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2025-2026学年九年级数学上册第一次月考测试卷（24章）
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中）
1．若ac=bd（ac≠0），则下列比例式中不成立的是( )
A． B． C． D．
2．已知△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥AB的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知是线段的黄金分割点，且，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，是两个非零向量，是一个单位向量，下列等式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，下列条件中能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.）
7．若两个相似三角形的面积之比为，则它们的对应中线之比为 ．
8．已知正数满足，则 ．
9．已知甲乙两地的距离为500米，画在地图上的距离为，那么在地图上距离为的A，B两地的实际距离为 千米．
10．如图，，，，，那么 ．

11．如果点M把线段分割成和两段，其中是与的比例中项，那么的值为 ．
12．如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为，为求出它的厚度，现用一个交叉卡钳（和的长相等）去测量零件的内孔直径．如果，且量得的长是，那么零件的厚度是 ．

13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于点O，OB=2OD，设，，那么 ．（用向量、的式子表示）
14．如图，已知点P在等边三角形的边的延长线上，，射线与的延长线交于点Q，如果，，那么 ．
15．小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即之间的距离是 ．
16．如图，四边形中，与交于点O，，，于点D．若，则 ．
17．新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图， ABC是等高底三角形，是等底，点关于直线的对称点是点，连接，如果点是的重心，那么的值是 ．

18．如图，矩形中，，，为边的中点，联结、，为边上一点，将沿翻折，如果点的对应点恰好位于内，那么的取值范围是 ．
三、解答题：（本大题共7题，共78分.）
19．已知 是 ABC的三边长，且， 求：
(1)的值．
(2)若 ABC的周长为24，求各边的长并判断该三角形的形状．
20．如图，点在的边BC上，，点在AD的延长线上，，已知．
(1)用向量分别表示向量；
(2)作出向量分别在方向上的分向量（直接作在图中，写出结论，不要求写作法）．
21．如图，已知：，垂足分别为，与交于点，过点作，垂足为．
(1)求证：；
(2)连接，求证：平分．
22．综合与实践：打卡“圆融”雕塑．
【了解】如图①，金鸡湖畔的“圆融”雕塑由两个动态扭转的圆紧密相叠而成，外圆内方，两种彼此矛盾的元素共存于一体，向世人昭示海纳百川、兼容并蓄、和谐为本的独特情怀．站在“圆融”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳．
【测高】如图②，小明在距离“圆融”雕塑底部A的的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度．
【应用】如图③，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）．
23．已知：如图， ABC中，，点是边上一点，过点作交延长线于点，．
(1)求证：；
(2)求证：．
24．如图，函数的图像经过点、，点的坐标为．过点作轴，（点位于点的下方），过点作轴，与函数的图像交于点，过点作于点，连接、．
(1)求的面积；
(2)延长交于点，当时，求的长；
(3)连接，取中点，以线段为较长直角边作，使与相似，求出点坐标．
25．在平行四边形中，，分别为边，上两点．
(1)当是边中点时，
①如图（1），联结，如果，求证：；
②如图（2），如果，联结，交边于点，求的值；
(2)如图（3）所示，联结，，如果，，，．求的长．
参考答案
一、选择题
1．C
【分析】根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、由得，ac=bd，故本选项错误；
B、由得，ac=bd，故本选项错误；
C、由 得，ad=bc，故本选项正确；
D、由 得，ac=bd，故本选项错误．
故选C．
2．D
【分析】若使线段DE∥AB，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定DE∥AB．
【详解】解：如图，若使线段DE∥AB，则其对应边必成比例，
即＝，＝，故选项A、B可判定DE∥AB；
＝，即＝，故选项C可判定DE∥AB；
而由＝不能判断DE∥AB，故D选项答案错误．
故选：D．
3．C
【分析】将关于对称得，可知是的黄金分割点，可得
【详解】解：将关于对称得，根据黄金分割的定义可知是的黄金分割点，
答案：C
4．D
【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．
【详解】A、得出的是a的方向不是单位向量，故错误；
B、左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故错误；
C、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；
D、符合向量的长度及方向，故正确.
故选D．
5．A
【分析】本题主要考查添加条件式三角形相似，根据已知相似三角形的逐一判断选项是否符合条件即可．
【详解】解：．若，则，
∵，
∴，该选项正确，符合题意；
．若，无法得出和 ABC对应边成比例，该选项错误，不符合题意；
．若，无和 ABC对应边成比例，选项错误，不符合题意；
．若，无和 ABC对应边成比例，该选项错误，不符合题意；
故选：A．
6．B
【详解】解：∵EF是点B、D的对称轴，
∴△BFE≌△DFE，
∴DE=BE．
∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°，
∴∠BDE=∠DBE=45°，
∴∠DEB=90°，
∴DE⊥BC．
在等腰梯形ABCD中，
∵=，
∴设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G，
∴四边形AGED是矩形，
∴GE=AD=1，
∵Rt△ABG≌Rt△DCE，
∴BG=EC=1.5，
∴AG=DE=BE=2.5，
∴AB=CD==，
∵∠ABC=∠C=∠FDE，∠CDE+∠C=90°，
∴∠FDE+∠CDE=90°，
∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°，
∴∠BDC=∠DFE，
∵∠DEF=∠DBC=45°，
∴△BDC∽△DEF，
∴，
∴DF=，
∴BF=，
∴AF=AB﹣BF=，
∴=．
故选B．
二、填空题
7．
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比得到相似比，即可解答，掌握相似三角形的面积之比是相似比的平方是解题的关键．
【详解】解：∵两个相似三角形面积之比为，
∴两个相似三角形相似比为，
∴它们的对应中线之比为，
故答案为：．
8．2025
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质、正确变形是解题的关键；
根据题意可得，再利用比例的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴
∵为正数
∴；
故答案为：2025．
9．
【分析】本题主要考查了地图上距离的比值等于实际距离的比值．根据地图上距离的比值等于实际距离的比值即可求解．
【详解】解：设、两地的实际距离为千米．
根据题意得到：，
解得：千米．
故答案为：．
10．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，则，然后利用可计算出的长．
【详解】解：∵，，，
∴，即：，
∵，且，
∴，
可得：，
故答案为：．
11．
【分析】根据黄金分割点的定义即点把线段分成两条线段，较长线段是较短线段和全长线段的比例中项，这个点就是线段的黄金分割点，列式判断即可．
本题考查了一元二次方程的实际应用及黄金分割点的定义，熟练掌握黄金分割是解题的关键．
【详解】解：根据题意，，则，
∵是与的比例中项，
∴，
整理，得
解得
∴，（舍去），
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长，再根据某零件的外径为，即可求得x的值．
【详解】解∶∵，，
∴，
∴，
∵的长是，
∴，
∵零件的外径为，
∴零件的厚度为∶，
故答案为：．
13．
【分析】先证明△AOD∽△COB，推出=，求出，由三角形法则得出即可根据求出答案．
【详解】∵OB=2OD，
∴，
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴=，
∴，
∵,
∴=，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键．通过等边三角形的性质结合外角证明即可求解．
【详解】解：如图，
∵等边三角形，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
15．
【分析】先根据图1求EQ与CD之间的距离，再求出BQ，即可得到之间的距离= EQ与CD之间的距离+BQ．
【详解】解：过点E作EQ⊥BM，则
根据图1图形EQ与CD之间的距离=
由勾股定理得：，解得：；
，解得：
∵
∴
∵EQ⊥BM，
∴
∴
∴之间的距离= EQ与CD之间的距离+BQ
故答案为．
16．
【分析】过点C作交于E，判断出，进而利用判断出，得出，，进而证明，再结合相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：如图，过点C作交于E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】延长与交于点，根据轴对称性质得，，，再由 ABC是等高底三角形，是等底，得，再根据三角形的重心定理得，设，则，由勾股定理用表示，进而计算的值便可．
【详解】解：延长与交于点，如图所示：

