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(共28张PPT)
数 学
二次函数的应用
19
课时目标
1.经历探索并建立二次函数的模型的过程，初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。
2.探究并学会求二次函数在实际问题中的最大值或最小值。
3.体会二次函数是最优化问题的重要数学模型，感受教学的应用价值。
课前热身
1. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 ，顶点坐标是 。当x= 时，函数有最 值，是 。
2.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 ，顶点坐标是 .当x= 时，函数有最 值，是 。
x=-4
(-4 ，-1)
-4
大
-1
x=2
(2 ，1)
2
小
1
问题1
从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
创设情境，引出问题
小球运动的时间是 3 s 时，小球最高．小球运动中的最大高度是 45 m．
问题1
从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是h= 30t - 5t 2 （ 0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
创设情境，引出问题
4
探究新知
由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，
当 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值。
如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c (a≠0） 的最小（大）值？
x=h
y=k
y=a(x-h） +k
y=a(x-h） +k
y=a(x-h） +k
问题2
整理后得
用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化．当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？
解：
∴　当 　　　　　　　　　 时，
S 有最大值为　　　　　　 ．
当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大．
（0＜l＜30）．
跟踪练习
为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25 m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为 40 m 的栅栏围住 （如下图）．设绿化带的 BC 边长为 x m，绿化带的面积为ym2．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，
并写出自变量 x 的取值范围.
（2）当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
D
C
B
A
25 m
跟踪练习
为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25 m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为 40 m 的栅栏围住 （如下图）．设绿化带的 BC 边长为 x m，绿化带的面积为ym2．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，
并写出自变量 x 的取值范围.
（2）当 x 为何值时，
满足条件的绿化带的面积最大？
D
C
B
A
25 m
课堂小结
一般地，因为抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点是最低（高）点，所以当 时，
二次函数 y=ax2+bx+c 有最小（大）值
同时要考虑自变量x的取值范围.
x=h
y=k
y=a(x-h） +k
y=a(x-h） +k
问题3
图中是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？
分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系．
4
2
l
可设这条抛物线表示的二次函数为y =ax2
这条抛物线表示的二次函数为
解：如图，建立直角坐标系
由抛物线经过点（2，－2），可得
4
2
l
图中是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？
问题3
当水面下降1m时，
水面的纵坐标为y = －3.
请你根据上面的函数表达
式求出这时的水面宽度．
水面下降1m，
水面宽度增加____________m.
解：
水面的宽度 m
建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤：
1.根据题意建立适当的 直角坐标系；
2.把已知条件转化为点的坐标；
3.合理设出函数解析式；
4.利用待定系数法求出函数解析式；
5.根据函数解析式进一步分析，判断并进行有关的计算；
课堂小结
问题4
书上57-58
问题5
书上57
问题6
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
（1）题目中有几种调整价格的方法？
（2）题目涉及到哪些变量？
哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？
探究新知
分析:
调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况：设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星期少卖 件，实际卖出 件,每件利润为 元，因此，所得利润为　　　　　　　　　　　　　　　元.
10x
(300-10x)
(60+x-40)
（60+x-40）(300-10x)
y=(60+x-40)(300-10x)
(0≤X≤30)
即y=-10（x-5） +6250
∴当x=5时，y最大值=6250
怎样确定x的取值范围
探究新知
可以看出，这个函数的图像是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图像的最高点，也就是说当x取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值。由公式可以求出顶点的横坐标.
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元
也可以这样求极值
探究新知
在降价的情况下，最大利润是多少？
请你参考（1）的过程得出答案。
解：设降价a元时利润最大，则每星期可多卖20a件，
实际卖出（300+20a)件，每件利润为（60-a-40）元，
因此，得利润b=(300+20a)(60-40-a)
=-20(a -5a+6.25)+6150 / =-20（a-2.5） +6150
∴a=2.5时，b极大值=6150
由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,
你知道应该如何定价能使利润最大了吗
(0≤a≤20)
谢谢观看
探究新知
为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25 m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为 40 m 的栅栏围住 （如下图）．设绿化带的 BC 边长为 x m，绿化带的面积为ym2．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，
并写出自变量 x 的取值范围.
（2）当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
D
C
B
A
25 m
探究新知
已知直角三角形的两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？
解：设其中一条直角边的长为x，另一条直角边为（8-x）
则直角三角形的面积:
对称轴：x=4， 顶点坐标：（4,8）
当两直角边长都为：4m时，
面积最大：225m .
=
（1） 如何求二次函数的最小（大）值，
并利用其解决实际问题？
（2） 在解决问题的过程中应注意哪些问题？
你学到了哪些思考问题的方法？
课堂小结
探究新知
如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，
围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，
设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
A
B
C
D
探究新知
解:
(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
＝－4x2＋24 x （0A
B
C
D
∴ 花圃宽为（24－x）米
∴ S＝ x（24－4x）
探究新知
(3) ∵墙的可用长度为8米
∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米
∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6
A
B
C
D
(2)当x＝ 时，S最大值＝ ＝36（平方米）

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