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第13章 勾股定理
13.1　勾股定理及其逆定理
1. 直角三角形三边的关系
第1课时 勾股定理及其证明
知识关联 探究与应用 课堂小结与检测
知识关联
（1）一个角为直角；
A
B
C
a
b
c
∠C=90°，
∠A+∠B=90°.
（2）另外两个锐角互余.
那直角三角形的三条边之间是否也存在某种特殊关系呢？
直角三角形的内角之间存在一些特殊的关系：
（4）上面三个正方形的面积之间有什么关系
（3）正方形R的面积是 cm .
（1）正方形P的面积是 cm ；
（2）正方形Q的面积是 cm ；
【探究】勾股定理
探究与应用
（图中每一格为1cm ）
1
2
1
SP+SQ=SR
R
Q
P
A
C
B
AC2+BC2=AB2
观察正方形瓷砖铺成的地面.
SP=AC2 SQ=BC2 SR=AB2
在等腰直角三角形ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方.
那一般的直角三角形的三条边之间呢？
发现：
【探究】勾股定理
探究与应用
【试一试】
P的面积(cm ) Q的面积(cm ) R的面积(cm )
图2
图3
P、Q、R面积关系 直角三角形三边关系
Q
P
R
Q
P
R
A
B
C
A
B
C
9
16
25
9
4
13
SP+SQ=SR
(每一小方格表示1cm )
BC2+AC2=AB2
（图3）
（图2）
把R看作是四个直角三角形的面积+小正方形面积.
在一般的直角三角形ABC中，两直角边的平方和也等于斜边的平方.
发现：
把R看作是大正方形的面积-四个直角三角形面积.
【探究】勾股定理
【做一做】
探究与应用
13
5
12
A
B
C
52+122=132
上述关系式成立
作出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系式对于这个直角三角形是否成立.
【探究】勾股定理
【验证】
探究与应用
证法一 赵爽弦图
a
b
c
b-a
S大正方形＝c2
S小正方形＝(b-a)2
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
证明：
这种验证勾股定理的方法是面积法.
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为
2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
知识卡
【探究】勾股定理
探究与应用
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4× ab+c2
=c2+2ab，
证法二 毕达哥拉斯证法
【探究】勾股定理
探究与应用
b
b
c
c
∴ a2 + b2 = c2.
“总统证法”的图形实质是“毕达哥拉斯证法”图形的一部分
证法三 总统证法
a
a
【探究】勾股定理
探究与应用
【概括】
由前面的探索与验证可以发现：
对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有 a2+b2=c2.
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
几何语言：
∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°，
∴a2+b2=c2（勾股定理）.
a
A
B
C
b
c
∟
【探究】勾股定理
探究与应用
【拓展】
勾股定理给出了直角三角形的三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方.
c
b
a
c2=a2 + b2
a2=c2－b2
b2 =c2-a2
已知直角三角形任意两边的长,可以求出第三边的长.
【探究】勾股定理
探究与应用
两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理.为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票.
我国是最早了解勾股定理的国家之一.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.
勾股史话
【探究】勾股定理
【应用】
探究与应用
例 在Rt△ABC中，∠B＝90°, AB=6,BC=8. 求AC的长.
解：根据勾股定理，可得
AB2 + BC2 =AC2 .
所以 AC =
应用勾股定理，由直角三角形任意两边的长，可以求出第三边的长.
方法总结
课堂小结
课堂小结与检测
勾股定理及其证明
明确直角边和斜边
如果直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c ，那么a2+b2=c2
利用勾股定理进行计算
达标检测
课堂小结与检测
1. 有下列说法：
①已知a，b，c分别是直角三角形的三边长，则必有a2＋b2＝c2；
②直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方；
③在Rt△ABC中，若∠B＝90°，边BC，CA，AB的长分别是a，b，c，
则c2＝a2＋b2；
④在Rt△ABC中，若∠A＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则b2＋c2＝a2.
其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A
达标检测
课堂小结与检测
2.如图，字母B所代表的正方形的面积是(　　)
A．12 B．13
C．144 D．194
C
达标检测
课堂小结与检测
3. 求下列直角三角形中未知边的长.
8
x
17
12
5
x
解：由勾股定理可得：
82+ x2=172
即:x2=172-82
x=15
解:由勾股定理可得：
52+ 122= x2
即：x2=52+122
x=13
达标检测
课堂小结与检测
4. 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.
(1)若c=15,b=12,求a的长;
(2)若a=5, b=12,求c的长.
解:(1)∵a2+b2=c2,∴a2=c2-b2=152-122=81.∴a=9.
(2)∵a2+b2=c2,∴c2=a2+b2=52+122=169.∴c=13.

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