资源简介

(共30张PPT)
12.11勾股定理
1.经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程,了解勾股定理的探 究方法及其内在联系.
2.掌握勾股定理,初步理解割补、拼接的面积证法.
3.通过猜想、验证、证明等操作深刻感受数学知识的发生发展
过程.
学习目标
观察思考 大胆猜想
一次关系：
二次关系：
不成立
a2+b2=c2
a2-b2=c2
ab、ac、bc之间存在某种关系
怕学生只说一个a2+b2=c2
你想先验证哪一个呢？
看见平方的形式一般会想到图形的------面积（学生说）ppt出现三个正方形面积，那你知道这三个面积有什么关系吗？
观察思考 大胆猜想
　　国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术
会议．2002年在北京召开了第24届国际数学家大会．如
图就是大会的会徽的图案．
创设情境　引入课题
　　问题1　你见过这个图案吗？
它由哪些基本图形组成？
　　追问　由这三个正方形
A，B，C的边长构成的等腰
直角三角形三条边长度之间
有怎样的特殊关系？
创设情境　引入课题
问题2　三个正方形A,B,C 的面积有什么关系？　　
我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如右图）：
A
B
C
　　追问　正方形A、B、C
所围成的直角三角形三条边
之间有怎样的特殊关系？
探究勾股定理
　　问题3　在网格中的一般的直角三角形，以它的三
边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积
关系？
A　
B　
C　
一直角边2
另一直角边2
斜边2
+
=
这两幅图中A,B的面积都好求，该怎样求C的面积呢？
接着上边的问题　在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：
左图：
右图：
方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：
左图：
右图：
你还有其他办法求C的面积吗？
根据前面求出的C的面积直接填出下表：
A的面积 B的面积 C的面积
左图
右图
4
13
25
9
16
9
思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
由上面的几个例子，我们猜想：
a
b
c
a
b
b
c
a
b
c
a
证法: 让我们看看我国汉代数学家赵爽的拼图,再用所拼的图形证明命题吧.
a
b
c
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
赵爽弦图
b-a
证明：
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
小组合作：将4个完全相同的直角三角形，拼一拼，摆一摆，尝试拼出一个以斜边为边长的正方形.
要求：
1、做好标记，短的直角边标记为a，长的直角边标
记为b,斜边标记为c；
2、利用不同的方法求正方形的面积；
3、交流讨论并组织语言描述你们小组的验证过程.
验证猜想
已知：直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，
求证：a2+b2=c2
∵S大正方形＝(a+b)2,
∵S小正方形＝c2,
∴S小正方形＝S大正方形-4·S三角形
证明：
验证猜想
已知：直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，
求证：a2+b2=c2
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
证明：
证明猜想
符号语言：
勾股定理
文字语言：
归纳整理
分别以5cm、12cm为直角三角形的直角边作出一个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立.
13
5
12
A
B
C
做一做
总结归纳
几何语言：
在Rt△ABC中 ，∠C=90°，
则a2+b2=c2（勾股定理）.
a
A
B
C
b
c
∟
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
　直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2．
勾股定理
数学小史
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦， “勾股定理”因此而得名. （毕达哥拉斯定理）
求下列直角三角形中未知边的长:
同步训练
例1 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.
A
D
B
C
3
4
典例精析
利用勾股定理进行计算
北京师范大学出版社 八年级 | 上册
当高AD在△ABC内部时，如图①.
△ABC的周长为25＋20＋15＝60.
例2 在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，则△ABC的周长为 ．
当高AD在△ABC外部时，如图②.
△ABC的周长为7＋20＋15＝42.
综上所述，△ABC的周长为42或60.
42或60
初步应用定理
练习1　求图中字母所代表的正方形的面积．　　
A　
A　
A　
Ｂ　
225
144
80
24
17
8
初步应用定理
　　练习2　如图，所有的三角形都是直角三角形，四
边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D 的边长分别
是12，16，9，12．求最大正方形E 的面积．
A
B
C
D
E
初步应用定理
　　通过这种方法，可以把一个正方形的面积分成若干　
个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一　
棵美丽的勾股树．
初步应用定理
练习3　求下列直角三角形中未知边的长度．　　
A
B
C
4
6
x
C
B
A
5
10
x
1）.下列说法中,正确的是 （ ）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
C
2）.在△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=15，b=8，则c= .
（2）若c=13，b=12，则a= .
3）.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长
的平方为_________.
17
5
74或24
练习3
求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm.
由勾股定理得152+ x2 =172，
即x2=172-152=289–225=64，
∴ x=±8（负值舍去），
∴另一直角边长为8 cm，
直角三角形的面积是
(cm2).
练习4

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