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(共24张PPT)
11.5二次根式及其性质
—— 认识二次根式
复习引入
问题1 什么叫做平方根
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根
如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示.
问题3 什么数有算术平方根
我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.
思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
(1)如图 的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为_____m；若面积为S m2，则边长为_____m．
(2)如图 的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_____m．
图
图
被开方数(式)大于 0
不存在，因为实数范围内，负数没有算术平方根.
问题1 这些式子还有什么共同特征？
含有“ ”，根指数是 2
问题2 是否存在 ，为什么呢？
3
S
65
0
a
a
a
a
a
那对于形如 的式子我们怎么去定义它呢？
注意：a 可以是数，也可以是式.
通过上述的学习，同学们可以自己举出具体的二次根式吗？
一般地，我们把形如 (a≥0) 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.
两个必备特征
①外在特征：含有“ ”
②内在特征：被开方数(式) a≥0
二次根式的定义
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式。
定义：
二次根式应满足条件：1、含有二次根号“ ”
2、被开方数为非负数
例1：下列式子中哪些一定是二次根式？
1、二次根式是“形式定义”，判断时只看初始形式。
2、形如“ ”也是二次根式。
例 ：下列各式满足什么条件时，在实数范围内有意义？
练习二
下列各式满足什么条件时，在实数范围内有意义？
若 ，求a -b+c的值.
解：
由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,
解得a=2,b=3,c=4.
所以a-b+c=2-3+4=3.
多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
归纳
典例精析
已知y= ,求3x+2y的算术平方根.
解：由题意得
∴x=3，∴y=8，
∴3x+2y=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．
【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 ，求此三角形的周长．
解：由题意得
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.
归纳
已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根．
解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．
解得x=1，y=2．
∴x+4y=1+2×4=9，
∴x+4y的平方根为±3.
练一练
当堂练习
2.式子 有意义的条件是 （ ）
A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2
3.当x=____时，二次根式 取最小值，其最小值
为______．
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
C
A
-1
0
4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有
意义？
5.(1)若二次根式 有意义，求m的取值范围．
解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0，
解得m≥2且m≠-1，m≠2，
∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式 都有意义，求m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，
即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0，
∴m-9≥0，即m≥9.
6.若x，y是实数，且y＜ ,求 的值.
解：根据题意得，
∴x=1.
∵y＜ ,
∴y＜ ，
∴ .
探究：
观察下列各式的特点，你有什么发现？请与同学交流。
二次根式的性质2：
探究：
观察下列各式的特点，你有什么发现？请与同学交流。
3
2
二次根式的性质3：
不同点 表示的意义 非负数a的算术平方根的平方 数a的平方的算术平方根
包含的运算顺序 先开平方，再平方 先平方，再开平方
a的取值范围 a为非负数 a为全体实数
结果的表达形式
相同点 的结果都是非负数
的异同
课堂小结
你学到了哪些内容？收获了什么？
思维进阶
已知 ，求 的值。
如果几个非负数的和为0，那么每一个非负数都为0.
结论：
定义
在有意义条件下求字母的取值范围
二次根式的双重非负性
二次根式
抓住被开方数必须为_________，从而建立不等式求出其解集
我们把形如___________的式子叫做二次根式
课堂小结
非负数
二次根式 中，____________
a≥0且 ≥0

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