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第二十四章《相似三角形》单元测试卷
一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分）
1．下列各组图形中一定是相似形的是（ ）
A．两个等腰梯形 B．两个矩形 C．两个直角三角形 D．两个等边三角形
2．在 ABC中，点D、E分别在上，且，那么下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知每个小正方形的边长均为1， ABC与的顶点都在小正方形的顶点上，那么与 ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知P是线段的黄金分割点，且，下列各式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在ABC中，D，E分别是AB,AC上的点，且DE// BC，若AE： EC=1： 4，那么的值为（ ）
A．1∶16 B．1∶18 C．1∶20 D．1∶24
6．如图，在 ABC中，点分别在边上，下列条件中，不能确定的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，是两个非零向量，是一个单位向量，下列等式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，M是AC的中点，P,Q为BC边上的点，且BP=PQ=CQ，BM与AP,AQ分别交于D,E点，则BD∶DE∶EM等于

A．3∶2∶1 B．4∶2∶1 C．5∶3∶2 D．5∶2∶1
9．如图，四边形的对角线与相交于点，，，，，那么下列结论中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．）
11．如果两个相似三角形面积的比为，那么它们周长的比为 ．
12．已知线段MN的长是20cm，点P、Q都是线段MN的黄金分割点，则点P、Q之间的距离是 cm．
13．如图，在 ABC中，点D、E、F分别在边、、上，，，如果，那么的值是 ．
14．如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点，交于点，，设，．用向量、分别表示向量 ．
15．如图， ABC中，矩形的顶点、在边上，、分别在边、上，，，则矩形的周长为 ．
16．如图， ABC中，点、分别在边、上，且，与相交于点，如果是 ABC的重心，那么= ．
17．如果一个三角形的两个内角与，满足，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”，已知在中，，，，点在边上，且是“倍角互余三角形”，那么的长等于 ．
18．如图，在中，， 中，，已知，交于点，为上一点，且．当时，则线段的长度是 ．
三、解答题：（本大题共7题，共78分.）
19．若实数满足，求的值．
20．如图，中，为中点，为上一点，的延长线交于点，的延长线交于点，，且过点与、分别交于点和点．求证：

