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第五章 计数原理
5.2.1 排列与排列数
1．理解并掌握排列的概念．(数学抽象)
2．能应用排列知识解决简单的实际问题．(逻辑推理)
说一说：在甲、乙、丙三人中选出两人站成一排进行拍照，有哪些站法呢？
甲乙，甲丙，乙丙，乙甲，丙甲，丙乙
思考：这里我们可以说它们是一样的吗
丙
甲
乙
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法
分析：要完成的一件事情是选出2名同学参加活动，1名参上午的活动，另1名参加下午的活动，可以分两个步骤：
共 6 种不同选法
思考1：问题1中的顺序是什么？
参加活动的顺序
问题2：从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
分析：根据分步乘法计数原理，从1，2，3，4这4个不同的数字中，每次取出3数字，按“百位、十位、个位”的顺序排成一个三位数，共可得到24个不同的三位数，如图所示.
由此可写出所有的三位数：
123，124，132，134，142，143；213，214，231，234，241，243；
312，314，321，324，341，342； 412，413，421，423，431，432.
思考2：问题2中的顺序是什么？
问题2的顺序为百位在前，十位居中，个位在后.
思考3 ：问题1、2 有什么共同特点 试着将它们推广到一般情形.
问题1和问题2都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数.
排列的定义：
一般地，从 n 个不同的元素中取出 m (m ≤ n) 个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的一个排列.
注意：判断一个问题是否是排列的两个标志：
① 取出元素；② 按照一定的顺序排列.
如问题1中，“甲乙”与“甲丙”的元素不完全相同，它们是不同的排列；
“甲乙”与“乙甲”元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列.
如问题2中，123与134的元素不完全相同，它们是不同的排列；123与132元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列.
相同排列：
根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是：
①两个排列的元素完全相同，②元素的排列顺序也相同.
例1：判断下列问题是否为排列问题.
（1）北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设来回的票价相同）；
（2）选2个小组分别去植树和种菜；
（3）选2个小组去种菜；
（4）选10人组成一个学习小组；
（5）选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
（6）某班40名学生在假期相互通信.
解：（2）（5）（6）属于排列问题，（1）（3）（4）不属于排列问题.
机票不同，但票价是一样的，不存在顺序问题
植树和种菜是不同的，存在顺序问题
（3）（4）不存在顺序问题
每个人的职务不同，存在顺序问题
A 给 B 写信与 B 给 A 写信是不同的
方法归纳
排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关.
这就说明，在判断一个问题是否是排列问题时，可以考虑对所取出的元素任意交换其中两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题.
例2：(1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，可以组成哪些两位数？一共可以组成多少个？
(2)从装有红、黄、蓝、白、黑五个球的袋子里取出三个球，分别给甲、乙、丙三人，共有多少种分配的方法？
解：(1)由题意作树状图，如图： ；
故组成的所有两位数为12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共有12个．
(2)由题意作树状图，分别设红、黄、蓝、白、黑为a，b，c，d，e，如图：
故所有的排列为abc，abd，abe，acb，acd，ace，adb，adc，ade，aeb，aec，aed，bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed，cab，cad，cae，cba，cbd，cbe，cda，cdb，cde，cea，ceb，ced，dab，dac，dae，dba，dbc，dbe，dca，dcb，dce，dea，deb，dec，eab，eac，ead，eba，ebc，ebd，eca，ecb，ecd，eda，edb，edc. 共有60种分配的方法．
例2：(2)从装有红、黄、蓝、白、黑五个球的袋子里取出三个球，分别给甲、乙、丙三人，共有多少种分配的方法？
用“树状图”解决简单的排列问题：
(1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式；
(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列．
练一练：北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票
解：是排列问题；列出每一个起点和终点的情况，如图所示.
故应该有12种机票.
分析：这个问题是排列问题吗？
按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为 6×5 = 30.
例3：某省中学生足球赛预选赛每组有 6 支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛 1 场，那么每组共进行多少场比赛？
分析：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列.
解：可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队.
例4：(1)一张餐桌上有 5 盘不同的菜，甲、乙、丙 3 名同学每人从中各取 1 盘菜，共有多少种不同的取法？
(2)学校食堂的一个窗口共卖 5 种菜，甲、乙、丙 3 名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？
分析：3 名同学每人从 5 盘不同的菜中取 1 盘菜；可看作是从这 5 盘菜中任取 3 盘，放在 3 个位置（给3名同学）的一个排列；
解：（1）可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.
按分步乘法计数原理，不同的取法种数为：5×4×3 = 60.
分析：3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列.
（2）可以先让同学甲从 5 种菜中选 1 种，有 5 种选法；再让同学乙从 5 种菜中选 1种，也有 5 种选法；最后让同学丙从 5 种菜中选 1 种，同样有 5 种选法.
按分步乘法计数原理，不同的选法种数为：5×5×5 = 125.
例4：(2)学校食堂的一个窗口共卖 5 种菜，甲、乙、丙 3 名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？
方法归纳：解决此类问题时，首先要分清楚是不是排列问题，其次使用分步乘法计数原理求排列总数时，要做到步骤完整，步与步之间相互独立，然后把完成每一步的方法数相乘即可得到总数. ．
回顾本节知识，回答下列问题：
1. 如何理解排列的定义？
无重复性，有顺序性．
2. 两个排列相同的充要条件是什么？
　元素完全相同且元素的排列顺序相同．

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