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3.3　探索与表达规律
第1课时　探索数字规律与图形规律
一、选择题
1．按规律排列的一组数据：，，□，，，，…其中□内应填的数是( )
A． B． C． D．
2．按一定规律排列的单项式：2， ，,,， ，则第 个单项式是( )
A. B. C. D.
3．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，则第个图中黑色正方形纸片的张数为( )
A．2n B．3n－1 C．2n－1 D．2n＋1
4．计算3的正整数次幂：； ；；；；； ；； ，归纳各计算结果中的个位数字规律，可得 的个位数字为( )
A. 1 B. 3 C. 7 D. 9
5．用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是( )
A．39 B．44 C．49 D．54
6．将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表，小明在数表上圈出了a，b，c，d四个数，并求出了它们的和为234，这4个数在数表中的排列位置可能是( )
7．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图所示．则第5个方框中最下面一行的数可能是( )
A．1 296 B．2 809 C．3 136 D．4 225
8．如图，在边长为1的正方形网格纸中连接相邻格点构造“回形线”，“回形线”交射线 于点，，， ，.从点到点的“回形线” 记为第1圈，其长度为7，从点到点的“回形线”记为第2圈，其长度为15， , 依次类推，则“回形线”第 圈的长度有可能是( )
A. 99 B. 144 C. 480 D. 799
9．已知有序整式串：， ，对其进行如下操作：
第1次操作：用第一个整式减去第二个整式得到一个整式，将得到的整式作为新整式串的第一项，即得到新整式串：，， ；
第2次操作：用第一个整式减去第二个整式得到一个整式，将得到的整式作为新整式串的第一项，即得到新整式串：，，， ；
依次进行操作.下列说法：
①第3次操作后得到的新整式串为，， ，， ；
②第11次操作后得到的新整式串各项之和与第22次操作后得到的新整式串各项之和相等；
③第2 025次操作后得到的新整式串各项之和为 .
其中正确的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题
10．－1，2，－3，4，－5，6，…根据你发现的规律，第n个数是______________．
11．按一定规律排列的单项式：5a，8a2，11a3，14a4，…则第n个单项式为_________．(用含有n的代数式表示)
12．观察这组数：，，，，，…它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是__________________.
13．如图，这是由一些小棒搭成的图案，图①用了5根小棒，图②用了9根小棒，图③用了13根小棒，…按照这种方式摆下去，图 用了2025根小棒，则n＝_____________．
14．如图，这是某月的月历，用带阴影的方框恰好框住四个数．若这样的阴影方框可以任意移动，且框住这张月历表中的4个数，设a表示的数是x，则这4个数的和为_______．(用含x的代数式表示)
15．将全体正偶数排成一个三角形数阵，按照如图排列的规律，则第10行从左向右的第3个数是____________．
16．用火柴棍拼成如图图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，……若按此规律拼下去，则第个图案需要火柴棍的根数为______________．(用含n的代数式表示)
三、解答题
17．下列数阵是由50个偶数按照5×10排成的，框内有四个数．
(1)猜测：图中框内四个数之和与数字4有什么关系？
(2)在数阵中任意画一个类似于(1)中的框，设左上角的数为x，那么怎样表示其他三个数？
(3)任意移动这个框，是否都能得到(1)中的结论？你能说明理由吗？
18．节日期间，某单位在广场上展出一批花卉，如图所示是这些花卉的排列图案，其中小黑点表示花卉．第①层需要1盆，第②层需要4盆，第③层需要7盆，第④层需要10盆，以此类推．按照以上规律，解决下列问题：
(1)第⑤层需要花卉________盆，五层共需要花卉__________盆；第n层需要花卉____________盆；(用含n的代数式表示)
(2)若将按此规律排列的图案中的4条射线OA，OB，OC，OD上的花卉全部换成盆景，当盆景共用去205盆时，该图案的最外一层除盆景外还有多少盆花卉？
19．观察下列图形与等式的关系，解决下列问题：
第1个图： ;
第2个图： ;
第3个图： ;
第4个图： ；
（1）第5个图中空白部分小正方形的个数是____，第6个图中空白部分小正方形的个数满足的等式为____________________；
（2）用含的等式表示第 个图中空白部分小正方形的个数满足的规律：___________；
（3）运用上述规律计算： .