(1)；
(2)．
21．如图，已知梯形中，，、分别是、的中点，与交于点，为上一点，．
(1)求的值；
(2)设，，如果，那么________，________．(用向量、表示)
22．已知图1、图2、图3都是的正方形网格图，每个最小的正方形的边长都为1，它的顶点叫做格点．
(1)填空：如图1，点A、点B、点C、点D都是格点，连接、并延长交于点O，那么的长为______；
(2)尺规作图是起源于古希腊的数学课题，在初中阶段的数学学习中我们已经有所了解和掌握，这里所使用的尺是指无刻度的直尺．我们规定在正方形网格图中，无刻度的直尺只能用来连接格点作线段．
以下两题请你只能使用无刻度的真尺和铅笔作图（保留作图痕迹）：
①如图2，点A、点B、点C都是格点，作出 ABC的重心G；
②如图3，点A、点B、点C、点D都是格点，在边上作出点M，使得与相似．
23．已知：如图，在正方形中，点E、F分别在边、上，且．对角线分别交、于点M、N，联结、．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)过点C作交的延长线于点P，如果，求证：．
24．在梯形中，，．（如图1）
(1)试求的度数；
(2)若E、F分别为边上的两个动点（不与端点A、D、C重合），且始终保持，与交于点．（如图2）
①求证：；
②试判断的形状（从边、角两个方面考虑），并加以说明；
③设，试求关于的函数解析式，并写出定义域．
25．已知直角平面内有一条直线和一条曲线，这条直线与x轴、y轴分别交于点A和B，且，这条曲线是函数的图像在第一象限内的一个分支，点P是图像上的任意一点，它的坐标为，由点P向x轴、y轴作垂线，，垂足为M，N，分别与直线相交于点E和点F．
(1)设交点E，F都在线段上（如图①）
①直接写出直线的解析式，并求出的面积（结果用a，b的代数式表示）；
②求证：.
(2)当点P在曲线上运动时，（如图②）
①判断：与是否一定相似？答：_______（填：是或否）
②中是否有大小始终保持不变的角，如果有，请找出这个角，并求出它的大小，如果没有，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．D
【分析】根据相似形的形状相同、大小不同的特点，再结合等腰梯形、矩形，直角三角形、等边三角形的性质与特点逐项排查即可．
【详解】解：A、两个等腰梯形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误；
B、两个矩形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误；
C、两个直角三角形的形状不一定相同，则不一定相似，故本选项错误；
D、两个等边三角形的大小不一定相同，但形状一定相同，则一定相似，故本选项正确．
故选D．
2．C
【分析】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质等知识点，掌握根据平行线分线段成比例定理及推论判断比例式是解答此题的关键．
由题意可得，根据相似三角形的性质、平行线分线段成比例定理逐项判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
A．∴，则，即，
∴，即，故A正确，不符合题意；
B． ，则B正确，不符合题意；
C． ，则C错误，符合题意；
D． ，D正确，不符合题．
故选：C．
3．A
【分析】首先由勾股定理求得各三角形的三边长，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】解：，
A、∵，
∴，
∴△DEF与△ABC相似；
B、∵，
∴，
∴△DEF与△ABC不相似；
C、∵，
∴，
∴△DEF与△ABC不相似；
D、∵，
∴，
∴△DEF与△ABC不相似．
故选：A．
4．C
【分析】根据黄金分割的概念得到比例式，据此逐项分析即可解答．
【详解】解：∵P是线段的黄金分割点，且，
∴，即A选项正确，不符合题意；
∵P是线段的黄金分割点，
∴，即，则B选项正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，故C选项错误，符合题意；
∵，
∴整理得：，即D选项正确，不符合题意．
故选：C．
5．C
【分析】由已知条件可求得，又由平行线分线段成比例可求得，结合S△BDE=S△ABE-S△ADE可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴S△BDE=4S△ADE，
又∵S△BDE=S△ABE-S△ADE，
∴4S△ADE=S△EBC-S△ADE，
∴，
故选：C．
6．C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形判定定理是解题的关键．
根据相似三角形的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：A．由，可判定，故A选项正确，不符合题意；
B．由可判定，故B选项正确，不符合题意；
C．由可得，但没有夹角相等，故C选项错误，符合题意；
D． 由可得且，可判定，故D选项正确，不符合题意．
故选：C．
7．D
【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．
【详解】A、得出的是a的方向不是单位向量，故错误；
B、左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故错误；
C、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；
D、符合向量的长度及方向，故正确.
故选D．
8．C
【分析】过A作AF∥BC交BM延长线于F，设BC=3，则BP=PQ=QC=；根据平行线间的线段对应成比例的性质分别求出BD、BE、BM的长度，再来求BD，DE，EM三条线段的长度，即可求得答案．
【详解】过A作AF∥BC交BM延长线于F，设，

