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3.3　探索与表达规律
第2课时　借助运算解释规律和现象
一、选择题
1．有一种游戏规则：你想一个数，乘4，加上12，除以4，最后减去你所想的数，我就知道结果，那么结果是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．让我们轻松一下，做一个数字游戏：
第一步：取一个自然数x1＝5，计算x12＋1得y1；
第二步：算出y1的各数位上的数字之和得x2，计算x22＋1得y2；
第三步：算出y2的各数位上的数字之和得x3，计算x32＋1得y3……
依此类推，则y3等于( )
A．5 B．26 C．65 D．122
3．如图，这是2025年9月的月历，用十字形框随意圈出五个数，所圈的五个数的和一定( )
A. 能被2整除 B. 能被3整除 C. 能被4整除 D. 能被5整除
4．如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，图形中M与m，n的关系是( )
A．M＝mn B．M＝n(m＋1) C．M＝mn＋1 D．M＝m(n＋1)
5．如图所示，在一个电子青蛙游戏程序中，电子青蛙只能在标有五个数的点上跳动，游戏规则如下：若电子青蛙停在奇数点上，则它下次沿顺时针方向跳两个点；若电子青蛙停在偶数点上，则它下次沿逆时针方向跳一个点.若电子青蛙从4对应的点开始跳，则跳2 026次后它停的点对应的数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
二、填空题
6．小刚与小强玩数字游戏，小刚对小强说：“你任意写一个两位数，满足十位数字比个位数字大2；然后交换十位数字与个位数字，得到一个新的两位数；最后用其中较大的两位数减去较小的两位数，我就能知道这个差是______．”
7．王老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A，B，C三位同学相同数量的扑克牌(假定发到每位同学手中的扑克牌数量足够多)，然后依次完成以下三个步骤：第一步，A同学拿出三张扑克牌给C同学；第二步，B同学拿出四张扑克牌给C同学；第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，C同学就拿出多少张扑克牌给A同学．请你确定，最终C同学手中剩余的扑克牌的张数为___________．
8．小明和小亮做猜数字游戏，小明对小亮说：“你心里想好一个两位数，将十位数字乘2，然后加3，再将所得新数乘以5，最后将得到的数加上个位数字”小亮算算说得到的是37，小明一下说出了小亮心里想的两位数是_________．
9．一个数字游戏步骤如下：第一步：取一个自然数x1＝5，计算x12＋1得y1；第二步：算出y1的各位数字之和得x2，计算x22＋1得y2；第三步：算出y2的各位数字之和得x3，再计算x32＋1得y3；依此类推，则y30＝__________．
10．有一种密码，将英文26个字母，， ，（不论大小写）依次对应1，2，3， ，26这26个自然数（如表格）。当明码对应的序号 为奇数时，密码对应的序号为 ；当明码对应的序号 为偶数时，密码对应的序号为 。按上述规定，将明码“ ”译成密码是 _____。
字母
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
字母
序号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
三、解答题
11．观察下列算式：
11×10－(1＋1)＝108；
23×10－(2＋3)＝225；
35×10－(3＋5)＝342；
45×10－(4＋5)＝441；
84×10－(8＋4)＝828；
…
(1)请写出一个符合上述规律的算式．(不与题中算式重复)
(2)运算结果一定是哪个数的倍数？并说明理由．
12．陈老师和学生做一个猜数游戏，他让学生按照以下步骤进行计算：
①任想一个两位数a，把a乘2，再加上9，把所得的和再乘2；
②把a乘2，再加上30，把所得的和除以2；
③把①所得的结果减去②所得的结果，这个差即为最后的结果．
陈老师说：“只要你告诉我最后的结果，我就能猜出你最初想的两位数a.”
学生周晓晓计算的结果是96，陈老师立即猜出周晓晓最初想的两位数是31.请：
(1)用含a的式子表示游戏的过程；
(2)请用自己的语言解释陈老师猜数的方法．
13．课堂上老师出了一道有趣的数学游戏题，游戏规则如下：(1)心里想一个任意有理数加上5；(2)把得到的和乘以2；(3)把得到的乘积减去1；(4)把得到的差再除以；(5)最后把得到的商减去你心中想的那个数的4倍，最后的结果是18.同学们都觉得很稀奇，纷纷实验结果确实都是18，聪明的你能用你所学过的知识解释一下吗？
14．观察一组数据：2，4，7，11，16，22，29，…，它们有一定的规律，若记第一个数为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为an.
