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专题04 全等三角形之倍长中线模型与截长补短模型的二类综合题型
目录
典例详解
类型一、全等三角形模型之倍长中线模型
类型二、全等三角形模型之截长补短模型
压轴专练
类型一、全等三角形模型之倍长中线模型
1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS）
例1．如图，在中，平分，E为的中点，．求证：．
【变式1-1】老师在某节数学课上提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：
①延长中线至点Q，使得；
②连接，把集中在中；
③利用三角形的三边关系，可得．
请根据该小组的方法思考，回答下列问题：
(1)直接写出的取值范围是___________；
(2)解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑“倍长中线”，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
如图2，是的中线，，，，用等式表示和的数量关系并证明．
【变式1-2】【发现问题】
（1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图1，在中，，．是的中线，求的取值范围．
【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形
【问题解决】
（2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是________．
①；②；③；④
【问题拓展】
（3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，试说明：；
（4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，则的面积是________．
类型二、全等三角形模型之截长补短模型
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。 【常见模型及证法】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等
例2．如图，交于，交于平分平分，直线经过点并与分别交于点．

(1)如图①，求证：；
(2)如图②，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，直接写出三条线段的数量关系．
【变式2-1】阅读下面文字并填空：
数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”．
李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立．
请仿照上题方法解决以下问题：
变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由．
【变式2-2】如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，．
(1)求证：；
(2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由．
一、单选题
1．中，是边上的中线，若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
2．如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（ ）
A．3 B．2 C．1.5 D．
二、填空题
4．如图，已知在中，平分，，则 . （用含的代数式表示）.
5．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ．
6．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是 ．
三、解答题
7．如图，、分别平分、，交于E点．
(1)如图1，求的度数．

(2)如图2，过点E的直线分别交、于B、C，猜想、、之间的存在的数量关系：_______．

(3)试证明（2）中的猜想．
．即．
8．阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：．
(1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等）
(2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长．
9．（1）方法呈现：
如图①：在中，若，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于F，连接，判断与的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中， ，与的延长线交于点F、点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明．
10．【综合探究】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小军在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接．
（1）【探究发现】图1中，由已知和作图能得到的理由是 ．
A． B． C． D．
（2）【初步应用】如图2，在中，若，，求得的取值范围是________．
A． B． C． D．
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
（3）【问题解决】如图3，分别以和为边作等腰直角三角形，即在中，，，在中，，，连接，试探究与的数量关系，并说明理由．
提示：．延长到，使，连接，根据（，，）证明，得，又因为，所以．
11．综合与探究
[问题情境]
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题，如图（），在四边形中，平分，于点，且．
求证：
小明是这样思考的：因为平分，根据角平分线的性质，
所以过点作的延长线于点，先证明，再证明，即可证出，
小丽是这样思考的：根据截长补短的方法，延长至，使，连接，先证明，再证明，即可证出．请你帮助小明或小丽完成证明过程．
[实践探究]
（2）老师总结了他们的证明方法，有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线，帮助我们完成证明过程．老师又出示了一个问题．如图（），在中，点为的中点，交于．
①求证：；
②求证：．
12．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
【初步探索】
（1）如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围．以下两位同学是这样思考的：
小聪：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．
小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．
在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_____；中线的取值范围是_____．
【灵活运用】（2）如图2，在中，点是的中点，，其中，连接，试判断与的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在五边形中，，，，为边上的中线．
①求证：；②若，，则五边形的面积为_____．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题04 全等三角形之倍长中线模型与截长补短模型的二类综合题型
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典例详解
类型一、全等三角形模型之倍长中线模型
类型二、全等三角形模型之截长补短模型
压轴专练
类型一、全等三角形模型之倍长中线模型
1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS）
例1．如图，在中，平分，E为的中点，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形：延长至点，使，证明，得到，再证明，即可得出结论．
【详解】证明：延长至点，使，连接，则：，
∵E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
【变式1-1】老师在某节数学课上提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：
①延长中线至点Q，使得；
②连接，把集中在中；
③利用三角形的三边关系，可得．
请根据该小组的方法思考，回答下列问题：
(1)直接写出的取值范围是___________；
(2)解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑“倍长中线”，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
如图2，是的中线，，，，用等式表示和的数量关系并证明．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等腰直角三角形，关键是“倍长中线”，构造全等三角形．
（1）延长中线至点Q，使；连接，得到，判定，推出，由三角形三边关系定理得，即可得到，
（2）延长到K，使，连接，得到，判定，即可解决问题．
【详解】（1）解：如图1，延长中线至点Q，使；连接，
∴，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
由三角形三边关系定理得：，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）如图2，，理由如下：
延长到K，使，连接，
∴，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式1-2】【发现问题】
（1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图1，在中，，．是的中线，求的取值范围．
【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形
【问题解决】
（2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是________．
①；②；③；④
【问题拓展】
（3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，试说明：；
（4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，则的面积是________．
【答案】（1）；（2）②④；（3）见解析；（4）
【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解；
（2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，即可求解；
（3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得结论；
（4）由全等三角形的性质可得，，，由三角形的面积公式可求解．
【详解】（1）解：如图1中，延长至点，使．
在和中，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图2，延长至，使，连接，
是中线，
，
又，，
，
，，
，，
，
为中线，
，
，
，
又，
，
，，
，
∴正确选项的序号是：②④；
（3）证明：如图3，延长至，使，连接，
是的中点，
，
又，，
，
，，
，
，
与互补，
，
，
又，，
，
，
；
（4），，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，平行线的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
类型二、全等三角形模型之截长补短模型
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。 【常见模型及证法】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等
例2．如图，交于，交于平分平分，直线经过点并与分别交于点．

