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九年级上学期9月月考数学
注意事项：
1．本试卷共 6 页，三大题，满分 120 分，测试时间 100 分钟．
2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上．
3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚．
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．已知关于x的方程x2﹣（2a﹣1）x+a2＝0的两实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则a的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣3或1 C．1 D．3或﹣1
2．某品牌衬衣为了促进消费，拟对该品牌衬衣进行降价处理，决定将原价为100元每件的该衬衣经过两次降价降为每件81元，且两次降价的百分比相同．若设每次降价的百分比为x，则下列所列方程正确的是（　　）
A．81（1+2x）＝100 B．100（1﹣2x）＝81
C．81（1+x）2＝100 D．100（1﹣x）2＝81
3．现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是（　　）
A．﹣1 B．4 C．﹣1或4 D．1或﹣4
4．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式2024x1的值为（　　）
A．4049 B．4048 C．2024 D．1
5．将方程3x2﹣8＝2x改写成为ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（　　）
A．3，﹣8，2 B．3，﹣8，﹣2 C．3，﹣2，﹣8 D．2，﹣3，8
6．一元二次方程x2﹣8x﹣2＝0，配方的结果是（　　）
A．（x+4）2＝18 B．（x+4）2＝14 C．（x﹣4）2＝18 D．（x﹣4）2＝14
7．关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（　　）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
8．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+4＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1且k≠0 B．k≤1 C．k≤1且k≠0 D．k＜1
9．一元二次方程x2﹣2x+1＝0根的情况是（　　）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．有两个不相等的实数根
10．已知x＝3是一元二次方程x2+bx﹣c＝0的一个根，则3b﹣c＝（　　）
A．9 B．﹣9 C．3 D．﹣3
填空题（每小题 3 分，共 15 分）
11．☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作Rt△ABC，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根．
利用以上方法解关于x的一元二次方程x2+mx＝36时，若构造后的图形满足AD＝2BD，则m的值为　 　 ．
12．设方程x2﹣2x﹣3＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2+x1x2的值为　 　 ．
13．若关于x的一元二次方程x2﹣ax+4＝0有两个相等的实数根，则a的值为　 　 ．
14．若关于x的一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0的一个实数根是﹣1，则m的值是　 　 ．
15．已知关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　 　 ．
三、解答题（共 8 题，共 75 分）
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值．
17．体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球垫球是体育中考中学生选择较多的两个考试项目，跳绳和排球也成为学生必备的中考体育用品，某体育用品商店为满足学生需求，销售一种跳绳和排球套装，每套进货价为35元，销售价为58元．经统计，4月份的销售量为256套，6月份的销售量为400套．
（1）求这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率；
（2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，商店为了减少库存，采用降价促销方式调查发现，每套的销售价每降低1元时，月销售量就会增加20套，该商店要想使月销售利润达到8400元，这种跳绳和排球套装每套的销售价应为多少元？
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1，x2，且，求m的值．
19．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
20．据统计，云梦县博物馆开馆第一个月进馆7500人次，近日，跟随习近平总书记的考察足迹，云梦县博物馆受到广泛关注，进馆人数逐月增加，第三个月进馆10800人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，该博物馆月接纳能力不能超过12000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该博物馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由．
