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专题02 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型三类综合题型
目录
典例详解
类型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型
类型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型
类型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型
压轴专练
类型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型
如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在 ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在 ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在 ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。
例1．如图，从纸片中剪去，得到四边形．如果，那么度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，
根据平角的定义得出，再根据三角形内角和定理得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
【变式1-1】如图，在中，按图中虚线把角度为的剪去，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查三角形外角的性质及三角形内角和，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；如图，由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解．
【详解】解：如图，
∴，
∵，，
∴；
故选D．
【变式1-2】如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.

(1)若，①求的度数；②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数.(2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由；
(3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系.
【答案】(1)①；②(2)，理由见解析(3).
【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形外角性质，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识是正确解答的关键．（1）①根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可；②根据①的结论即可解答；（2）由（1）的结论以及三角形内角和定理即可解答；
（3）由（2）的结论可得，再根据三角形内角和定理进行解答即可．
【详解】（1）解：①如图1，
∵，∴，
∵，∴；
②由①方法可得：．
（2）解：，理由如下：由（1）可得．
∵，分别平分和，∴，
∴，
∴．
（3）解：，理由如下：由图2可得，，
∵，分别平分和，∴，
∴，
∴．
【变式1-3】【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，与分别为的两个外角，则．
【推理证明】∵与分别为的两个外角，
∴______，______，
∴______．
∵，
∴．
【初步应用】
（1）如图②，在纸片中剪去，得到四边形，若，则的大小为______度．
（2）如图③，在中，、分别为外角、的平分线，则与的数量关系，并说明理由．
【拓展提升】
（3）如图④，在四边形中，、分别为外角、的平分线，若，求的度数．
【答案】【推理证明】见解析；【初步应用】（1）；（2）；【拓展提升】．
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角性质，三角形内角和定理，理解相关知识是解答关键．
【推理证明】由三角形外角性质得，，再求与的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证；
【初步应用】（1）由进行变形为即可求解；
（）由角平分线的定义得，，再由三角形内角和定理得出，然后把代入即可求解；
【拓展提升】（3）延长、交于点，先求，再把代入即可求解．
【详解】证明：【推理证明】∵与分别为的两个外角，
∴，，
∴．
∵，（三角形内角和定理）
∴．
故答案为：；
解：（1）∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵、分别为外角、的平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（3）如图所示，延长、交于点，
∵，，
∴，
∴．
类型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型
图1 图2 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在 ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在 COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在 ABO中，AB＜AO+BO；在 COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D
例2．如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D
【答案】D
【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．
【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故选项A，B，C正确，故选D．
【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键．
【变式2-1】如图，已知直线、相交于点，，，， ．
【答案】/30度
【知识点】对顶角相等、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理得，由对顶角相等得，再利用三角形内角和定理即可得出结论．解题的关键是掌握：三角形内角和为．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【变式2-2】（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则、、、之间的数量关系 ．
（2）在图2中和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ．
【答案】 /度
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键．
（1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解；
（2）根据（1）的关系式求出，，然后利用“8字形”的关系式结合角平分线列式整理即可得解；
【详解】解：（1），，
又∵，
；
（2），，
，
，
、分别是和的角平分线，
，，
又，
；
故答案为：（1），（2）
【变式2-3】如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”．
(1)求证：；
(2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N．
①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：_________；
②若，，求的度数；
③根据②的结果直接写出，，之间的关系（不需要证明）．
【答案】(1)见解析
(2)①(答案不唯一)；②；③
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形外角的定义和性质是解题关键．
（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；
（2）①根据“8字型”的定义判断即可；
②由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答；
③根据角平分线的定义可得，，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案．
【详解】（1）证明：在中，，
在中，，
∵，
∴；
（2）解：①以线段为边的“8字型”有：和，和，和；
以点为交点的“8字型”有：和，和，和，和；
故答案为：；
②∵在和中，，
在和中，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，即，
∴；
③、、之间的关系为．
理由如下：
如下图，

