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第25章《锐角的三角比》单元测试卷
一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.）
1．在锐角△ABC中，如果各边长都扩大2倍，那么∠B的余弦值（ ）．
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．大小不变 D．不能确定.
2．以下与tan30°大小相等的是（　　）
A．cos60° B．cot60° C．cot30° D．tan60°
3．在RtABC中，∠C＝90°，sinA，BC＝2，则AB等于（　　）
A． B．4 C．4 D．6
4．如图，在 ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
5．修筑一坡度为3︰4的大坝，如果设大坝斜坡的坡角为，那么的正切值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，为斜边的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，△的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．若为锐角，且，则（ ）
A．0°< <30° B．30°<<45°
C．45°<<60° D．60°<<90°
9．△中，，那么三边是（ ）
A．1：2：3 B． C． D．
10．如图，菱形的边长为6，对角线，相交于点O，交的延长线于E，若，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．1
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．）
11．计算： ．
12．在 ABC中，，，，则的余切值为 ．
13． ABC中，若，则 度．
14．已知点P位于第一象限内，，且与x轴正半轴夹角的正弦值为，那么点P的坐标是
15．如图，甲、乙两楼的楼间距为10米，小杰在甲楼楼底处测得乙楼楼顶的仰角为，在乙楼楼底处测得甲楼楼顶的仰角为，那么乙楼比甲楼高 米（结果保留根号）．
16．如图，中，，于点，如果，，那么的值是
17．在矩形中，．将矩形绕点B按顺时针方向旋转得到矩形，点A的对应点为点E，且在边上，如果，联结，那么的长为 ．
18．我们把只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻补四边形”．如图，在 ABC中，，，点分别在边、上．如果四边形是“邻补四边形”，那么四边形的面积是 ．
三、解答题：（本大题共7题，共78分.）
19．计算：．
20．已知，在中，，，．求：
(1)的长；
(2)的值．
21．如图所示，在 ABC中，，是边上的中线，过点D作，垂足为E，若．
(1)求的长；
(2)求的正切值．
22．如图，某地下车库的入口处有斜坡，它的坡度为，斜坡的长为，斜坡的高度为，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为（图中的）．

(1)求车库的高度；
(2)求点与点之间的距离（结果精确到，参考数据：，，．
23．如图，在四边形中，，，，，．
(1)求的值；
(2)连接交于点，求的长．
24．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，且与轴的交点为点．