点A关于直线的对称点是点，
，，，
是等高底三角形，是等底，
，
点是的重心，
，
设，则，
，
故答案为：．
18．解：如图1，当时，的值最小，此时点的对应点落在上，
，
四边形是矩形，
，即，
，
，
，
即
解得：；
如图，当平分时，最长，此时点的对应点落在上，连接，
由题意可知，，
在中，，，
由翻折可知，
设，则，，
在中，，
在中，
解得：
则此时，
综上所述，如果点的对应点恰好位于内，那么的取值范围是；
故答案为：．
三、解答题
19．（1）解：，
设，，，
；
（2）解：设，，，
的周长为24，
可得，
解得，
，
，
是直角三角形．
20．（1）解：∵，
∴，
∴，
∵与方向相同，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图，向量在、方向上的分向量如图，
∵过点D作，交于点N，作交于点M，
∴，
∴，，
∴
∵与方向相同，与方向相同，
∴，，
所以，向量在、方向上的分向量分别为、．
21．（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴平分．
22．解：[测高]如图②，延长，交于M，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴（负值舍去），
答：雕塑顶部距离地面的高度为；
[应用]延长，交于T，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，，
∴，，
过Q作于S交于R，
则，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：此时相机镜头距离地面的高度约为．
23．（1）证明：，
，
在与中，，，
，
，，
又，
，
在与中，，是公共角，
，
，
即；
（2）解：延长、交于点，如图：
，，由三角形内角和可得，
，
又，
，
在与中，，，
，
，
即．
24．（1）解：的图象经过点
，
轴， ，
∴点的坐标为，
轴，点在函数图象上
∴点的坐标为，
∴
，
（2），
，
，
点的纵坐标
由反比例函数 ，
点的横坐标，
设直线的解析式为，代入和得：
，解得，
∴，
当时，，
∴；
（3）过点Q作交x轴于点N，交y轴于点M，
∵Q是的中点，
∴点Q坐标为，且，
∴，
即，
∴点M的坐标为，点N的坐标为，
线段为较长直角边作，使与相似，
∴，
∴点P在上且点P为或的中点，
∴点的坐标为或．
25．（1）解：①如图所示，延长交于H，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是边中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，延长交于M，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴ BEG∽ MAG， BCF∽ MDF，
∴，，
∴，
∵是边中点，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴；
∴，，
设，则，
∴，
∴；
（2）解；如图所示，延长交于M，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，即
∴，
∵，即，
∴，
∴；
∵，
∴，即，
∴，解得或（舍去），
∴．

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