如图，连接，
在中，，
在中，，
∴
，
即；
[结论应用] 由[猜想证明]得：，，
∵与的角平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
解得：．
【变式4-2】如图，在中，，点、是边、上的点，点是平面内一动点．令，，．
(1)若点在线段上，如图1所示，，求的值；
(2)若点在边上运动，如图2所示，则、、之间的关系________；
(3)若点运动到边的延长线上，如图3所示，则、、之间有何关系？猜想并说明理由；
(4)若点运动到外，如图4所示，则请表示、、之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)猜想，理由见解析
(4)，理由见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质：
（1）根据，可得，再根据平角的定义可得，则；
（2）同（1）求解即可；
（3）由三角形的外角的性质知：，，据此可得结论；
（4）由三角形的外角的性质知：，，再由，则．
【详解】（1）解：∵在四边形中，（四边形内角和可以看做连接对角线后两个三角形的内角和），，，
∴
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵在四边形中，（四边形内角和可以看做连接对角线后两个三角形的内角和），，
∴
∵，
∴，
∴；
（3）解：猜想，理由如下：
设交于M，
由三角形的外角的性质知：
，，
，
即；
（4）解：，理由如下：
设交于M，
由三角形的外角的性质知：
，，
，
，，
即，
【变式4-3】在中，与的平分线相交于点P．

(1)如图1，，，求的度数．
(2)如图2，如果，求的度数（用含的代数式表示）．
(3)如图3，作的外角的平分线交的延长线于点D．
①试探究，之间的数量关系．
②在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②或或或
【分析】本题考查三角形的内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识，利用数形结合和分类讨论求解是解答的关键．
（1）利用三角形内角和求出，再根据角平分线求出和，最后再利用三角形内角和求解；
（2）同（1）中方法计算即可；
（3）①根据角平分线的定义得到，，利用外角的性质可得，再结合即可证明；
②分四种情况分别讨论即可．
【详解】（1）解：在中，
，，
．
∵P是和的平分线的交点，
，
（2）解：，
，
∵P是和的平分线的交点，
，
，
．
（3）①∵是的外角的平分线，
．
∵平分，
．
，
，
即．
，
，
即．
②的度数是或或或．
由图得
．
在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，可分为四种情况：
（Ⅰ），
则，；
（Ⅱ），
则，，；
（Ⅲ），又
则，；
（Ⅳ），又，
则，．
综上所述，的度数是或或或．
一、单选题
1．如图，点是线段延长线上的点，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形外角的性质，利用性质求解即可．
【详解】是的外角
解得：
故选：D．
2．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了中线、角平分线和中线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据三角形的中线意义和性质可判断B和D；根据三角形高的定义，直角三角形两锐角互余判断A；根据三角形角平分线的意义可判断C．
【详解】解：∵是中线，
∴，故D选项不正确，不符合题意；
∴，故B选项正确，符合题意；
∵是高，
∴，
∴，故A选项不正确，不符合题意；
∵是角平分线，
∴，故C选项不正确，不符合题意；
故选：B．
3．如图，在直角三角形中，，把三角形沿方向平移得到三角形平分分别交于点、、．则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平移的性质，三角形的外角的性质，角平分线的定义，根据平移的性质即可判断A，B正确，根据角平分线的定义以及三角形的外角的性质，即可判断C选项，根据D选项以及三角形内角和定理得出，结合题意即可求解．
【详解】解：∵把三角形沿方向平移得到三角形
∴，，故A、B正确，不符合题意；
∵平分
∴
∴，故C正确，不符合题意；
当时，，
则
又∵，
∴
∴，而不一定成立，故D不一定正确，符合题意；
故选：D．
4．如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：；；；；；，⑦，其中结论错误的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断①和④和⑦；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断⑤，根据三角形的面积公式判断⑥．
【详解】解：是的中线，
，故④正确，符合题意；
是角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，故②正确，符合题意；
，，
，故③正确，符合题意；
由已知条件不能确定，
与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意；
∵不一定是的中点，无法证明，故①错误，不符合题意；
∴不一定是，
∴不一定等于，
∴不一定等于，即：不一定等于，故⑦错误；
∵，是高，
∴
∴，故⑥正确
综上，其中结论错误的有3个．
故选：C．
二、填空题
5．如图，在中，是的高线，是的角平分线，，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形的高线，角平分线以及直角三角形两锐角互余定理的应用，熟练掌握相关定理是解题的关键．先根据是的角平分线，得到，再由是的高线，得到，再由角的和差即可解答．
【详解】解：，
，
是的角平分线，
，
是的高线，
，
，
．
故答案为：
6．已知的三边分别为，化简：
【答案】
【分析】本题考查了三角形三边关系，整式的加减运算，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
首先根据三角三边的关系化简绝对值，然后再根据同类项的定义和合并同类项的方法进行化简即可．
【详解】解：的三边分别为，
，，
，
，
故答案为：．
7．在中，，E是上的一点，且与相交于点F，．若的面积为1，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形面积计算， 三角形中线的性质，解题关键是同高三角形面积比等于底的比，三角形中线分得的两个三角形面积相等．
根据高相等的三角形，面积比等于底的比得到，再根据三角形中线分得的三角形面积相等得到，，从而得到，两式相减，得到，由，、上的高相等，所以，从而即可求解．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，
∵D是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
