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山西省朔州市部分学校2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列方程中，不属于一元二次方程的是（ ）
A. B.
C D.
2. 关于x的一元二次方程，若二次项系数为2，则常数项为（ ）
A. B. C. 2 D. 5
3. 已知一元二次方程的一个根是3，则k的值为（ ）
A. B. 0 C. 2 D. 3
4. 用配方法解方程变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m值为（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
6. 在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（ ）
A. B.
C. D.
7. 若一元二次方程的一个根为m，则的值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8. 中国民歌不仅脍炙人口，而且许多还有教育意义，有一首《牧童王小良》的民歌还包含着一个数学问题：牧童王小良，放牧一群羊．问他羊几只，请你仔细想．头数加只数，只数减头数．只数乘头数，只数除头数．四数连加起，正好一百数．则羊的只数为（ ）
A. B. C. D.
9. 若关于x的一元二次方程的解为，，则关于y的一元二次方程的解为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10. 如图，为矩形对角线上的一点，，则方程的正数解是（ ）
A. 线段的长 B. 线段的长
C. 线段的长 D. 线段的长
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 若是关于的一元二次方程，则的值是___________．
12. 写出一个二次项系数为2，且方程有一个根为0的一元二次方程是____________
13. 已知，是方程的两个根，则的值为______．
14. 国产某品牌无人机凭借它在和精准飞控方面的强大技术优势，使其在销量上独占鳌头．该品牌无人机在某次的方阵表演中，如图，无人机原来排成行列，后又增加了架，使得方阵增加的行、列数相同，则增加了多少行？设方阵增加的行数为行，根据题意可列方程为__________．
15. 对于三个实数，，，用表示这三个数平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：，，，请结合上述材料，解决问题：若，则______．
16. 《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如的方程的正数解，其步骤为：第一步：如图，将四个长为，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，
第二步：∵大正方形的面积，
∴大正方形边长．
第三步：列出方程，解得．
∴方程的正数解为．
小明按此方法解关于x的方程时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为16，小正方形的面积为4，则方程的正数解为______．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17. 用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
18. 佳佳在解一元二次方程时出现错误，解答过程如下：
解：
移项，得．……①
配方，得．……②
即．……③
解得，．……④
（1）上述解答过程中，从第______步开始出现了错误；（填序号）
（2）写出正确的解答过程．
19. 化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？
20. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”．
（1）若一元二次方程是“2倍根方程”，求出的值；
（2）若是“2倍根方程”，求代数式的值．
21. 为了促进劳动课程开展，某学校准备利用一处墙角和一段篱笆围建一个矩形生态园．如图，墙，篱笆长为，设的长为，生态园的一边由墙和一节篱笆构成，另一边由墙和一节篱笆构成，其他边由篱笆围成．
（1）若生态园的面积为，求的值；
（2）为了进出生态园方便，现决定在边上留出宽的门，此时生态园的面积能否达到？如果能，请求出生态园的长；如果不能，请说明理由．
22. 已知关于的一元二次方程.
求证：（1）方程总有两个不相等的实数根.
（2）若等腰的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5. 求的周长.
23. 2025年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红．
素材1 据统计，某电商平台2024年12月份“巳升升”销售量是5万件，2025年2月份的销售量是7.2万件
素材2 某实体店“巳升升”的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件
素材3 经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存
问题解决
任务1 （1）确定增长率 若月平均增长率相同，求月平均增长率
任务2 （2）确定销售价格 若使每天销售获利为1200元，求每件的售价应降低多少元
根据上述素材，解决任务1、任务2的问题．
24. 阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值.
解：设，则原方程变为，整理得，，
∴，∵，∴.
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.
（1）已知实数x，y满足，求的值；
（2）设a，b满足等式，求的值；
（3）若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数.
参考答案
1-10.DBDBA AADDC
11.-1
12.
13.2
14.
15.-2或-3
16.1
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.（1）月平均增长率是 20% ；（2）每件的售价应降低 20 元
24.

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