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凯里市第一中学2025-2026学年高二上学期9月检测数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．设抛物线的焦点为，准线为.斜率为的直线经过焦点，交抛物线于点，交准线于点（在轴的两侧）.若，则抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．若等差数列的首项为 ，且从第10项开始各项均大于1，则公差 的取值范围是( )
A． B． C． D．
3．已知圆：，：，则两圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．外切 C．内切 D．内含
4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过椭圆的上顶点作直线交椭圆于点．若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的单调增区间是( )
A． B． C． D．
6．已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆，过的直线与圆交于两点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数在上的部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知双曲线的右焦点为，以坐标原点为圆心，线段为半径作圆与双曲线在第一、二、三、四象限依次交于四点，若，则（ ）
A．
B．
C．四边形的面积为
D．双曲线的离心率为
10．［云南师大附中2025月考］（多选）数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．为等差数列 B．不可能为常数列
C．若为递增数列，则 D．若为递增数列，则
11．如图，已知正方体的棱长为2，分别为的中点，以下说法正确的是（ ）

A．平面
B．点到平面的距离为
C．正方体的内切球半径为
D．平面与平面夹角的余弦值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．函数在处切线的斜率是 ．
13．椭圆C：的左右焦点分别为、，点M为其上的动点.当为钝角时，点M的横坐标的取值范围是
14．已知数列满足，且，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列满足
(1)记，写出，并求出数列的通项公式；
(2)求数列的前2022项和.
16．如图所示，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，．
（1）当时，求证：平面；
（2）若平面与平面所成锐角二面角的余弦值为时，求的值．
17．等比数列的各项均为正数，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前项和.
18．已知椭圆E：的右焦点为F，点在椭圆E上，轴．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当的面积为9时，求直线l的方程．
19．已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与直线平行,求出这条切线的方程；
(2)讨论函数的单调性.
参考答案
1．【答案】B
【分析】根据直线的斜率以及求得，从而求得抛物线的方程.
【详解】直线的斜率为，倾斜角为，
过作，垂足为，连接，
由于，所以三角形是等边三角形，
所以，
由于，所以，
所以抛物线方程为.
故选：B
2．【答案】D
【详解】设该数列为 ， 数列从第10项开始比1大，
则 .
【易错警示】解答本题易出现的错误是忽略隐含条件 的取值范围，导致公差的取值范围变大.
3．【答案】A
【详解】圆：的圆心，半径，圆：圆心，半径，
而，所以两圆相交.
故选：A
4．【答案】A
【详解】如图：

因为，，
所以的周长为，则，
又，所以，，则.
又，
所以.
所以椭圆的离心率为.
故选：A
5．【答案】D
【分析】
利用f(x)的导数的正负即可求其单调性．
【详解】
∵，∴，
当x＞2时，，∴f(x)的单调递增区间是．
故选：D．
6．【答案】A
【解析】点在抛物线上,故设,又抛物线的焦点为,准线为直线,
故.
,,而,,
,整理得,解得.
点的横坐标为.
根据抛物线的定义,得,.故选.
7．【答案】A
【详解】
，
因为，所以，
又因为，所以，
在中，由余弦定理得，所以，
过点作的垂线，垂足为，由垂径定理得点到直线的距离，
设直线，则，解得，
所以直线的方程为：.
故选：A.
8．【答案】B
【详解】由图可知：，所以A，C，D均错，B正确.
故选B
9．【答案】ACD
【解析】对于，由对称性可知和是圆的两条直径，所以，故A正确；
对于，由条件得，而与互补，所以，故B错误；
对于，由已知得，所以四边形的面积为，故C正确；
对于，记双曲线的半焦距为，联立解得，则，再由已知可得，所以，所以，故D正确.
10．【答案】AC
【解析】当时，，
当时，，
显然时，上式也成立，所以,.
对于，因为当时，，所以是以为首项，为公差的等差数列，正确；
对于，当时，为常数列，错误；
对于，若为递增数列，则公差，即，正确；
对于，易知,若为递增数列，结合函数性质可知解得，错误.故选.
11．【答案】AB
【分析】对于A，建立空间直角坐标系，利用向量法可判断；对于B，利用点面距离的向量公式求解即可判断；对于C，根据正方体的内切球的直径为正方体的棱长，即可判断；对于D，利用面面角的向量法求解即可判断.
【详解】
对于A，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，
所以，所以，
由于平面，所以平面，A正确；
对于B，由A可知，平面的一个法向量为，，
所以点到平面的距离为，B正确；
对于C，因为正方体的内切球的直径为正方体的棱长，
所以正方体的内切球半径为，C错误；
对于D，平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，
则，D错误.
故选：AB.
12．【答案】3
【详解】由题意得，则，
在处切线的斜率.
13．【答案】
【详解】设，焦点，.
因为为钝角，所以，
即.
整理得：.
因为点在椭圆上，
代入得解得
又因为，所以点纵坐标的取值范围.
故答案为：.
14．【答案】1
【解析】因为，且，所以，所以是以6为周期的数列.因为，所以.
15．【答案】(1)，，；(2)
【分析】（1）根据的定义求得，求出，由等比数列通项公式可得结论；
（2）由得，，然后用并项求和法结合等比数列前项和公式计算．
【解析】
（1），
又
（2），则
16．【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，利用线面平行的判定定理可得出平面；
（2）证明平面，且，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用空间向量法可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值.
【详解】
（1）取的中点，连接、，
当时，为的中点，又是的中点，且，
且，且，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，平面，
（2）由于四边形为正方形，则，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
又，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系如下图所示：
则、、、，，
，则，
设平面的一个法向量为，
由，即，令，可得，，
所以，平面的一个法向量为，
易知，为平面的一个法向量，
由题意可得，，
即，
，解得.
17．【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可；
（2）由an＝化简bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，可得到bn的通项公式，求出的通项公式，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设数列{an}的公比为q,
由＝9a2a6得＝9,
所以q2＝.由条件可知q＞0,故q＝.
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝.
故数列{an}的通项公式为an＝.
（2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－.
故.
所以数列的前n项和为
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）轴，，
又点在曲线上，
，
椭圆E的方程为
（2）根据题意画如下图：
①当直线l的斜率不存在时，不符合题意
②设直线l的方程为，，
直线I方程与椭圆方程联立得，
，，得或，
，
直线BA所在的直线方程为：，得
直线CA所在的直线方程为：，得
，
或舍去
直线l的方程为
19．【答案】(1)；
(2)见详解
【详解】（1）由题得,则
在点处的切线与直线平行,
即又
曲线在点处的切线为即.
（2）
令得或
（i）当即时,
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
（ii）当即时,恒成立,
在R上单调递增,无单调递减区间.
（iii）当即时,
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
综上所述,当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为；
当时,在R上单调递增,无单调递减区间；
当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为.
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