则；
∵，∥，
∴，
∴，
∵∥，
∴，
∴，
∵∥，
∴，
∴，即，
∵∥，
∴，
∴，即，
∴，，
∴．
故选：C．
9．C
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．先证出和，再根据相似三角形的性质，对选项逐个分析判断即可得出结论．
【详解】解：，，，，
，，
又，，
，，
，故A选项结论正确，不符合题意；，故B选项结论正确，不符合题意；
，，
，，
，故C选项结论错误，符合题意；
，，
，，
，故D选项结论正确，不符合题意；
故选：C．
10．B
【详解】解：∵EF是点B、D的对称轴，
∴△BFE≌△DFE，
∴DE=BE．
∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°，
∴∠BDE=∠DBE=45°，
∴∠DEB=90°，
∴DE⊥BC．
在等腰梯形ABCD中，
∵=，
∴设AD=1，BC=4，过A作AG⊥BC于G，
∴四边形AGED是矩形，
∴GE=AD=1，
∵Rt△ABG≌Rt△DCE，
∴BG=EC=1.5，
∴AG=DE=BE=2.5，
∴AB=CD==，
∵∠ABC=∠C=∠FDE，∠CDE+∠C=90°，
∴∠FDE+∠CDE=90°，
∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°，
∴∠BDC=∠DFE，
∵∠DEF=∠DBC=45°，
∴△BDC∽△DEF，
∴，
∴DF=，
∴BF=，
∴AF=AB﹣BF=，
∴=．
故选B．
二、填空题
11．
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，进行求解即可．
【详解】解：由题意，相似三角形的相似比为：，
∴它们周长的比为；
故答案为：．
12．
【分析】设 ，则 ，根据题意得： ，可求出 ，从而得到，同理可得，即可求解．
【详解】解：如图，设 ，则 ，
根据题意得：
，解得： ，
即 ，
则 ，
同理 ，
所以点P、Q之间的距离是 ．
故答案为： ．
13．
【分析】根据得到，根据比例的性质可得，再根据，即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质．注意掌握平行四边形性质与平面向量的知识是解此题的关键．
根据求得，再根据，求得，然后根据平行四边形性质与相似三角形的判定与性质求得，即可由求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
15．9
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正确利用相似三角形的性质是解题的关键．
过点作于，根据面积求得，由和分别求出，即可求求解周长．
【详解】解：过点作于，
∵，，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴矩形的周长为，
故答案为：9．
16．
【分析】本题考查了重心的性质，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握中线，相似三角形的判定与性质是解题的关键．由F是 ABC的重心，，可得分别为的中点，则，，即；如图，连接并延长，交于，则，可求，然后求解作答即可．
【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接交于点，
∵点是三角形的重心，则是的中点，则是的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴
∴，
∴，即，
∵F是 ABC的重心，
∴分别为的中点，
∵，
∴，
∴，即；
∵
∴，，
∴，即，
∴，
故答案为：．
17．或
【分析】运用勾股定理得到，分类讨论：如图所示，过点作于点，设，第一种情况，当时，，，，设，则，在中，，列式求解；第二种情况，当时，，，，，即，由此即可求解．
【详解】解：在中，，，，
∴，
如图所示，过点作于点，设，
第一种情况，当时，
∵，
∴，
∴是角平分线，
∵，即，且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，，
∴，
∴；
第二种情况，当时，，
∴，且，
∴，
∴，
∴，即，
解得，，
∴；
综上所述，的长等于或，
故答案为：或 ．
18．
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识．首先根据等角的余角相等证明，再设，表示出，然后利用勾股定理列式求出，再根据相似三角形对应边成比例列式求出然后在中，利用勾股定理列式求解即可．
【详解】，
，
又，
，
，
，
，
，且
设，则，
，
，
，
，
如图，过点O作于点D，
，
．
在中，，
，
，
∴，
，即，
解得，
，
，
，
，
，，
，
在和中，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
．
故答案为：．
三、解答题
19．解：∵，
∴，
设，
则，
，
，
即，
所以或，
当时，则，
，同理，，
所以
；
当时，
所以
，
综上，值为8或．
20．（1）证明：，
．
，
．
由为中点，即可证得．
（2）证明：连接．

，
．
由（1）可得，
，
，
．
21．（1）解：，点为的中点，
为的中位线，
点为的中点，
又点为的中点，
为的中位线，
，，即
（2）解：，，
，
，
，
，
即，
，
，
故答案为：，．
22．（1）解：由图形可得，，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）解：①如图2，的重心G即为所求：
②如图3作点与关于对称，连接与的交点即为点M，
此时，，
∴．
23．（1）证明：联结，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形
又∵，即，
∴平行四边形是菱形；
（2）证明：∵四边形是正方形，是对角线
∴，，
由（1）得四边形是菱形，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，则，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
24．（1）解：作，垂足为，
在四边形中，，，
则四边形为正方形 ，
∴，
又在中，，
∴，
∴．
（2）解：①∵四边形为正方形，
∴，，
又∵，
∴，
又∵，
∴；
②是等腰直角三角形，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又在中，，为等腰直角三角形，
∴是等腰直角三角形；
③延长交的延长线于点，
∵，，
，
∴ BDE∽ BCF，
，
∴DE=1-x，
，
，
，
∴ EFD∽ QFC，
，
，
，
∴ EDP∽ QBP，
∴，即，
．
25．（1）①解：根据题意设直线的解析式为，
直线与x轴、y轴分别交于点A和B，且，
，，
将，代入，得
，解得，
直线的解析式为；
，由点P向x轴、y轴作垂线，，垂足为M，N，分别与线段相交于点E和点F，
，，
，，
②证明：如图①，
由①可知，，，，
，，
点在函数的图像上，
，即，
，
，，
，
．
（2）解：①当点P在曲线上运动时（如图②，图③），
同（1）②可证；
故答案为：是；
②当点P在曲线上移动时，在中，一定等于，
由①知，，
，
如图①，对有，，
又，
，
如图②，对有，，
又，
，
图③，对有，，
又，
，
综上，当点P在曲线上移动时，在中，一定等于．

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