∵和分别平分和，
∴，，
在和中，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴、、之间的关系为．
类型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型
图1 图2 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。
例3．如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形外角的性质，解题关键是掌握三角形外角的性质．
先利用三角形外角的性质得到，再利用三角形外角的性质求得，代入求出即可．
【详解】解：延长交于点E，
是的一个外角，
，
，
，
是的一个外角，
，
，，
，
，
解得：，
故选：B．
【变式3-1】如下图．等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形外角、三角形内角和的知识，熟练掌握三角形的外角的性质与内角和定理是解题的关键．延长，交于点G，根据三角形外角的性质，得，，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案．
【详解】如图，延长，交于点G，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【变式3-2】已知：，点B、C在的两边上，点P为平面内一点，且，则 ．
【答案】或或
【分析】本题考查了三角形的内角和与三角形的外角性质，全面分类、熟练掌握三角形的内角和与三角形的外角性质是解题的关键；
分三种情况：当点P在的内部时，当点P在的外部时，若点P在上方，当点P在的外部时，若点P在下方，分别画出图形，利用三角形的内角和与三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：当点P在的内部时，如图，延长交于点D，
则，
∴；
当点P在的外部时，若点P在上方，如图，设交于点E，
∵，
∴，
∴；
当点P在的外部时，若点P在下方，如图，设交于点E，
∵，
∴，
∴；
综上：或或；
故答案为：或或．
【变式3-3】【探究】如图①，试说明；
【应用】
（1）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数；
（2）如图③，，，求的度数．
【答案】探究：见解析；应用：（1）；（2）
【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题侧重考查三角形的外角性质及三角形内角和定理．
探究：连结，并延长，如图所示，先由外角的性质得①，②，再由①②即可得出结论；
应用：（1）先由三角形的内角和求出，得到，再由探究的结论得到，代入求值即可；
（2）连结，由探究可知，，即可得到，
【详解】探究：
证明：连结，并延长，如图所示，
是的外角，
①，
是的外角，
②，
①②，得
，
即；
应用：
解：（1），，
，
，
由探究可知；
（2）连结，如图所示．
由探究可知③，
④，
③④，得
，
．
一、单选题
1．如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据三角形内角和定理求出，根据平角的概念计算即可．
【详解】
解：，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于是解题的关键．
2．如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图标记，然后利用三角形的外角性质得，，再利用互为邻补角，即可得答案．
【详解】解：如下图标记，
，
，
，
又，
，
，
，
故选C．
【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键．
3．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=60°，则∠1+∠2=（ ）
A．75° B．120° C．105° D．210°
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠ADE+∠AED，再根据翻折变换的性质可得∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，然后利用平角等于180°列式计算即可得解．
【详解】解：∵∠A=60°，
∴∠ADE+∠AED=180°-60°=120°，
∵△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，
∴∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，
∴∠1+∠2=180°-（∠A′ED+∠AED）+180°-（∠A′DE+∠ADE）=360°-2×120°=120°．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，整体思想的利用求解更简便．
4．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数．
【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图，
∵
∴
同理得
∵
∴
∵
∴
∴
∴,
故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：．
二、填空题
5．如图，将按由小到大的顺序可以排列为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的外角性质，熟知三角形的一个外角大于和它不相邻的任一个内角是解题的关键；
根据三角形的外角性质解答即可．
【详解】解：∵是的外角，
∴，
同理，
∴；
故答案为：．
6．如图， ．
【答案】720°/720度
【分析】连接DH，利用三角形外角性质得∠1=∠A+∠F，∠2=∠3+∠5，再利用四边形内角和等于360°即可求解．
【详解】解：如图，连接DH，
∵∠1=∠A+∠F，∠2=∠3+∠5，∠1+∠2+∠B+∠C=360°
∴∠A+∠F+∠3+∠5+∠B+∠C=360°，
∵∠4+∠6+∠E+∠G=360°，
∴∠A+∠F+∠3+∠5+∠B+∠C +∠4+∠6+∠E+∠G=720°，
∵∠3+∠4=∠BHG，∠5+∠6=∠ADE，
∴∠A+∠F+∠B+∠C+∠E+∠G+∠BHG+∠ADE=720°，
故答案为：720°．
【点睛】本题考查四边形内角和，三角形外角性质，将所求角转化成三角形与四边形的内角，利用四边形内角和定理和三角形外角性质求解是解题的关键．
7．如图，四边形两组对边的延长线分别交于点E，F，，，若与互补，则的度数为 ．
【答案】/40度
【分析】本题主要考查三角形内角和定理和外角的性质，连接，可得，再根据三角形外角性质得，则，然后根据三角形内角和定理有，即，再解方程即可．
【详解】解：连接，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
8．如图，于点，于点，点在线段上，且．、分别平分和，则的度数是 ．
【答案】/45度
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用及角平分线的定义，熟知相关知识点，正确添加辅助线是正确解答此题的关键．
过点作，根据平行公理的推论证明，根据平行线的性质证明，，根据于点，于点，点在线段上，推出，即可求解．
【详解】解：过点作，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
、分别平分和，
，，
，
，
，，
．
三、解答题
9．如图所示，的两边上各有一点，连接，求证．
【答案】见解析
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可．
【详解】解：和是的外角，
．
又，
．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
10．如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP= ，然后利用三角形外角的性质即可得解；
（2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．
【详解】解：（1）∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠PDF=，
∵，
∴，
∴；
（2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，
∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，
∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，
∴∠A+∠C=2∠P，
∵∠A=42°，∠C=38°，
∴∠P=（38°+42°）=40°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．
11．（1）如图①，在凹四边形中，请直接写出与，，之间的数量关系．
（2）根据图②中的条件，利用（1）中你得出的结论计算的度数．
（3）如图③，在中，设，和的平分线，交于点O，过B作的平行线交的延长线于点，试用含的代数式表示．
【答案】（1）；（2）；（3）＝
【分析】本题考查三角形外角的性质和三角形内角和，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
（1） 延长交于点D，利用外角的性质可得，，从而得到；
（2）连接，利用（1）中得出的结论可知：，，两式相加即可得解；
（3）利用角平分线得到，再根据，即可求解．
【详解】解：（1），理由如下：
延长交于点D，如图①：