(1)如图①，求证：；
(2)如图②，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，直接写出三条线段的数量关系．
【答案】(1)见解析；
(2)（1）中结论不成立，；
【分析】（1）在上截取，连，根据题意证明，得到，，再由证明，由平角定义得到，则有，再证明，得到，则；
（2）延长交于点H，根据题意证明，得到，，再由平分，证明，得到，则．
【详解】（1）证明：如图，在上截取，连，

∵平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵
∴，即，
∵平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
（2）（1）中的结论不成立，；
理由：延长交于点H，

∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及全等三角形的性质和判定，解答过程中，根据题意做出辅助线构造全等三角形是解题关键．
【变式2-1】阅读下面文字并填空：
数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”．
李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立．
请仿照上题方法解决以下问题：
变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由．
【答案】；；；；；；变式应用：．理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线．按照题干的要求填空即可；变式应用：在上截取，连接，求得，证明，得到，，得到，证明，得到，据此求解即可．
【详解】解：如图2，在上截取，连接，
只要证即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出，得出及，再证出，进而得出，则结论成立．
故答案为：；；；；；；
变式应用：．理由如下：
在上截取，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式2-2】如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，．
(1)求证：；
(2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)不成立，，理由见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握利用半角模型去截长补短是解题的关键．
（1）延长至点，使，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明；
（2）在上截取，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明．
【详解】（1）证明：如图，延长至点，使，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，在上截取，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：．
一、单选题
1．中，是边上的中线，若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的应用，三角形三边关系的应用．延长到，使，连接，根据两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可求解．
【详解】解：延长到，使，连接，如图：
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故选： A．
2．如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在线段AC上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四边形的周长．
【详解】解：在线段AC上作AF=AB，
∵AE是的平分线，
∴∠CAE=∠BAE，
又∵AE=AE，
∴△AEF≌△AEB（SAS），
∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，
∵AB∥CD，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠AFE+∠CFE=180°，
∴∠D=∠CFE，
∵，
∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°，
∴∠CEF=∠CED，
在△CEF和△CED中
∵,
∴△CEF≌△CED（AAS）
∴CD=CF，
∴四边形的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判断．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
3．如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（ ）
A．3 B．2 C．1.5 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的面积，全等三角形的性质和判定，延长，交于点G，构造，利用三角形中线的性质得出，进而求出，再由求出答案．
【详解】解：延长，交于点G，
∵在长方形中，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题
4．如图，已知在中，平分，，则 . （用含的代数式表示）.
【答案】a-b
【分析】在CB上截取CA′=CA，连接DA′，根据SAS证明△ADC≌△A′DC，根据△ADC≌△A′DC，得出DA′=DA，∠CA′D=∠A，再证明DA′=A′B即可解决问题.
【详解】在CB上截取CA′=CA，连接DA′，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠A′CD，
在△ADC和△A′DC中， ，
∴△ADC≌△A′DC（SAS），
∴DA′=DA，∠CA′D=∠A，
∵∠A=2∠B，∠CA′D=∠B+∠A′DB，
∴∠A′DB=∠B，
∴BA′=A′D=AD，
∴BC=CA′+BA′=AC+AD
∴AD=BC-AC=a-b，
故答案为：a-b.
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
