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专题04 全等三角形之一线三等角模型与手拉手模型的二类综合题型
目录
典例详解
类型一、全等三角形模型之一线三等角模型
类型二、全等三角形模型之手拉手模型
压轴专练
类型一、全等三角形模型之一线三等角模型
【常见模型及证法】 1）一线三等角（K型图）模型（同侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB+CD=BC。 2）一线三等角（K型图）模型（异侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB-CD=BC。 1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2）（异侧型）证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。
例1．（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由．
【变式1-1】在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度；
(2)求证：DE=CD+BE；
(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
【变式1-2】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到_________，推理依据是___________．进而得到_________，_________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
(2)如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点；
(3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由．
类型二、全等三角形模型之手拉手模型
1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
例2．问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______．
拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
【变式2-1】如图，在中，，在中，，连接．试说明：．
【变式2-2】在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接
(1)如图1，点D在线段上，如果，则______度：
(2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由；
(3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由．
【变式2-3】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．
（1）操作发现
如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为　 　；线段BD、AB、EB的数量关系为　 　；
（2）猜想论证
当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；
（3）拓展延伸
若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．

一、单选题
1．如图，，点E在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图中，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是( )

A．50 B．44 C．38 D．32
二、填空题
3．如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ．
4．如图，A，C，B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，，分别与，交于点，，有如下结论：①；②；③；④其中正确结论的是（填序号） ．
三、解答题
5．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型；
(2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：．
6．（1）如图1，已知，，易得.如图2，，，，且，，试问的数量关系，并写出其证明过程.
（2）如图3，在中，，，点D是直线上的任意一点（不与点B、C重合），连接，过点D在的右侧作，且，连接，直接写出的度数.
7．【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点在同一条直线上，连接，容易发现：线段，之间的数量关系为 ;②的度数为 ．
【探究发现】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一条直线上，连接．试探究线段，，之间的数量关系及的度数，并说明理由．
【问题解决】（3）如图3，，，，，请直接写出的值．
8．如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N．
(1)试说明：；
(2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由.
(3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长．
9．综合与实践
(1)操作判断
飞跃组在学习了三角形全等后展开了探究性学习活动． 如图1，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E．由此得到结论：，，之间的数量关系是 ．
(2)开放探究
无敌组的同学们提出了如下的问题：如果三个角不是直角，那么结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请给出合理的解释．
(3)拓展应用
如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：．
10．综合与实践：
【问题情境】
(1)八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是______；
【变式思考】
(2)如图2，和都是等腰直角三角形，．若，，则四边形面积的最大值是______；
【拓展运用】
(3)如图3，在等腰直角三角形中，，是边上一点，连接，以为边向上作等腰直角三角形且，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题04 全等三角形之一线三等角模型与手拉手模型的二类综合题型
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典例详解
类型一、全等三角形模型之一线三等角模型
类型二、全等三角形模型之手拉手模型
压轴专练
类型一、全等三角形模型之一线三等角模型
【常见模型及证法】 1）一线三等角（K型图）模型（同侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB+CD=BC。 2）一线三等角（K型图）模型（异侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB-CD=BC。 1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2）（异侧型）证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。
例1．（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析
【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）
【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；
（2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE；
【详解】（1）DE=BD+CE．理由如下：
∵BD⊥，CE⊥，
∴∠BDA=∠AEC=90°
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（2），理由如下：
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴BD+CE=AE+AD=DE；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
【变式1-1】在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度；
(2)求证：DE=CD+BE；
(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
【答案】(1)90°
(2)见解析
(3)CD= BE + DE，证明见解析
【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到90°；
（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE．
（3）同（2）易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE = AD +DE，所以 CD= BE + DE．
【详解】（1）∵∠BAC=90°
∴ ∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°
故答案为：90°．
（2）证明：∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E
∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°
∵ ∠DAC+∠DCA=90°且 ∠DAC+∠EAB=90°
∴ ∠DCA=∠EAB
∵在△DCA和△EAB中
∴△DCA≌△EAB (AAS)
∴ AD=BE且EA=DC
由图可知：DE = EA+AD = DC+BE．
（3）∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E
∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°
∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°
∴ ∠DCA=∠EAB
∵在△DCA和△EAB中
∴△DCA≌△EAB (AAS)
∴ AD=BE且AE=CD
由图可知：AE = AD +DE
∴ CD= BE + DE．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．
【变式1-2】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到_________，推理依据是___________．进而得到_________，_________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
(2)如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点；
(3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)，，，
(2)见解析
(3)，理由见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键．
（1）通过证明，再根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答；
（2）作，利用“K字模型”的结论可得，故可推出，再证即可证明结论；
（3）作，利用“K字模型”的结论可得，进一步可证即可求解．
【详解】（1）解：∵过点B作于点C，过点D作于点E．
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：，，，．
（2）证明：如图：作，
由“K字模型”可得：
∴，
，
∵，
∴，
∴，即：点G是的中点．
（3）解：，理由如下：
如图：作，
∵四边形和为正方形，
∴，
由“K字模型”可得：，
，，
，
∴
，
∴∴．
类型二、全等三角形模型之手拉手模型
1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
例2．问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______．
拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
【答案】问题发现：，；拓展探究：成立，理由见解析
【分析】问题发现：根据题目条件证△ACE≌△DCB，再根据全等三角形的性质即可得出答案；
拓展探究：用SAS证，根据全等三角形的性质即可证得．
【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示：
∵，
∴，
又∵,
∴（SAS），
，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
故答案为：，；
拓展探究：成立．
理由如下：设与相交于点，如图1所示：
∵，
∴，
又∵，，
∴（SAS），
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，依然成立．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解决本题的关键．
【变式2-1】如图，在中，，在中，，连接．试说明：．
【答案】见解析
【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、用SAS证明三角形全等（SAS）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．先根据余角的性质得出，再根据“”证明三角形全等即可．
【详解】解：因为，
所以，
所以，
所以，
在与中，
所以．
【变式2-2】在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接
(1)如图1，点D在线段上，如果，则______度：
(2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由；
(3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－旋转模型，掌握该模型的相关结论是解题关键．
（1）证即可求解；
（2）证即可求解；
（3）证即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
即：，
∵，，
∴
∵，，
故答案为：
（2）解：，理由如下：
，
，
又，
，
即：，
在和中，，
；
（3）解：（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由如下：
如图所示：
，
，
即：，
在和中，，
又，
．
【变式2-3】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．
（1）操作发现
如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为　 　；线段BD、AB、EB的数量关系为　 　；
（2）猜想论证
当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；
（3）拓展延伸
若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．