(1)请写出29后面的第一个数；
(2)通过计算a2－a1，a3－a2，a4－a3，…，由此推算a100－a99的值；
(3)根据你发现的规律求a100的值．
15．任选一个三位数(十位数字与个位数字均不为0)，百位数字乘个位数字的积作为下一个数字的百位．百位数字乘十位数的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字．在上面每次相乘的过程中，如果积大于9，则将积的个位数与十位数相加，若和仍大于9，则继续相加直到得出一位数，重复这个过程．
例如，以832开始，运算以上规则依次可得到：832，766，669，999，999，…
(1)你选择的三位数是什么？按上述规则进行运算你都得到了哪些数？你得到了什么结论？
(2)换个数试试，你有什么进一步的猜想？
16．昨天，小彤的妈妈的手机上收到朋友发来的一条微信，内容如下：“神奇！知道手机号最后一位就知道年龄了！①看一下你手机号的最后一位；②把这个数字乘2；③然后加5；④再乘50；⑤把得到的数目加上1 774；⑥用这个数目减去你出生的那一年．现在你会看到一个三位数的数字，其中第一位数字就是你手机号的最后一位，后两位就是你的实际年龄！”
小彤妈妈说：“我试了，是真的！太神奇了！怎么会这样呢？”
(1)若设小彤妈妈的手机号的最后一位是a，请表示出经过①②③④⑤步之后得到的数；
(2)你能利用所学的数学知识给小彤妈妈解释一下吗？
17．一个正三位数，若它的十位数字等于个位数字与百位数字的和，那么称这个三位数为“和谐数”，例如121，253，671等。
（1）写出含有数字3和6的“和谐数”：___________________（写一个即可）；最小的正三位“和谐数”是_____；
（2）若一个“和谐数”的个位数字为，十位数字为 ，且、都是自然数 ，判断任意一个三位“和谐数”能否被11整除，并说明理由。
18．对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数 ，将它各个数位上的数字平方后再取其个位数字，得到三个新的数字；再将这三个新数字重新组合成三位数 ，当的值最小时，称此时的为自然数 的“理想数”，并规定： .例如:123，各个数位上的数字平方后取个位数字分别为1，4，9，再重新组合为149，194，419，491，914，941，易得 最小，所以149是原三位数123的“理想数”，此时 .
（1）求 的值；
（2）若有三位自然数 ，满足有两个数位上的数字相同且不等于0和1，另一个数位上的数字为1，试说明： .
参考答案
一、选择题
1．有一种游戏规则：你想一个数，乘4，加上12，除以4，最后减去你所想的数，我就知道结果，那么结果是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
2．让我们轻松一下，做一个数字游戏：
第一步：取一个自然数x1＝5，计算x12＋1得y1；
第二步：算出y1的各数位上的数字之和得x2，计算x22＋1得y2；
第三步：算出y2的各数位上的数字之和得x3，计算x32＋1得y3……
依此类推，则y3等于( )
A．5 B．26 C．65 D．122
【答案】D
3．如图，这是2025年9月的月历，用十字形框随意圈出五个数，所圈的五个数的和一定( )
A. 能被2整除 B. 能被3整除 C. 能被4整除 D. 能被5整除
【答案】D
4．如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，图形中M与m，n的关系是( )
A．M＝mn B．M＝n(m＋1) C．M＝mn＋1 D．M＝m(n＋1)
【答案】D
5．如图所示，在一个电子青蛙游戏程序中，电子青蛙只能在标有五个数的点上跳动，游戏规则如下：若电子青蛙停在奇数点上，则它下次沿顺时针方向跳两个点；若电子青蛙停在偶数点上，则它下次沿逆时针方向跳一个点.若电子青蛙从4对应的点开始跳，则跳2 026次后它停的点对应的数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
【答案】D
【解析】因为电子青蛙从4对应的点开始跳，所以跳1次后它停的点对应的数为3；跳2次后它停的点对应的数为5；跳3次后它停的点对应的数为2；跳4次后它停的点对应的数为1；跳5次后它停的点对应的数为3；…由此可见，电子青蛙停的点对应的数按3，5，2，1循环出现.因为 ，所以跳2 026次后它停的点对应的数为5.
