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2025-2026学年九年级数学上册第一次月考测试卷（二十四章）
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.）
1．下列各组线段中，能组成比例线段的是（ ）
A．1，2，3，4 B．1，2，4，8
C．3，4，5，6 D．0.1，0.2，0.3，0.4
2．下列选项中的两个图形一定相似的是（ ）
A．两个等边三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个等腰三角形
3．已知线段，，如果线段c是线段a和b的比例中项，那么线段c的长为（ ）
A． B． C． D．
4．已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列关于向量的说法中，不正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则或
6．如图，在 ABC中，中线与中线相交于点G，连结．下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.）
7．如果，那么 ．
8．如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应边上的中线之比为 ．
9．在比例尺为的地图上甲地到乙地的距离是5厘米，则甲乙两地的实际距离是 千米．
10．已知点是线段的黄金分割点，，已知，则 ．
11．如图，已知，请添加一个条件 ，使得．

12．如图，，，，那么的长等于 ．
13．图1是装了液体的高脚杯示意图数据如图，用去一部分液体后如图2所示，此时液面
14．如图，在△中，点是边的中点，设，用的线性组合表示是 ．
15．如图，点F是 ABC的重心，连接并延长交于点E，过点E作交于D．那么的值为 ．
16．如图，在 ABC中，，正方形的边在 ABC的边上，定点、分别在边、上，如果正方形面积为，那么的值为 ．
17．定义：如图1，点，把线段分割成、和，如果以、、为边的三角形是一个直角三角形，那么称点、是线段的勾股分割点．问题：如图2，在中，已知点、是边的勾股分割点（线段，射线、与射线分别交于点、．如果，，，那么的值为 ．
18．如图，在中，，，，点是边上一点，将沿着过点的一条直线翻折，使得点落在边上的点处，连接，如果，那么的长为 ．
三、解答题：（本大题共7题，共78分.）
19．已知：．
(1)求代数式的值；
(2)当时，求a、b的值．
20．在平行四边形中，点是的中点，相交于点．

