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第13章 勾股定理
13.1　勾股定理及其逆定理
2. 直角三角形的判定
知识关联 探究与应用 课堂小结与检测
知识关联
有一个角是直角∠C=90°
有两个角互余
∠A+∠B=90°
a2+b2=c2
性质
一个三角形满足什么条件才能是直角三角形呢
性质1
判定1(定义）
性质2
判定2
性质3（勾股定理）
能判定吗
【探究1】勾股定理的逆定理
探究与应用
【情境导入】
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(1)
(2)
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(6)
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(11)
(12)
(13)
你知道这是什么道理吗
古埃及人曾经用下面的方法画直角：
他们用13个等距离的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形,其直角在第4个结处.
【探究1】勾股定理的逆定理
探究与应用
【试一试】
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
【思考】
1.这三组数都满足 a2+b2=c2吗？
2.分别以每组数为三边长作三角形；
3.用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
4.通过上面的探究你发现了什么？用一句话概括，和你的同桌交流一下.
【探究1】勾股定理的逆定理
探究与应用
【实验结果】：
① 5,12,13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;
② 7,24,25满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;
③ 8,15,17满足a2+b2=c2 ,可以构成直角三角形.
【探究1】勾股定理的逆定理
【思考】
探究与应用
从刚才的分组实验，有什么样的结论发现吗？
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
有同学认为测量结果可能有误差,不同意这个发现.你觉得这个发现正确吗 你能给出一个更有说服力的理由吗
这个命题的条件和结论分别是什么 请画出图形，结合图形写出已知和求证；怎样证明？和你的同桌交流一下.
【探究1】勾股定理的逆定理
探究与应用
【验证】
已知：如图，在△ABC中，AB=c, BC=a, AC=b，a +b =c ，
求证：∠C=90°.
证明：如图，作△A'B′C′,使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，
则A′B′ =a +b =c ，即A′B′=c.
在△ABC和△A′B′C′中，
∵BC=a=B′C′，
AC=b=A′C′，
AB=c=A′B′，
∴△ABC≌△A′B′C′. ∴∠C=∠C′=90°.
B′
A
B
C
A′
C′
【探究1】勾股定理的逆定理
探究与应用
【归纳总结】
如果三角形的三边长a、b、c有关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.
A
B
C
a
b
c
几何语言：
∵
∴ ∠C=90°
勾股定理的逆定理
【探究1】勾股定理的逆定理
探究与应用
1.勾股定理与勾股定理的逆定理的区别：勾股定理是已知三角形是直角三角形，然后利用三边关系解决问题，而勾股定理的逆定理则是根据三角形三边的关系判断一个三角形是否是一个直角三角形.
2.勾股定理与勾股定理的逆定理二者是互逆命题，也是互逆定理.
【探究1】勾股定理的逆定理
【应用】
探究与应用
例1 在△ABC中，AB=n -1，BC=2n，AC=n +1（n为大于1的整数）.问：△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.
解：∵AB +BC =(n -1) +(2n)
=n4 -2n +1+4n
=n4 +2n +1
=(n +1)
=AC ，
∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角.
为什么选择AB2 + BC2 ？AB、BC、CA的大小关系是怎样的？
【探究1】勾股定理的逆定理
【方法指导】
探究与应用
根据勾股定理的逆定理, 判断一个三角形是不是直角三角形, 只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边长的平方.
【探究2】勾股数
【概念】
探究与应用
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13； 6，8，10； 7，24，25； 8，15，17；9，40，41；….
【探究2】勾股数
探究与应用
(1)勾股数有无数组；
(2)一组勾股数中各数的相同正整数倍得到一组新的勾股数．
如3，4，5是勾股数，则6，8，10和 9，12，15也是勾股数；
即如果a，b，c是一组勾股数，那么na，nb，nc(n为大于1的正整数)也是一组勾股数．
【探究2】勾股数
【应用】
探究与应用
例2 下列各组数是勾股数的是( )
A.6，8，10 B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132
A
课堂小结
课堂小结与检测
直角三角形的判定
如果三角形的三边长a,b,c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
内容
作用
从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形.
勾股数
满足a2+b2=c2的三个正整数.
达标检测
课堂小结与检测
1. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则(　　)
A．∠A为直角
B．∠B为直角
C．∠C为直角
D．△ABC不是直角三角形
A
达标检测
课堂小结与检测
2. 下面四组数中是勾股数的一组是(　　)
A．6，7，8　　 B．5，8，13　　
C．1.5，2，2.5　　 D．21，28，35
D
达标检测
课堂小结与检测
3.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( )
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
A
达标检测
课堂小结与检测
4. 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
(1)a=15，b=8，c=17；
(2)a=13，b=14，c =15.
解：(1)因为 152+82=225+64=289,172 = 289，
所以152 +82 =172 ，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.
(2)因为132+142=169+196=365，152=225，
所以132+142≠152，
根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形.
达标检测
课堂小结与检测
5.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，则△BEF是直角三角形吗？
解: 由勾股定理，知
BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，
BF2=32+42=25，
∴BE2+EF2=BF2.
∴ △BEF是直角三角形.
F
A
B
C
D
E
1
3
4
2
2
4

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