二、填空题
6．小刚与小强玩数字游戏，小刚对小强说：“你任意写一个两位数，满足十位数字比个位数字大2；然后交换十位数字与个位数字，得到一个新的两位数；最后用其中较大的两位数减去较小的两位数，我就能知道这个差是______．”
【答案】18
7．王老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A，B，C三位同学相同数量的扑克牌(假定发到每位同学手中的扑克牌数量足够多)，然后依次完成以下三个步骤：第一步，A同学拿出三张扑克牌给C同学；第二步，B同学拿出四张扑克牌给C同学；第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，C同学就拿出多少张扑克牌给A同学．请你确定，最终C同学手中剩余的扑克牌的张数为___________．
【答案】10
8．小明和小亮做猜数字游戏，小明对小亮说：“你心里想好一个两位数，将十位数字乘2，然后加3，再将所得新数乘以5，最后将得到的数加上个位数字”小亮算算说得到的是37，小明一下说出了小亮心里想的两位数是_________．
【答案】22
9．一个数字游戏步骤如下：第一步：取一个自然数x1＝5，计算x12＋1得y1；第二步：算出y1的各位数字之和得x2，计算x22＋1得y2；第三步：算出y2的各位数字之和得x3，再计算x32＋1得y3；依此类推，则y30＝__________．
【答案】122
10．有一种密码，将英文26个字母，， ，（不论大小写）依次对应1，2，3， ，26这26个自然数（如表格）。当明码对应的序号 为奇数时，密码对应的序号为 ；当明码对应的序号 为偶数时，密码对应的序号为 。按上述规定，将明码“ ”译成密码是 _____。
字母
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
字母
序号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
【答案】
三、解答题
11．观察下列算式：
11×10－(1＋1)＝108；
23×10－(2＋3)＝225；
35×10－(3＋5)＝342；
45×10－(4＋5)＝441；
84×10－(8＋4)＝828；
…
(1)请写出一个符合上述规律的算式．(不与题中算式重复)
(2)运算结果一定是哪个数的倍数？并说明理由．
解：(1)91×10－(9＋1)＝900．(答案不唯一)
(2)运算结果一定是9的倍数．
理由：设两位数的十位数字为a，个位数字为b，
则(10a＋b)×10－(a＋b)＝100a＋10b－a－b＝99a＋9b＝9(11a＋b)，
故运算结果一定是9的倍数．
12．陈老师和学生做一个猜数游戏，他让学生按照以下步骤进行计算：
①任想一个两位数a，把a乘2，再加上9，把所得的和再乘2；
②把a乘2，再加上30，把所得的和除以2；
③把①所得的结果减去②所得的结果，这个差即为最后的结果．
陈老师说：“只要你告诉我最后的结果，我就能猜出你最初想的两位数a.”
学生周晓晓计算的结果是96，陈老师立即猜出周晓晓最初想的两位数是31.请：
(1)用含a的式子表示游戏的过程；
(2)请用自己的语言解释陈老师猜数的方法．
解：(1)由题意可知，第①步运算的结果为：2(2a＋9)＝4a＋18；第②步运算的结果为：(2a＋30)＝a＋15；第③步运算的为：(4a＋18)－(a＋15)＝3a＋3　
(2)陈老师猜数的方法是：将学生所得的最后结果减去3，再除以3
13．课堂上老师出了一道有趣的数学游戏题，游戏规则如下：(1)心里想一个任意有理数加上5；(2)把得到的和乘以2；(3)把得到的乘积减去1；(4)把得到的差再除以；(5)最后把得到的商减去你心中想的那个数的4倍，最后的结果是18.同学们都觉得很稀奇，纷纷实验结果确实都是18，聪明的你能用你所学过的知识解释一下吗？
解：设心里想的有理数是x，根据题意得[2(x＋5)－1]÷－4x＝(2x＋10－1)×2－4x＝4x＋18－4x＝18，∴最后的结果是18
14．观察一组数据：2，4，7，11，16，22，29，…，它们有一定的规律，若记第一个数为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为an.