5．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，延长到使，连接，通过，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，推出即可得解决问题．
【详解】解：如图，延长到使，连接，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
，
．
，
，即，
，
故答案为：．
6．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是 ．
【答案】120°
【分析】延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N，要使得△AMN的周长最小，则三角形的三边要共线，根据∠BAD=120°和△AMN的内角和是180°即可列出方程求解．
【详解】解：延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N
如图所示，此时△AMN的周长最小
∵∠ABM=90°
∴∠EBM=90°
在△AMB和△EMB中
∴△AMB≌△EMB
∴∠BEM=∠BAM
∴∠AMN=2∠BAM
同理可得：△AND≌△FDN
∴∠NAD=∠NFD
∴∠ANM=2∠NAD
设∠BAM=x，∠MAN=z，∠NAD=y
∵∠BAD=120°
∴
解得：
即∠AMN+∠ANM=2×60°=120°．
故答案为：120°．
【点睛】本题主要考查的是三角形周长最小的条件，涉及到的知识点为全等三角形的判定及性质、三角形内角和的应用，正确添加合适的辅助线是解题的关键．
三、解答题
7．如图，、分别平分、，交于E点．
(1)如图1，求的度数．

(2)如图2，过点E的直线分别交、于B、C，猜想、、之间的存在的数量关系：_______．

(3)试证明（2）中的猜想．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，，利用三角形内角和定理整体计算即可；
（2）根据图形猜想即可；
（3）在上截取，连接，证明得到，进一步推出，再证明，可得，进而证明．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵、分别平分、，
∴，，
∴
；
（2）猜想：；
（3）
证明：在上截取，连接．

平分，
．
在和中，
，，，
，
．
，
，
又，
．
平分，
．
在和中，
，，，
，
，
．即．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、平行线的性质，关键是添加辅助线，构建对应全等三角形，使问题得以解决．
8．阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：．
(1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等）
(2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)的长为14
【分析】（1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义得出，利用证明，从而可得，，再利用三角形外角的性质可得，从而可得，推出，进而得出，即可得证；
（2）在上截取，连接，由三角形内角和定理可得，证明得出，再证明得出，求出，即可得解．
【详解】（1）证明：在上截取，使得，连接，
平分，
∴，
，
∴，
，，
∵，
，
是的一个外角，
，
，
，
，
，
；
（2）解：在上截取，连接，
，，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长为14．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
9．（1）方法呈现：
如图①：在中，若，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在中，点D是的中点，于点D，交于点E，交于F，连接，判断与的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形中， ，与的延长线交于点F、点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析
【分析】（1）由已知得出，即，为的一半，即可得出答案；
（2）延长至点，使，连接，，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论；
（3）延长，交于点，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论．
本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键．
【详解】解：（1）如图①，延长到点，使，连接，
是的中点，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：；
（2），理由如下：
延长至点，使，连接、，如图②所示．
同（1）得：，
，
，，
，
在中，由三角形的三边关系得：
，
；
（3），理由如下：
如图③，延长，交于点，
，
，
在和中，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
．
10．【综合探究】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小军在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接．
（1）【探究发现】图1中，由已知和作图能得到的理由是 ．
A． B． C． D．
（2）【初步应用】如图2，在中，若，，求得的取值范围是________．
A． B． C． D．
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
（3）【问题解决】如图3，分别以和为边作等腰直角三角形，即在中，，，在中，，，连接，试探究与的数量关系，并说明理由．
提示：．延长到，使，连接，根据（，，）证明，得，又因为，所以．
【答案】（1）B；（2）C；（3），理由见解析
【分析】（1）由是边上的中线，得出，结合，，可利用证明，得出答案即可；
（2）延长到，使，连接，得出，由（1）得，得出，再根据三角形的三边关系得出答案即可；
（3）延长到，使得，连接，由（1）得，得，，推出，得出，进一步推出，利用证明，得出，结合，进一步推出即可．
【详解】解：（1）是边上的中线，
，
在和中，
，
，
由已知和作图能得到的理由是，
故选：B；
（2）如图，延长到，使，连接，
，
由（1）得，
，
在中，，
，
，
，
故选：C；
（3），理由如下：
如图，延长到，使得，连接，