∵是的外角，
∴．
∵是的外角，
∴，
∴，
即与之间的关系为；
（2）连接，如图②：

根据图②中的条件，利用（1）中得出的结论可知：
，
，
∴，
即；
（3）在中，，
∵和的平分线、交于点O，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即用含的代数式表示的度数为．
12．（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：．
（2）如图（2），分别平分，若．求的度数．
（3）如图（3），直线平分平分的外角，猜想与的数量关系是______；
（4）如图（4），直线平分的外角平分的外角，猜想与的数量关系是______．

【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）；
（4）
【分析】（1）根据三角形的内角和等于和对顶角的性质即可得证；
（2）设，，解方程即可得到答案；
（3）根据直线平分，平分的外角，得到
，从而可以得到，再根据，得到即可求解；
（4）连接,求得，，再根据，，，，即可求解．
【详解】解：（1）如图.
，，
．
，
；
（2）如图.
，分别平分，，设，，
则有，
，
（3）如图.
直线平分，平分的外角，
，，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴，
即．
（4）连接
直线平分的外角，平分的外角，
，，
∵，
∴
同理得到：
∴
∴
∵180°，
∴，
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
13．如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：
(1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果；
②如图3，平分，平分，若，求的度数；
③如图4，的10等分线相交于点，若，求的度数．
【答案】(1)，见解析
(2)①；②；③
【分析】（1）首先连接并延长，然后根据外角的性质，即可判断出；
（2）①由（1）可得，然后根据，，即可求出的值；②由（1）可得，再根据，求出的值；然后根据，即可求出的度数；③设，，结合已知可得，，再根据（1）可得，，即可判断出的度数．
【详解】（1）解：，理由如下：
如图，连接并延长．
根据外角的性质，可得，，
又∵，，
∴，
故答案为：；
（2）①由（1）可得，
∵，，
∴；
②由（1）可得，
∴，
∴，
∴；
③设，，
则，，
则，，
解得，
所以，
即的度数为．
【点睛】此题还考查了三角形的外角的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．
14．模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．
模型应用
（1）直接应用：
①如图2，，则__________；
②如图3，__________；
（2）拓展应用：
①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则__________；
②如图5，、分别为、的10等分线．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则__________；
③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，则__________；
④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为__________．
【答案】（1）①110；②260；（2）①85；②99；③142；④∠B-∠C+2∠D=0
【分析】（1）①根据题干中的等式直接计算即可；
②同理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE，代入计算即可；
（2）①同理可得∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1，代入计算可得；
②同理可得∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A），代入计算即可；
③利用∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-（∠BOC-∠C）计算可得；
④根据两个凹四边形ABOD和ABOC得到两个等式，联立可得结论．
【详解】解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；
②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°；
（2）①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1
=∠BOC-（∠ABO+∠ACO）
=∠BOC-（∠BOC-∠A）
=∠BOC-（120°-50°）
=120°-35°
=85°；
②∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A）
=120°-（120°-50°）
=120°-21°
=99°；
③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）
=180°-（∠BOC-∠C）
=180°-（120°-44°）
=142°；
④∠BOD=∠BOC=∠B+∠D+∠BAC，
∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，
联立得：∠B-∠C+2∠D=0．
【点睛】本题主要考查了新定义—箭头四角形，利用了三角形外角的性质，还考查了角平分线的定义，图形类规律，解题的关键是理解箭头四角形，并能熟练运用其性质．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型三类综合题型
目录
典例详解
类型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型
类型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型
类型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型
压轴专练
类型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型
如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在 ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在 ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在 ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。
例1．如图，从纸片中剪去，得到四边形．如果，那么度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】如图，在中，按图中虚线把角度为的剪去，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.