【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）图2中BE＝AB+BD，图3中，BD＝AB+BE，证明见解析；（3）72或2
【分析】（1）首先通过SAS证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质和等量代换即可得出答案；
（2）仿照（1）中证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质即可得出结论；
（3）首先求出BE的长度，然后利用S△AED AD EB即可求解．
【详解】解：（1）如图1中，

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠CBA＝45°，
∴∠CBE＝∠A＝45°，
∴ABE＝90°，
∴AB⊥BE，
∵AB＝AD+BD，AD＝BE，
∴AB＝BD+BE，
故答案为AB⊥BE，AB＝BD+BE．
（2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD．

理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
∵AD＝AB+BD，AD＝BE，
∴BE＝AB+BD．
②如图3中，结论：BD＝AB+BE．

理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD＝BE，
∵BD＝AB+AD，AD＝BE，
∴BD＝AB+BE．
（3）如图2中，∵AB＝5，BD＝7，
∴BE＝AD＝5+7＝12，
∵BE⊥AD，
∴S△AED AD EB12×12＝72．
如图3中，∵AB＝5，BD＝7，
∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，
∵BE⊥AD，
∴S△AED AD EB2×2＝2．
【点睛】本题主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性质并分情况讨论是关键．
一、单选题
1．如图，，点E在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角，先证明，再利用可证明得到，利用三角形内角和定理可证明，据此根据等边对等角和三角形内角和定理可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
如图所示，设交于O，
∵，，
，
∴，
∵，，
∴，
故选：C．
2．如图中，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是( )

