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18.6相似三角形的性质
复习 到现在为止，我们学习了哪些判定三角形相似的方法？
1. 定义法 对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。（一般不用）
2. 平行法 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似。
3. 判定1 两角对应相等的两个三角形相似。
4. 判定2 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
5. 判定3 三条边对应成比例的两个三角形相似。
6. 判定3推论 直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。
相似三角形的性质
已知△ABC ∽△A′B′C′相似,相似比为k
（1）相似三角形对应角 .
（2）相似三角形对应边 .
A
B
C
A'
B'
C'
知识回顾
相等
成比例
已知: 如图, △ABC∽△A′B′C′ , 它们的相似比为 k, AD, A′D′ 是对应高.
1. 相似三角形对应边上的高有什么关系呢？
求证:
A
B
C
D
C′
B′
A′
D′
证明 ∵ △ABC∽△A′B′C′,
∴ ∠B = ∠B′.
∵ ∠BDA = ∠B′D′A′ = 90°,
∴ Rt△ABD∽Rt△A′B′D′.
∴
A
B
C
D
C′
B′
A′
D′
相似三角形对应边上的高之比等于相似比.
2. 相似三角形对应边上的中线有什么关系呢？
（1）如图, △ABC, AE为BC边上的中线, 则把三角形扩大 2 倍后得 △A′B′C′ , A′E′ 为 BC 边上的中线. △ABC 与△A′B′C′ 的相似比是多少？AE与A′E′ 的比是多少？
A
B
C
E
E′
A′
B′
C′
（2）如右图两个相似三角形的比为 k, 则对应边上的中线的比是多少呢？说说你判断的理由是什么？
A
B
C
E
E′
A′
B′
C′
相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.
3. 相似三角形对应角的角平分线有什么关系呢？
B′
A′
C′
D′
B
A
C
D
已知: 如图, △ABC∽△A′B′C′ , 它们的相似比为 k, AD, A′D′ 分别是 ∠BAC, ∠B′A′C′ 的角平分线.
求证:
证明 ∵ △ABC∽△A′B′C′,
∴ ∠BAC = ∠B′A′C′,
∴ ∠DAC = ∠D′A′C′ ,
∴ △DAB∽△D′A′B′.
∴
B′
A′
C′
D′
B
A
C
D
∠C = ∠C′.
又∵AD, A′D′ 分别是 ∠BAC, ∠B′A′C′ 的角平分线.
相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比.
相似三角形的性质定理1
相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
A
B
C
D
E
F
A′
B′
C′
D′
E′
F′
随堂练习
练1 已知 ，相似比为2:3，
（1）如果AD，A'D'分别为这两个三角形的对应高，且AD=9cm，
则A'D'= ，
（2）如果AD，A'E'分别为这两个三角形的对应中线，且A'E'=10cm，
则AE= ，
（3）如果AF，A'F'分别为这两个三角形的对应角平分线，则
13.5cm
练2 在 中，AD⊥BC，垂足为D，EF∥BC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G， ，AD=15. 求AG的长.
随堂练习
高
相似三角形
相似比
高的值
习题1 如图， ，AD，AE分别为△ABC的高和中线，A'D'，A'E'分别为△A'B'C'的高和中线，求证：△ADE∽△A'B'D'.
随堂练习
随堂练习
习题2 如图，AD，BE为△ABC的两条高，A'D'，B'E'为△A'B'C'的两条高，且
拔高练习
相似三角形的性质在特殊四边形中的应用
例题 如图，一块材料的形状是锐角△ABC，边BC=12cm,高AD=8cm，把它加工成正方形零件PQMN,要使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上.求这个正方形零件的边长.
A
B
C
P
Q
M
N
D
G
拔高练习
相似三角形的性质在特殊四边形中的应用
变式 如图，一块材料的形状是锐角△ABC，边BC=12cm,高AD=8cm，把它加工成长方形零件PQMN,要使长方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上.且长方形的长等于宽的2倍，求PQ的长.
A
B
C
P
Q
M
N
D
G
A
B
C
P
Q
M
N
D
G
(1) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来的 倍.
(2) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个四边形的面积扩大为原来的 倍.
(3)在一张复印出来的纸上，一个三角形的一边由原图中的2cm变成了6cm,则放缩比例是 : ，三角形面积变为原来的 倍.
随堂练习
例3:在△ABC 和△DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2DF，
∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，
求△DEF 的边 EF 上的高和面积.
A
B
C
D
E
F
1、如图， 中，E为BC中点，连接AE交对角线BD于F
若 的周长为24，求 的周长 .
如图， 中，连接AE交对角线BD于F
变式1：
若 与 的面积比是2:1，则AD：EB=（ ）
A. 2:1 B. 1:2 C. 1： D. ：1
如图， 中，连接AE交对角线BD于F
变式2：
若 与 的对应中线的比为2:1，且它们的面积和为30
则 的面积为( )
A. 6 B. 10 C. 24 D.20
2、大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上
第一个小孔成倒像的实验.并在《墨经》中有这样的精彩记录：
“景到，在午有端，与景长，说在端”.如图2所示的小孔成像
实验中，若物距为10cm,像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度
是9cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A. 6cm B. 8cm C. 10cm D.12cm
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力
．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在
于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
相似三角形的性质
对应线段
周长
面积
等于相似比
对应高的比
对应中线的比
对应角平分线的比
周长的比等于相似比
面积的比等于相似比的平方
课堂小结
当堂总结
知识总结 通过今天的学习，你觉得一定要记住的内容是什么？
相似三角形的性质定理1
相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，都等于相似比。即相似三角形对应线段的比等于相似比。
方法技巧总结 利用相似三角形的性质求四边形的边长，可以通过“设x”
表示对应线段的长。再利用对应线段的比值相等，求x。
感谢大家的聆听！

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