(1)请写出29后面的第一个数；
(2)通过计算a2－a1，a3－a2，a4－a3，…，由此推算a100－a99的值；
(3)根据你发现的规律求a100的值．
解：(1)29后面的第一个数是37
(2)由题意，得a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，由此推算a100－a99＝100
(3)a100＝2＋2＋3＋4＋…＋100＝1＋×100＝5051
15．任选一个三位数(十位数字与个位数字均不为0)，百位数字乘个位数字的积作为下一个数字的百位．百位数字乘十位数的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字．在上面每次相乘的过程中，如果积大于9，则将积的个位数与十位数相加，若和仍大于9，则继续相加直到得出一位数，重复这个过程．
例如，以832开始，运算以上规则依次可得到：832，766，669，999，999，…
(1)你选择的三位数是什么？按上述规则进行运算你都得到了哪些数？你得到了什么结论？
(2)换个数试试，你有什么进一步的猜想？
解：(1)(答案不唯一)如选择的三位数是123，运用以上规则依次可得到：123，326，963，999，999，…这组数的后面都是999
(2)如选择的三位数是788，运用以上规则依次可得到：788，221，242，488，551，575，788，…
如选择的三位数是255，运用以上规则依次可得到：255，117，717，477，114，414，744，117，…
猜想：一个十位数字与个位数字均不为零的三位数，运用以上规则计算，总能得到重复出现的一个数或一组数
16．昨天，小彤的妈妈的手机上收到朋友发来的一条微信，内容如下：“神奇！知道手机号最后一位就知道年龄了！①看一下你手机号的最后一位；②把这个数字乘2；③然后加5；④再乘50；⑤把得到的数目加上1 774；⑥用这个数目减去你出生的那一年．现在你会看到一个三位数的数字，其中第一位数字就是你手机号的最后一位，后两位就是你的实际年龄！”
小彤妈妈说：“我试了，是真的！太神奇了！怎么会这样呢？”
(1)若设小彤妈妈的手机号的最后一位是a，请表示出经过①②③④⑤步之后得到的数；
(2)你能利用所学的数学知识给小彤妈妈解释一下吗？
解：(1)经过①②③④⑤步之后得到的数为50(2a＋5)＋1 774＝100a＋2 024
(2)今年是2 024年，此数减去你出生的那一年后，正好是你的年龄，而百位上的第一个数字是手机尾号
17．一个正三位数，若它的十位数字等于个位数字与百位数字的和，那么称这个三位数为“和谐数”，例如121，253，671等。
（1）写出含有数字3和6的“和谐数”：___________________（写一个即可）；最小的正三位“和谐数”是_____；
【答案】363（答案不唯一） 110
（2）若一个“和谐数”的个位数字为，十位数字为 ，且、都是自然数 ，判断任意一个三位“和谐数”能否被11整除，并说明理由。
解：能，理由如下：
设这个三位“和谐数”的个位数字为，十位数字为 ，则百位数字为
，
所以这个三位数为
。
因为 是11的倍数，所以任意一个三位“和谐数”能被11整除。
18．对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数 ，将它各个数位上的数字平方后再取其个位数字，得到三个新的数字；再将这三个新数字重新组合成三位数 ，当的值最小时，称此时的为自然数 的“理想数”，并规定： .例如:123，各个数位上的数字平方后取个位数字分别为1，4，9，再重新组合为149，194，419，491，914，941，易得 最小，所以149是原三位数123的“理想数”，此时 .
（1）求 的值；
【解】对于236，各个数位上的数字平方后取个位数字分别
为4，9，6，
再重新组合为496，469，946，964，649，694，
易得 最小，
所以649是原三位数236的“理想数”，
此时 .
（2）若有三位自然数 ，满足有两个数位上的数字相同且不等于0和1，另一个数位上的数字为1，试说明： .
根据题意设三位自然数 的两个数位上相同的数字的平方的个位数字为 ，当时，组合成的三位数为111,易得111是三位自然数 的 “理想数”，所以；当 时，重新组合的三位数为，， .
因为， ， ，
所以是三位自然数 的“理想数”，所以.综上， .

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