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第12章 全等三角形
12.4　逆命题和逆定理
2. 线段垂直平分线
知识关联 探究与应用 课堂小结与检测
知识关联
线段垂直平分线的定义是什么？
如果一条直线垂直平分已知线段，那么该直线是已知线段的垂直平分线(简称“中垂线”).
如图，直线l⊥AB于点O且OA=OB,
则直线l是AB的垂直平分线.
A
B
l
O
【探究1】线段垂直平分线的性质定理
【猜想】
探究与应用
1.作线段AB并作它的垂直平分线MN；
2.在MN上任取一点P，将线段沿直线MN对折，连结PA、PB；
3.量一量PA、PB的长，你发现了什么？
4.在MN上另取一点Q,连结QA、QB，量一量QA、QB的长，你又发现了什么？
猜想：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
M
A
B
N
P
Q
【探究1】线段垂直平分线的性质定理
探究与应用
【证明】
M
N
P
A
C
B
已知：如图，MN丄AB，垂足为点C，AC =BC，点P是直线MN上的任意一点.
求证：PA=PB.
分析：要得到PA=PB
△APC≌△BPC
边:
角:
边:
AC=BC
∠ACP=∠BCP
PC=PC
【探究1】线段垂直平分线的性质定理
探究与应用
M
N
P
A
C
B
证明： ∵MN ⊥AB,
∴∠ACP=∠BCP=90°.
在△ACP和△BCP中,
∵
∴ △ACP≌△BCP(SAS).
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).
AC=BC,
∠ACP=∠BCP,
PC=PC,
【探究1】线段垂直平分线的性质定理
【知识要点】
探究与应用
线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
几何语言：
∵MN⊥ AB，AC＝BC，点P在MN上，
∴AP＝BP.
M
N
P
A
C
B
l
点在线段垂直平分线上
距离（线段）相等
【作用】利用该性质定理可以解决线段相等的问题.
【探究1】线段垂直平分线的性质定理
【应用】
探究与应用
解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，
∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.
(1)∵△BCD的周长为8，
∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3.
(2)∵BC＝4，
∴△BCD的周长＝BC＋(BD＋CD)＝4＋5＝9.
例1 如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线DE分别交
AB，AC于点E，D.
(1)若△BCD的周长为8，求BC的长；
(2)若BC＝4，求△BCD的周长．
转化思想
【探究2】线段垂直平分线的判定定理
探究与应用
【探索】
写出该性质定理与它的逆命题的条件和结论，你有什么发现？
条 件 结 论
性质定理
逆命题
一个点在线段的垂直平分线上
这个点到线段两端的距离相等
一个点到线段两端的距离相等
这个点在线段的垂直平分线上
线段垂直平分线的性质定理，条件和结论反过来会有什么结果呢？
这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？
【探究2】线段垂直平分线的判定定理
【证明】
探究与应用
逆命题 如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上.
已知： 如图，QA＝QB.
求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上．
分析：为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，
思路1 可以先过点Q作线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB；
思路2 可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，然后证明QC垂直于线段AB．
【探究2】线段垂直平分线的判定定理
探究与应用
(法一)证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C，
∵QA=QB，QC⊥AB，
∴AC=BC（等腰三角形的三线合一）.
∴点Q在线段AB的垂直平分线上．
已知： 如图，QA＝QB.
求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上．
你能写出后一种添加辅助线的证明过程吗？
【探究2】线段垂直平分线的判定定理
探究与应用
(法二)证明：取线段AB的中点C,则AC=BC.
∵QA＝QB,AC=BC,
∴QC⊥AB（等腰三角形的三线合一）.
∴点Q在线段AB的垂直平分线上.
A C B
N
M
Q
已知： 如图，QA＝QB.
求证：点Q在线段AB的垂直平分线上．
【探究2】线段垂直平分线的判定定理
【知识要点】
探究与应用
几何语言:
∵PA =PB，
∴点P在AB的垂直平分线上．
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
P
A
B
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的判定定理：
【探究2】线段垂直平分线的判定定理
探究与应用
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
P
A B
l
O
点P在线段AB的垂直平分线上
PA=PB
线段垂直平分线的性质定理
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
线段垂直平分线的判定定理
结论：
线段垂直平分线的性质定理和判定定理是互逆定理.
【探究2】线段垂直平分线的判定定理
探究与应用
例2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.求证：直线AD是CE的垂直平分线．
证明：∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAC.
∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∴∠AED＝∠ACB，在△ADE和△ADC中，
∠DAE＝∠DAC，
∵ ∠AED＝∠ACB，
AD=AD,
∴△ADE≌△ADC，∴CD＝DE，AC＝AE，
∴点D在CE的垂直平分线上，点A也在CE的垂直平分线上，
∴直线AD是CE的垂直平分线．
【探究3】三角形三边的垂直平分线交于一点
【试一试】
探究与应用
分析：如图，要证明三角形三边的垂直平分线交于一点，只需证明其中两条边的垂直平分线的交点一定在第三条边的垂直平分线上就可以了.其思路可表示如下：
l是AB的垂直平分线
m是BC的垂直平分线
OA=OB
OB=OC
OA=OC
点O在AC的垂直平分线n上
试试看，现在你会证明了吗？
你能给出三角形三边的垂直平分线交于一点的证明吗？
【探究3】三角形三边的垂直平分线交于一点
探究与应用
证明：连接OA，OB，OC.
∵点O在AB，AC的垂直平分线上，
∴OA=OB，OA=OC （线段垂直平分线上 的点到线段两端的距离相等）.
∴OB=OC.
∴点O在BC的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）.
B
C
A
O
l
n
m
课堂小结
课堂小结与检测
线段垂直平分线
性质
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
达标检测
课堂小结与检测
1. 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(　　)
A．6
B．5
C．4
D．3
B
达标检测
课堂小结与检测
2. 如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在线段(　　)的垂直平分线上．
A．AB
B．AC
C．BC
D．不确定
B
达标检测
课堂小结与检测
3.有A、B、C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.
A
B
C
O
分析：将A、B、C三个村庄看做A,B,C三点，将三点连起来，构成一个三角形，实际上找的是一个到△ABC的三顶点距离相等的点，也就是三角形三边垂直平分线的交点。
m
n
解：步骤一，作线段AC的垂直平分线m；
步骤二，作线段BC的垂直平分线n，与m交于点O.点O即为学校的位置.
证明：∵AB＝AD，BC＝CD，
∴A，C两点均在线段BD的垂直平分线上．
∴AC是线段BD的垂直平分线．
又∵E是AC上一点，
∴BE＝DE.
达标检测
课堂小结与检测
4. 如图，已知AB＝AD，BC＝DC，E是AC上一点，
求证：BE＝DE.

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