(1)若，①求的度数；②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数.(2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由；
(3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系.
【变式1-3】【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，与分别为的两个外角，则．
【推理证明】∵与分别为的两个外角，
∴______，______，
∴______．
∵，
∴．
【初步应用】
（1）如图②，在纸片中剪去，得到四边形，若，则的大小为______度．
（2）如图③，在中，、分别为外角、的平分线，则与的数量关系，并说明理由．
【拓展提升】
（3）如图④，在四边形中，、分别为外角、的平分线，若，求的度数．
类型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型
图1 图2 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在 ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在 COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在 ABO中，AB＜AO+BO；在 COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D
例2．如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D
【变式2-1】如图，已知直线、相交于点，，，， ．
【变式2-2】（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则、、、之间的数量关系 ．
（2）在图2中和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ．
【变式2-3】如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”．
(1)求证：；
(2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N．
①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：_________；
②若，，求的度数；
③根据②的结果直接写出，，之间的关系（不需要证明）．
类型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型
图1 图2 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。
例3．如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】如下图．等于（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】已知：，点B、C在的两边上，点P为平面内一点，且，则 ．
【变式3-3】【探究】如图①，试说明；
【应用】
（1）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数；
（2）如图③，，，求的度数．
一、单选题
1．如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=60°，则∠1+∠2=（ ）
A．75° B．120° C．105° D．210°
4．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
5．如图，将按由小到大的顺序可以排列为 ．
6．如图， ．
7．如图，四边形两组对边的延长线分别交于点E，F，，，若与互补，则的度数为 ．
8．如图，于点，于点，点在线段上，且．、分别平分和，则的度数是 ．
三、解答题
9．如图所示，的两边上各有一点，连接，求证．
10．如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
11．（1）如图①，在凹四边形中，请直接写出与，，之间的数量关系．
（2）根据图②中的条件，利用（1）中你得出的结论计算的度数．
（3）如图③，在中，设，和的平分线，交于点O，过B作的平行线交的延长线于点，试用含的代数式表示．
12．（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：．
（2）如图（2），分别平分，若．求的度数．
（3）如图（3），直线平分平分的外角，猜想与的数量关系是______；
（4）如图（4），直线平分的外角平分的外角，猜想与的数量关系是______．

13．如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：
(1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果；
②如图3，平分，平分，若，求的度数；
③如图4，的10等分线相交于点，若，求的度数．
14．模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．
模型应用
（1）直接应用：
①如图2，，则__________；
②如图3，__________；
（2）拓展应用：
①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则__________；
②如图5，、分别为、的10等分线．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则__________；
③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，则__________；
④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为__________．
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