A．50 B．44 C．38 D．32
【答案】D
【分析】由已知和图形根据“K”字形全等，用AAS可证△FEA≌△MAB，△DHC≌△CMB，推出AM=EF=6，AF=BM=3， CM=DH=2，BM=CH=3，从而得出FH=14，根据阴影部分的面积=S梯形EFHD-S△EFA-S△ABC-S△DHC和面积公式代入求出即可．
【详解】∵AE⊥AB，EF⊥AF，BM⊥AM，

∴∠F=∠AMB=∠EAB=90°，
∴∠FEA+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAM=90°，
∴∠FEA=∠BAM，
在△FEA和△MAB中
，
∴△FEA≌△MAB（AAS），
∴AM=EF=6，AF=BM=3，
同理CM=DH=2，BM=CH=3，
∴FH=3+6+2+3=14，
∴梯形EFHD的面积===56，
∴阴影部分的面积=S梯形EFHD-S△EFA-S△ABC-S△DHC
=
=32．
故选D．
【点睛】本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积．
二、填空题
3．如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ．
【答案】3
【分析】过点作交延长线于点，先证明，则，然后根据求即可．
【详解】解：过点作交延长线于点，
则∠DMC=90°=∠ABC，
，，
，，
，
，
，
，
，
．
故填．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积，正确作出辅助线、构造全等三角形证得成为解答本题的关键．
4．如图，A，C，B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，，分别与，交于点，，有如下结论：①；②；③；④其中正确结论的是（填序号） ．
【答案】①②④
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；灵活运用相关判定定理和性质定理是解题的关键．
根据等边三角形的性质可得、，，再说明，即可证明，即可判断①；然后可得，再分别表示出和，即可判定②正确；求出，证明可判定③；由可得，然后结合可得，可判定④．
【详解】解：∵和均为等边三角形，
∴，
∴，即，
∴，故①正确；
∴，
∵，，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴即③错误；
∵，
∴，
∴，即，则④正确．
综上，正确结论的是①②④．
故答案为：①②④．
三、解答题
5．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型；
(2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：．
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】本题考查一线三直角全等问题，
（1）由，得，则，而，即可证明，得，，于是得到问题的答案；
（2）作于点，因为于点，于点，所以，由（1）得，因为，所以，则，而，即可证明，得，所以，再证明，则．
【详解】（1））解：于点，于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
故答案为：，．
（2）证明：如图2，作于点，
∵于点，于点E，
∴，
由，
同理（1）得，
∴，
在和中，
∴，
∴．
6．（1）如图1，已知，，易得.如图2，，，，且，，试问的数量关系，并写出其证明过程.
（2）如图3，在中，，，点D是直线上的任意一点（不与点B、C重合），连接，过点D在的右侧作，且，连接，直接写出的度数.
【答案】（1），证明见解析；（2）或
【分析】（1）过点作于点，证明，，推出，，等量代换可得；
（2）分三种情况：点D在线段上，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，参照（1）中方法，通过作辅助线构造全等三角形，即可求解．
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，注意分情况讨论是解题的关键．
【详解】（1）解：.
证明：过点作于点，
，
，，
，
在和中，
，
，
同理可证，，
，，
.
（2）解：当点D在线段上时，过点E作，交的延长线于点F，
由（1）可知，
，，
，
，
，
，
，
；
当点在线段的延长线上时，过点作，交的延长线于点，
同理可得，
，，
，
，
，
，
，即；
当点在线段的延长线上时，过点作于点，
同理证得，
，，
，
，
，
，
.
综上可得的度数为或
7．【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点在同一条直线上，连接，容易发现：线段，之间的数量关系为 ;②的度数为 ．
【探究发现】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一条直线上，连接．试探究线段，，之间的数量关系及的度数，并说明理由．
【问题解决】（3）如图3，，，，，请直接写出的值．
【答案】（1）①；②；（2）,，见解析；（3）8
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是根据全等三角形的性质找边和角之间的关系．
（1）根据等边三角形的性质可知，，，利用可证，根据全等三角形的性质可得、；