20．下列图形是由边长为1的小正方形按照一定规律组成的.观察图形.回答下列问题：
（1）按上述规律排列，第⑤幅图形的周长为____；
（2）按上述规律排列，第幅图形的周长为_______；
（3）按上述规律排列，是否存在第幅图形的周长为60，请说明理由.
参考答案
一、选择题
1．按规律排列的一组数据：，，□，，，，…其中□内应填的数是( )
A． B． C． D．
【答案】D
2．按一定规律排列的单项式：2， ，,,， ，则第 个单项式是( )
A. B. C. D.
【答案】B
3．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，则第个图中黑色正方形纸片的张数为( )
A．2n B．3n－1 C．2n－1 D．2n＋1
【答案】D
4．计算3的正整数次幂：； ；；；；； ；； ，归纳各计算结果中的个位数字规律，可得 的个位数字为( )
A. 1 B. 3 C. 7 D. 9
【答案】B
5．用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是( )
A．39 B．44 C．49 D．54
【答案】B
6．将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表，小明在数表上圈出了a，b，c，d四个数，并求出了它们的和为234，这4个数在数表中的排列位置可能是( )
【答案】C
7．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图所示．则第5个方框中最下面一行的数可能是( )
A．1 296 B．2 809 C．3 136 D．4 225
【答案】B
8．如图，在边长为1的正方形网格纸中连接相邻格点构造“回形线”，“回形线”交射线 于点，，， ，.从点到点的“回形线” 记为第1圈，其长度为7，从点到点的“回形线”记为第2圈，其长度为15， , 依次类推，则“回形线”第 圈的长度有可能是( )
A. 99 B. 144 C. 480 D. 799
【答案】D
【解析】第1圈的长度为 ，第2圈的长度为 ，第3圈的长度为， 第 圈的长度为 .因为为正整数，所以易知“回形线”第圈的长度有可能是799.
9．已知有序整式串：， ，对其进行如下操作：
第1次操作：用第一个整式减去第二个整式得到一个整式，将得到的整式作为新整式串的第一项，即得到新整式串：，， ；
第2次操作：用第一个整式减去第二个整式得到一个整式，将得到的整式作为新整式串的第一项，即得到新整式串：，，， ；
依次进行操作.下列说法：
①第3次操作后得到的新整式串为，， ，， ；
②第11次操作后得到的新整式串各项之和与第22次操作后得到的新整式串各项之和相等；
③第2 025次操作后得到的新整式串各项之和为 .
其中正确的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】由题意可得，第1次操作后得到新整式串： ，，，各项之和为 ；第2次操作后得到新整式串：，，，，各项之和为 ；第3次操作后得到新整式串：，，，， ，故说法①正确，各项之和为；第4次操作后得到新整式串： ，，，，， ，各项之和为0；第5次操作后得到新整式串：，，，，，， ，各项之和为；第6次操作后得到新整式串：，， ，，，，，，各项之和为 ；第7次操作后得到新整式串：，，，， ，，，，，各项之和为 ；….所以，各项之和以及各项的首项都以6次操作为一个周期依次循环.因为 ，所以第2 025次操作后得到的新整式串各项之和与第3次操作后得到的新整式串各项之和相同，为，故说法③错误.因为 ,所以第11次操作后得到的新整式串各项之和与第5次操作后得到的新整式串各项之和相等，都是.因为 ,所以第22次操作后得到的新整式串各项之和与第4次操作后得到的新整式串各项之和相等，都是0，故第11次操作后得到的新整式串各项之和与第22次操作后得到的新整式串各项之和不相等，故说法②错误.故选B.