由（1）得，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、倍长中线模型、三角形的三边关系、平行线的判定与性质，灵活运用知识点推理证明是解题的关键．
11．综合与探究
[问题情境]
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题，如图（），在四边形中，平分，于点，且．
求证：
小明是这样思考的：因为平分，根据角平分线的性质，
所以过点作的延长线于点，先证明，再证明，即可证出，
小丽是这样思考的：根据截长补短的方法，延长至，使，连接，先证明，再证明，即可证出．请你帮助小明或小丽完成证明过程．
[实践探究]
（2）老师总结了他们的证明方法，有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线，帮助我们完成证明过程．老师又出示了一个问题．如图（），在中，点为的中点，交于．
①求证：；
②求证：．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析．
【分析】（1）根据题干所给证明方法完善证明过程即可得解；
（2）①由得，由，，根据同角的余角相等即可得解；②过作交的延长线于点，则，进而得，证明，得，，再证明得，即可得证．
【详解】（1）证明∶小明∶过点作的延长线于点，
∵平分，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
，
∴；
小丽∶延长至，使，连接，
∵，
∴，
∵平分
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）①∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②过作交的延长线于点，
∴，
∴，
∴，
，
，
∵，，，
∴，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，中点定义，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
12．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
【初步探索】
（1）如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围．以下两位同学是这样思考的：
小聪：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．
小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．
在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_____；中线的取值范围是_____．
【灵活运用】（2）如图2，在中，点是的中点，，其中，连接，试判断与的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在五边形中，，，，为边上的中线．
①求证：；②若，，则五边形的面积为_____．
【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）①证明见解析；②
【分析】（1）延长至，使， 连接，如图所示，证明得出， 在中， 由三角形的三边关系即可得出结论；
（2）延长至， 使， 连接， 如图所示，由（1）得：， 由全等三角形的性质得出， 得到， 证明得出， 则；延长交于， 证明即可得出结论；
（3）①延长，交于点，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，根据垂直的定义证明即可；②根据全等三角形的性质得到，求出的面积，结合图形计算．
【详解】（1）解：延长至，使， 连接，如图所示：
∵是边上的中线，，
∴，
在和中，
，
，
，
在中，由三角形三边关系可得，
∴， 即，
，
故答案为： ；；
（2）解：，，
理由如下：
延长至， 使， 连接，如图所示：
由（1）得：，
，，
，
，
即，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
延长交于，如图所示：
，
，
，
，
，即；
（3）①证明：延长，交于点，如图所示：
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，即
，
；
②解：由①可知，，
，
，
，
，
，
五边形的面积
，
故答案为：．
【点睛】本题是三角形全等综合题，考查全等三角形的判定与性质、三角形倍长中线模型、三角形的三边关系、三角形内角和定理、角的和差关系、垂直判定与性质等知识， 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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