(1)设，试用表示；
(2)先化简，再求作：（直接作在图中）．
21．如图，已知，与相交于点，点在线段上，，．
(1)求证：；
(2)求．
22．已知图1、图2、图3都是的正方形网格图，每个最小的正方形的边长都为1，它的顶点叫做格点．
(1)填空：如图1，点A、点B、点C、点D都是格点，连接、并延长交于点O，那么的长为______；
(2)尺规作图是起源于古希腊的数学课题，在初中阶段的数学学习中我们已经有所了解和掌握，这里所使用的尺是指无刻度的直尺．我们规定在正方形网格图中，无刻度的直尺只能用来连接格点作线段．
以下两题请你只能使用无刻度的真尺和铅笔作图（保留作图痕迹）：
①如图2，点A、点B、点C都是格点，作出 ABC的重心G；
②如图3，点A、点B、点C、点D都是格点，在边上作出点M，使得与相似．
23．如图，在 ABC中，是边上的中线，点在上（不与重合），连接、，并延长交于点．
(1)求证：；
(2)当时，求证：．
24．如图，一次函数的图像与轴，轴分别相交于点，，点的坐标为，点为延长线上一点．
(1)求出点，点的坐标；
(2)如果，求点坐标；
(3)若为轴上一点，且与 ABC相似，求点的坐标．
25．在平行四边形中，对角线与边垂直，，四边形的周长是，点是在延长线上的一点，点是在射线上的一点，．
(1)如图1，如果点与点重合，求的余切值；
(2)如图2，点在边上的一点．设，，求关于的函数关系式并写出它的定义域；
(3)如果，求的面积．
参考答案
一、选择题
1．B
【分析】此题考查了比例线段．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，选项一一分析，排除错误答案即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．A
【分析】本题考查的是相似图形的判断，掌握形状相同的图形称为相似图形是解题的关键．
根据相似图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A、两个等边三角形，三个角都是
∴它们是相似图形，符合题意；
B、两个矩形四个角都是，但对应边的比不一定相等
∴它们不是相似图形，不符合题意；
C、两个菱形角不一定相等
∴它们不是相似图形，不符合题意；
D、两个等腰三角形对应边的比不一定相等，
∴它们不是相似图形；
故选：A．
3．B
【分析】根据比例中项的定义，成比例线段，构建方程即可解决问题．
本题考查比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用成比例线段性质列出等式，属于中考常考题型．
【详解】解：解：∵线段c是线段a和b的比例中项，
∴，
∵，，，
∴，
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握比例的性质，线段成比例的计算方法是解题的关键．
根据作，结合线段成比例的计算方法判定即可．
【详解】解：A、已知线段，求作线段，作，可以运用平行线分线段成比例得到，故作图合理，不符合题意；
B、求作线段的值，即运用确定的的计算，B选项中需要确定的长度，点A也可以在点C的右边，故无法保证，故作图不合理，符合题意；
C、如图，交于点，，
∴，
∴，即，
∴，故作图合理，不符合题意；
D、如图所示，，交于点，，
∴，
∴，即，
∴，故作图合理，不符合题意；
故选：B ．
5．D
【分析】本题考查了向量与实数的运算，向量既有方向性又有大小，解决本题的关键是根据向量的性质进行运算法则逐一进行判断即可．
【详解】解：A选项：数与向量的乘积的模等于这个数与向量的模的乘积，，故A选项正确；
B选项：数与向量和的乘积等于该数与各个向量乘积的和，，故B选项正确；
C选项：，是与的方向相同或相反，，故C选项正确；
D选项：向量既有大小，又有方向，若且，则或，故D选项错误．
故选： D．
6．C
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中线性质，以及中位线的判定与性质，关键是掌握相似三角形的性质．由分别为的中点，分别是、的中点，得到是 ABC的中位线，推出，，进而得到，由相似三角形的性质即可判断选项A、B、C，再利用三角形中线性质，即可判断D项．
【详解】解：与是 ABC的中线，
，分别是、的中点，
，，
，
，
即，
故选项A错误，不符合题意；
，
，
故选项B错误，不符合题意；
，
，
，
故选项C正确，符合题意；
是 ABC的中线，
，
是 ABC的中线，
是的中点，
是的中线，
，
，
，
故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
二、填空题
7．
【分析】本题主要考查了比例的性质．设，代入求值即可．
【详解】解：∵
∴可设
∴．
故答案为：．
8．
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据“两个相似三角形的相似比等于它们的周长比，也等于它们的中线比，”进行求解即可．
【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为，
∴它们的对应边上的中线之比为，
故答案为：．
9．
【分析】根据实际距离图上距离比例尺，列式计算即可．
本题考查了比例尺的应用，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得实际距离为：．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键．由题意得，，，计算求解即可．
【详解】，
，则，
又∵已知点是线段的黄金分割点，，
，
，
解得：．
故答案为：．
11．或或（答案不唯一）
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．熟练掌握有两组角分别对应相等的三角形相似是解题的关键．
【详解】解：添加，
∵，
∴，即，
∵，
∴；
添加，
∵，
∴，即，
∵，
∴；
添加，
∵,
∴，即，
∵，
∴；
故答案为：或或（答案不唯一）．
12．
【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理得到，求出，即可求出的长．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
【详解】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：
14．
【分析】本题考查了向量的运算，掌握向量的运算法则是解题关键．
先根据向量运算求出，再根据线段中点的定义可得，然后根据向量运算即可得．
【详解】解：，，
，
点D是边的中点，
，
，
故答案为：．
15．
【分析】此题考查了三角形的重心．熟练掌握三角形的重心是三角形三边中线的交点，相似三角形的判断和性质，是解决问题的关键．
根据三角形重心的性质得到，根据平行线性质得到，根据相似三角形性质得到．
【详解】解：∵点F是的重心，
∴点E为的中点，
∴，
∵，
∴
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，正方形的性质，综合灵活应用知识是解决问题的关键．由已知条件，可证明，进而利用相似三角形对应边成比例得到，转化为等积式利用正方形面积求解即可．
【详解】解：∵在正方形中，
∴，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
∵正方形面积为
．
故答案为：18．
17．
【分析】本题考查勾股定理及应用，涉及新定义，相似三角形的判定与性质，解题的关键是读懂新定义，用含的式子表示和．由点、是边的勾股分割点（线段，，，可得，而，即得，，，，从而可得答案．
【详解】解：点、是边的勾股分割点（线段，，，
，
，
，，
，
，
，
同理，
，
．
故答案为：．
18．
【分析】利用三角形内角和，以及平角180度，推导出平分，设，则，利用三角形等面积法和相似三角形性质求出的长，再利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．
【详解】解：根据题意如图所示：
在中，，
，，
，
根据折叠的性质可知，
，，
，
，
平分，
设，则，
如图，过点作于点，于点，
，
，
，
，，
∴，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题
19．（1）解：，
令，
原式；
（2）解：，
令，
故，
解得，
20．（1）解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
则，
∵点是的中点，
∴，
则，
∴，
∵，
∴．
（2），
∵，
∴，
过点E作，则，
∴，如图，即为所求．

21．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．（1）解：由图形可得，，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）解：①如图2， ABC的重心G即为所求：
②如图3作点与关于对称，连接与的交点即为点M，
此时，，
∴．
23．（1）证明：∵，
，
，
又是边上中线，
，
，
又，
；
（2）证明：，
，
，
又，
，
，
又， ，
，
，
．
24．（1）解：一次函数的图像与轴，轴分别相交于点，，
令，得，令，得，
，；
（2）解：根据题意，有两种情况，如图，分别设为，，
，，
，
，
，
由（1）知，，
又，
，，
，
设，
，
化简得：，
解得：或，
在第一象限，，
，
；
设，
，
，
又，，
，
，
化简得：，
解得：或（舍去），
；
综上所述，点坐标为或；
（3）解：由题意得点应位于点左侧，
当时，如下图所示，设，
，
，
由（2）知，
又，，
，
化简得：，
解得：或（不符合题意，舍去），
；
当时，如下图所示，设，
，
又，
，
化简得：，
解得：或（不符合题意，舍去），
，
综上所述，点的坐标为或．
25．（1）∵，
∴设AB=3k，AC=4k，AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC==2k，CD∥AB，
∵AC⊥CD，
∴AC⊥AB，
∴BC==5k，
∵四边形ABCD的周长为16，
∴5k+5k +3k +3k=16，
解得k=1，
∴AB=3，AC=4，BC=5，OA= 2，
∴cot∠AFD=；
（2）∵∥，
∴,，
∵，
∴，
∴△∽△，
∴，
∵，，，
∴， ， ，
∴，
∴，
定义域是：.
（3）解：点在射线上都能得到：△∽△
∴，
①当点在边上，
∵，∴，
由题意，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
②当点在的延长线上
∵，，
∴，
由题意， 得，
∴，
∴，
∴，
综上所述，△的面积是或．

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