二、填空题
10．－1，2，－3，4，－5，6，…根据你发现的规律，第n个数是______________．
【答案】(－1)nn
11．按一定规律排列的单项式：5a，8a2，11a3，14a4，…则第n个单项式为_________．(用含有n的代数式表示)
【答案】(3n＋2)an
12．观察这组数：，，，，，…它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是__________________.
【答案】
13．如图，这是由一些小棒搭成的图案，图①用了5根小棒，图②用了9根小棒，图③用了13根小棒，…按照这种方式摆下去，图 用了2025根小棒，则n＝_____________．
【答案】506
14．如图，这是某月的月历，用带阴影的方框恰好框住四个数．若这样的阴影方框可以任意移动，且框住这张月历表中的4个数，设a表示的数是x，则这4个数的和为_______．(用含x的代数式表示)
【答案】4x＋14
15．将全体正偶数排成一个三角形数阵，按照如图排列的规律，则第10行从左向右的第3个数是____________．
【答案】96
16．用火柴棍拼成如图图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，……若按此规律拼下去，则第个图案需要火柴棍的根数为______________．(用含n的代数式表示)
【答案】6n＋6
三、解答题
17．下列数阵是由50个偶数按照5×10排成的，框内有四个数．
(1)猜测：图中框内四个数之和与数字4有什么关系？
(2)在数阵中任意画一个类似于(1)中的框，设左上角的数为x，那么怎样表示其他三个数？
(3)任意移动这个框，是否都能得到(1)中的结论？你能说明理由吗？
解：(1)图中框内四个数之和能被4整除　
(2)其他三个数为x＋2，x＋12，x＋14
(3)能．理由：x＋x＋2＋x＋12＋x＋14＝4x＋28＝4(x＋7).因为x为正偶数，所以x＋7为正奇数，所以任意移动这个框，框内四个数之和都能被4整除
18．节日期间，某单位在广场上展出一批花卉，如图所示是这些花卉的排列图案，其中小黑点表示花卉．第①层需要1盆，第②层需要4盆，第③层需要7盆，第④层需要10盆，以此类推．按照以上规律，解决下列问题：
(1)第⑤层需要花卉________盆，五层共需要花卉__________盆；第n层需要花卉____________盆；(用含n的代数式表示)
(2)若将按此规律排列的图案中的4条射线OA，OB，OC，OD上的花卉全部换成盆景，当盆景共用去205盆时，该图案的最外一层除盆景外还有多少盆花卉？
解：(1)13　35　(3n－2)
(2)当盆景共用去205盆时，该图案共有层数(205－1)÷4＋1＝52(层)，最外一层除盆景外还有花卉(52－2)×3＝150(盆)，
答：当盆景共用去205盆时，该图案的最外一层除盆景外还有150盆花卉
19．观察下列图形与等式的关系，解决下列问题：
第1个图： ;
第2个图： ;
第3个图： ;
第4个图： ；
（1）第5个图中空白部分小正方形的个数是____，第6个图中空白部分小正方形的个数满足的等式为____________________；
【答案】11
（2）用含的等式表示第 个图中空白部分小正方形的个数满足的规律：___________；
【答案】
（3）运用上述规律计算： .
【解】由（2）的规律可得， .
20．下列图形是由边长为1的小正方形按照一定规律组成的.观察图形.回答下列问题：
（1）按上述规律排列，第⑤幅图形的周长为____；
【答案】26
【解析】因为第①幅图形的周长为 ，第②幅图形的周长为 ，第③幅图形的周长为，第④幅图形的周长为 ，所以第⑤幅图形的周长为 .
（2）按上述规律排列，第幅图形的周长为_______；
【答案】
（3）按上述规律排列，是否存在第幅图形的周长为60，请说明理由.
【解】不存在.理由如下：
若第幅图形的周长为60，则 ，
解得 .
因为为正整数，所以 不符合题意.
所以不存在第幅图形的周长为60.

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