（2）根据等腰直角三角形的性质可得，，利用利用可证，根据全等三角形的性质可得，从而可得，根据全等三角形对应角相等，可知，从而可得；
（3）过点作交于点，由知，根据全等三角形的性质可得，，从而可知，利用勾股定理可得．
【详解】（1）①解：和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中
,
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：，；
（2）,.
理由如下：∵和均为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中
,
∴，
∴，，
∵,
∴，
∴，
∴，
∴；
(3)如图所示，过点A作交于点F，
由（2）知，
∴，，
又∵，
∴，
在中，，
，
∴.
8．如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N．
(1)试说明：；
(2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由.
(3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长．
【答案】(1)见解析
(2)成立，见解析
(3)8
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，一线三等角模型证明全等，解题关键是熟悉一线三等角模型．
（1）先证明，再根据全等三角形的性质得出，，从而根据，可得；
（2）先判定成立，再说理由，先证明，再根据全等三角形的性质得出，，结合，可得；
（3）先证明，再根据全等三角形的性质得出，，根据，，，可求得．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴
∴
∴，
又，
，
，，
，
；
（2）成立，
理由：，，
，
又∵，，
，
，，
又，
；
（3），，，
，
又，，
，
，，
，，，
．
9．综合与实践
(1)操作判断
飞跃组在学习了三角形全等后展开了探究性学习活动． 如图1，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E．由此得到结论：，，之间的数量关系是 ．
(2)开放探究
无敌组的同学们提出了如下的问题：如果三个角不是直角，那么结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请给出合理的解释．
(3)拓展应用
如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：．
【答案】(1)
(2)（1）中的结论成立．证明见解析
(3)证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题关键．
（1）先证明出，得出、，再根据线段的和差即可得到数量关系；
（2）证明，得出、，再根据线段的和差即可得到数量关系；
（3）如图，过点作于，的延长线于．同（1）可证、可得、、；再证明可得．
【详解】（1）解：直线，直线，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
．
故答案为：；
（2）解：仍然成立，证明如下：
，
，
，
在和中，
，
，
，，
．
（3）证明：如图，过点作于，的延长线于．
同（1）可得，，
∴，
在和中，
，
，
．
10．综合与实践：
【问题情境】
(1)八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是______；
【变式思考】
(2)如图2，和都是等腰直角三角形，．若，，则四边形面积的最大值是______；
【拓展运用】
(3)如图3，在等腰直角三角形中，，是边上一点，连接，以为边向上作等腰直角三角形且，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)
(3)，证明见解析
【分析】本题实质属于手拉手模型，主要考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形和等腰三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）利用等边三角形的性质得到，，，再利用全等三角形判定定理证出，即可得出结论；
（2）连接和交于点，和交于点，利用等腰直角三角形的性质证出，得到，，进而得到，得出四边形面积，再利用线段的性质求出的最大值，即可求出四边形面积的最大值；
（3）延长至使得，连接，先证出，得到，，再通过证明得到，最后利用线段的和差即可得出结论．
【详解】（1）解：和都是等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
，
．
故答案为：．
（2）解：如图，连接和交于点，和交于点，
和都是等腰直角三角形，
，，
，
，即，
在和中，
，
，
，，
又，
，
，
四边形面积，
，
，
四边形面积的最大值是．
故答案为：．
（3）解：，证明如下：
如图，延长至使得，连接，
等腰直角三角形，
，
，，，
，
，，，
，
等腰直角三角形且，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，
．
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