21．已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣1
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：已知实数a，b满足a2﹣7a+1＝0，b2﹣7b+1＝0，且a≠b，则a+b＝　 　 ，ab＝　 　 ，　 　 ；
（2）拓展应用：已知实数m，n满足，且mn+1≠0，求的值．
22．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
23．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a+b+c＝0，那么称这样的方程为“美好方程”．例如，方程x2﹣4x+3＝0，1﹣4+3＝0，则这个方程就是“美好方程”．
（1）下列方程是“美好方程”的是 　 　 ；
①x2+2x﹣3＝0
②x2﹣3x＝0
③x2+1＝0
④x（x﹣1）＝2（x﹣1）
（2）求证：“美好方程”ax2+bx+c＝0总有两个实数根；
（3）若美好方程（b﹣c）x2+（c﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个相等的实数根，求证：a+c＝2b．
1．A． 2．D．3．C．4．A．5．C．6．C．7．C．8．C．9．B．10．B．
11．．12．﹣1．13．±4．14．﹣1．15．4．
16．（1）m； （2）﹣1．
17．（1）25%；
（2）跳绳和排球套装售价为50元时，月销售利润达8400元．
18．解：（1）∵方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0，
a＝1，b＝﹣（m﹣3），c＝﹣m，
∴Δ＝[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（﹣m）
＝m2﹣6m+9+4m
＝m2﹣2m+9
＝（m﹣1）2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）由两根关系得x1+x2＝m﹣3，x1x2＝﹣m，
∵，
∴，
即（m﹣3）2﹣3（﹣m）＝7，
即m2﹣3m+2＝0，
解得：m1＝2，m2＝1．
19．解：（1）当天盈利：（50﹣3）×（30+2×3）＝1692（元）．
（2）根据题意，得：（50﹣x）（30+2x）＝2000，
整理，得：x2﹣35x+250＝0，
解得：x1＝10，x2＝25，
∵商城要尽快减少库存，
∴x＝25．
20．（1）解：设进馆人次的月平均增长率为x，根据第三个月进馆10800人次可得，
7500（1+x）2＝10800，
解得：x1＝20%，（不符合题意舍去），
（2）解：不能，理由如下，
由（1）得，
四月的人数为：10800（1+20%）＝12960＞12000，
∴该博物馆不能接纳第四个月的进馆人次．
21．（1）7，1，7；
（2）1．
22．解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得50（1+x）2＝72，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），
（2）设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意，得（y﹣30）[500﹣10（y﹣40）]＝8000，
整理，得y2﹣120y+3500＝0，
解得y1＝50，y2＝70，
因尽可能让顾客得到实惠，
，所以y＝70不合题意，舍去．
所以y＝50．
23．（1）解：方程x2+2x﹣3＝0，1+2﹣3＝0，方程①是美好方程；
方程x2﹣3x＝0，1﹣3＝﹣2≠0，方程②不是美好方程；
方程x2+1＝0，1+1＝2≠0，方程③不是美好方程；
方程x（x﹣1）＝2（x﹣1），整理，得x2﹣3x+2＝0，1﹣3+2＝0，方程④是美好方程；
故答案为：①④；
（2）证明：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0，
∴a+b+c＝0，
∴﹣b＝a+c，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，
∴美好方程ax2+bx+c＝0总有两个实数根；
（3）证明：方法1∵美好方程（b﹣c）x2+（c﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个相等的实数根，
∴（b﹣c）+（c﹣a）+（a﹣b）＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（c﹣a）2﹣4（b﹣c）（a﹣b）＝0，
∴c2﹣2ac+a2﹣4ab+4b2+4ac﹣4bc＝0，
∴c2+2ac+a2﹣4ab﹣4bc+4b2＝0，
∴（c+a）2﹣2（a+c） （2b）+（2b）2＝0，
∴（c+a﹣2b）2＝0，
故c+a﹣2b＝0，
故a+c＝2b．
方法2 将x＝1代入美好方程（b﹣c）x2+（c﹣a）x+（a﹣b）＝0，得：
左边＝（b﹣c）+（c﹣a）+（a﹣b），右边＝0，
∵美好方程（b﹣c）x2+（c﹣a）x+（a﹣b）＝0有两个相等的实数根，
∴（b﹣c）+（c﹣a）+（a﹣b）＝0，
∴x＝1是美好方程（b﹣c）x2+（c﹣a）x+（a﹣b）＝0的一个根，
∴方程的另一个根也是x＝1，
∴，
∴a﹣b＝b﹣c，
∴a+c＝2b．

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