(1)求此抛物线的表达式及对称轴；
(2)求的值；
(3)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由．
25．如图，在梯形中，，，，，，点为射线上任意一点，过点作，与射线相交于点．连接，与直线相交于点，设，
(1)求梯形的面积；
(2)当点在线段上时，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
(3)若，求线段的长．
参考答案
选择题
1．C
【分析】由于△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角B的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角B的余弦函数值也不变．
【详解】解：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似，
所以锐角B的大小没改变，所以锐角B的余弦函数值也不变．
故选：C．
2．B
【分析】分别求出特殊角锐角三角函数值，即可求解．
【详解】解：因为 ，
A、 ，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、 ，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．D
【分析】在中，，由和，可求出．
【详解】解：在中，，
，，
，
故选：D．
4．B
【分析】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题．
【详解】∵中，，、、所对的边分别为a、b、c
∴，即，则A选项不成立，B选项成立
，即，则C、D选项均不成立
故选：B．
5．C
【分析】根据坡度为坡角的正切值，即可判断出正确的选项.
【详解】由题意得：
tanα=.
故选：C.
6．D
【分析】根据三角函数的定义计算判断即可．
【详解】解：A、由，故该项错误，不符合题意；
B、由，故该项错误，不符合题意；
C、由，故该项错误，不符合题意；
D、由，故该项正确，符合题意；
故选D．
7．B
【分析】本题考查了网络作图．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，正弦定义，是解题的关键
．取点D，连接，根据，得，得是直角三角形，，即得．
【详解】解：取点D连接，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴．
故选：B．
8．D
【分析】首先根据锐角余弦函数值，随角度的增大而减小，然后根据特殊角的三角函数值，确定在哪两个特殊值之间即可．
【详解】解：∵cos60°=，cos90°=0，
∵0＜＜，
∴cos90°＜cosA＜cos60°，
∴60°＜A＜90°．
故选D．
9．B
【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为点D，由∠C＝90°，tanA＝，设CD＝x，得出AD＝2x，再由勾股定理得出AC＝x，由三角形的面积得出AC BC＝CD AB，得出BC：AB＝1：，进一步利用勾股定理得出AC，得出三边的比即可．
【详解】解：如图，
过点C作CD⊥AB，垂足为点D，
∵∠C＝90°，tanA＝，设CD＝x，
∴AD＝2x，
∴AC＝＝x，
∵AC BC＝CD AB，
∴BC：AB＝CD：AC＝1：，
由勾股定理的AC＝＝，
∴BC：AC：AB＝1：：．
故选：B．
10．B
【分析】首先根据菱形的性质得到，，然后勾股定理求出，得到，然后利用代数求出，然后利用勾股定理求解即可．
此题考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
【详解】∵菱形的边长为6，
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
解得
∴．
故选：B．
二、填空题
11．
【分析】本题考查了求特殊角的三角函数值，将特殊角的三角函数代入，即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，直接根据锐角三角函数的定义解答即可，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：在 ABC中，，，，
∴的余切值．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查特殊角的三角函数值、非负数的性质、三角形的内角和定理，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．
根据非负数的性质可求出和的值，根据特殊角的三角函数值，求出和的值，再根据三角形的内角和是180度，求出的值．
【详解】解：由题意知，，
，，
∴，，
∴，
故答案为：105．
14．
【分析】本题考查了勾股定理以及坐标与图形，解直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出，代入，则，然后运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：依题意，如图：过点P作轴：
∵与x轴正半轴夹角的正弦值为，
∴，
∵，
∴，
则，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在和中，利用三角函数的定义分别求得和的长，据此计算即可求解．
【详解】解：在中，米．
在中，米，
米．
故答案为：．
16．
【分析】根据题意得出，继而根据余弦的定义即可求解．
【详解】解：∵中，，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查的是旋转的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形．过G作于点H，根据旋转变换的性质得到，，根据解直角三角形求出，，证明，进而求得根据勾股定理便可求得．
【详解】解：过G作于点H，
由旋转变换的性质可知， ，
∵，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，，
，
，
故答案为：．
18．或
【分析】本题考查了解直角三角形，“邻补四边形”的定义．分四种情况讨论，作于点，利用四边形的面积，列式计算即可求解．
【详解】解：作于点，
∵，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，，
∵四边形是“邻补四边形”，
分情况讨论，
①当时，
∵，，
∴这种情况不符合题意，舍去；
②当时，由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点和点重合，
∴这种情况不符合题意，舍去；
③当时，同②得，
∴，
∴，
∴，
作于点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴四边形的面积是；
④当时，
同理，
∴，
设，则，，
∵，
∴，即，
解得，
则，，，
∴四边形的面积是；
故答案为：或．
三、解答题
19．解：原式
．
20．（1）解：如图，

在中，，，，
∴，
∴．
由勾股定理，得；
（2）．
21．（1）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
，
∴．
（2）解：过点A作于点F，如图所示．
∵是边上的中线，
∴．
∵，
∴
∴，
∴．
∴，
∴．
∴．
22．（1）根据题意，得
．
所以，．
所以，．
所以，车库的高度为．
（2）根据题意，得
，．
所以，．
所以，点与点之间的距离为．
23．（1）∵
∴
∴
∵，，
∴
∴
∴；
（2）如图所示，连接交于点，
∵，，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴，即
∴．
24．（1）解：根据题意：，
解得，
抛物线表达式为，
抛物线的对称轴为：直线；
（2）解： 抛物线与轴相交于点，
点坐标是，
作轴，垂足为．作，交的延长线于点．

，
，，
．
，
．
．
；
（3）解：存在，理由如下：
为直角边，
只可能有两种情况：或．
设点坐标为
①当，作，垂足为，作，垂足为．

，．
，，
，
；
，可求得，（舍．
；
②当，作轴，垂足为．
，．

，，
，
；
，可求得（舍，．
；
综上所述，点的坐标是或．
25．（1）过点、作，
∵梯形中，，，，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴梯形面积；
（2）由得，，
，
设，
则
解得
∵，
∴
∴定义域：
（3）由，得
过点作，设面积为，
∵，，
∴，，
∴，
∴
∴，
①若点在边上，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②若点在边延长线上，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
综上可知，段的长为或．

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