8．如图，，点E在的延长线上，交于点F，，，点P为线段上一点，点Q为上一点，且．
（1） ；（用含x的代数式表示）
（2）若平分，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查角平分线，平行线的判定和性质的应用，三角形的内角和定理；
（1）根据三角形的内角和定理求出，再证出，得到，得到，再计算即可；
（2）由角平分线性质得到，再结合计算即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
（2）∵平分，∴，
又∵，∴，
故答案为：．
三、解答题
9．已知：的三边长分别为a，b，c．
(1)化简：；
(2)若a，b，c满足，试判断的形状．
【答案】(1)
(2)等边三角形
【分析】本题考查的是化简绝对值，整式的加减运算，非负数的性质，三角形三边关系的应用；
（1）结合三角形的三边关系化简绝对值，再合并同类项即可；
（2）由非负数的性质证明，从而可得结论．
【详解】（1）解：∵三边长，
∴
∴
．
；
（2）解：∵且，，
∴且
∴且，即
∴等边三角形．
10．如图，为的中线，为的中线．
(1)已知，的周长为，求的周长；
(2)在中作边上的高；
(3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的面积相等，要熟练掌握．
（1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，再把用表示，用表示，整理即可得解；
（2）根据三角形高线的定义作出即可；
（3）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】（1）解：为的中线，
，
，
，
的周长，
，
的周长；
（2）解：如图，即为中边上的高，
（3）解：设点到边的距离为
为的中线， 为的中线，
，
，
，
，
点到边的距离为．
11．数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，自给条件，自设问题．有三名同学的作品如下：
(1)小香：如图1，已知的高，面积为，求的长度．
(2)小涵：如图2，已知D是中点，，，求．
(3)小宇：如图3，已知平分，，，求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，掌握与三角形“三线”相关的结论是解题关键．
（1）根据即可求解；
（2）根据、、、即可求解；
（3）根据三角形的内角和定理求出即可求解．
【详解】（1）解：∵，
又∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵D是中点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴．
12．（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长；
（2）如图2，在中，，，求的高与的比；
（3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）10．
【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．
（1）利用面积法求出即可．
（2）利用面积法求出高与的比即可．
（3）利用面积法求出，可得结论．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，，，
，
，
又，
，
即．
13．中，，点D，E分别是边上的点，点P是一动点，令，．
初探：
（1）如图1，若点P在线段上，且，则________；
（2）如图2，若点P在线段上运动，则之间的关系为__________；
（3）如图3，若点P在线段的延长线上运动，则之间的关系为__________．
再探：
（4）如图4，若点P运动到的内部，写出此时之间的关系，并说明理由．
（5）若点P运动到的外部，请在图5中画出一种情形，写出此时之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）130
（2）
（3）
（4），理由见解析
（5）或，图见解析，理由见解析
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，对顶角相等等，熟知三角形外角的性质是解题的关键．
（1）如图1所示，连接，证明即可得到答案；
（2）只需要证明即可得到答案；
（3）利用三角形外角的性质求解即可；
（4）利用三角形外角的性质求解即可；
（5）根据题意画出图形，利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：（1）如图1所示，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵，，，
∴
故答案为：；
（3）解：设与交于F，
∵，，
∴，
故答案为：；
（4）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴；
（5）解：如图5-1所示，
∵，
∴
如图5-2所示，
∵，
∴
14．我们知道：过三角形的顶点引一条直线，可以将它分割成两个小三角形．如果每个小三角形都有两个相等的内角，则我们称这条直线为原三角形的“美丽线”．如图1，直线为的“美丽线”．
（1）如图2，在中，，，请利用直尺和量角器在图2中画出的“美丽线”（标出所得三角形的内角度数，不要求写画法）；
（2）在中，，．若存在过点C的“美丽线”，试探究与的关系．下面是对这个问题的部分探究过程：
设为的“美丽线”，点D在边上，则与中各有两个相等的内角．
【探究1】
如图3，当时，因为，所以________，且为锐角，则为钝角，所以在中，．由此可以得到与的关系为________，其中的取值范围为________．
【探究2】
借助图4，请你继续完成本问题的探究，直接写出与的关系．
【答案】（1）见详解
（2）【探究1】，，【探究2】或或
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，理解新定义“美丽线”是解题的关键．
（1）根据“美丽线”的定义结合三角形内角和定理，即可求解；
（2）探究1：根据“美丽线”的定义，结合三角形内角和定理分别求出的度数，再根据平角的定义可得结论，再由，可得的取值范围；
探究2：根据“美丽线”的定义，图形结合（图示见详解），分类讨论，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：（1）如图，直线即为所求；
（2）探究一：根据三角形的内角和定理可得，
利用三角形的外角定理可得，即，
整理得，
，
，
故答案为：，，；
探究二：
①如图所示，直线是的“美丽线”，
，
∵，
∴，
整理得；
②如图所示，直线是的“美丽线”，
，
是的外角，
；
③如图所示，直线是的“美丽线”，
，
；
综上，与的关系为或或．
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