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第五章 计数原理
5.2.2 排列数公式
1.能用计数原理推导排列数公式；
2.掌握几种有限制条件的排列，能用排列数公式解决简单的实际问题．
情景：在某次家长座谈会中，要给参会的30位学生家长安排座位，一共有多少种坐法？这样的排列顺序问题能否快速计算呢？
排列数的定义：
我们把从 n 个不同元素中取出 m (m ≤ n) 个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，并用符号表示.
m，n所满足的条件是：
(1) m∈N*，n∈N* ；
(2) m≤n .
思考：研究一个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而无需一一写出所有的排列，那么能否不通过一一写出所有的排列而直接“得”出所有排列的个数呢？
排列的第一个字母
元素总数
取出元素数
探究：从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 (m≤n) 是多少？
分析：可以先从特殊情况开始探究，例如求排列数 .
根据前面的求解经验，可以这样考虑：
假定有排好顺序的两个空位，如图所示，
从 n 个不同的元素中取出 2 个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，因此，所有不同填法的种数就是.
现在我们计算有多少种填法，完成填空这件事可分为两个步骤：
第1步：填第1个位置的元素，可以从这n个元素中任选1个，有n种方法；
第2步：填第2个位置的元素，可以从剩下的(n-1)个元素中任选1个，有(n-1)种方法；
根据分步乘法计数原理，2 个空位的填法种数为 = n(n-1).
第1位
第2位
第3位
n-2
n
n-1
同理，求排列数按依次填3个空位来考虑，有=n(n-1)(n-2).
如图，假定有排好顺序的 m 个空位，从 n 个不同元素中取出 m 个元素去填空，一个空位填 1 个元素，每一种填法就对应一个排列.
归纳总结：求排列数可以按依次填 m 个空位来考虑：
· · ·
第1位
第2位
第3位
第m位
n
n-1
n-2
n-m+1
填空可分为 m 个步骤：
第1步，从n个不同元素中任选1个填在第1位上，有n种选法；
第2步，从剩下的(n-1)个元素中任选1个填第2位上，有(n-1)种选法；
第3步，从剩下的(n-2)个元素中任选1个填在第3位上，共有(n-2)种选法；
……
第m步，从剩下的n-(m-1)个元素中任选1个填第m位上，共有n-m+1种选法；
根据分步乘法计数原理，m个空位的填法种数为：n(n-1)(n-2) (n-m+1).
这样，我们就得到公式： =n(n-1)(n-2) (n-m+1).
这里，m，n∈N*，并且m ≤ n；这个公式叫做排列数公式.
公式特点：
1. 公式中是m个连续正整数的连乘积；
2. 连乘积中最大因数为n，后面依次减1，最小因数是(n - m + 1)；
全排列数：
从n个不同素中取出n个元素的一个排列称为n个不同元素的一个全排列.
全排列数为：
排列数公式：
阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为 n 的阶乘，用 表示，
即
思考：排列和排列数的区别？
“一个排列”是指从 n 个不同的元素中任取 m (m ≤ n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数，是一种排法；
“排列数”是指从 n 个不同元素中取出 m (m ≤ n) 个元素的所有排列的个数，是一个数；所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列．
例1：计算：（1）
解：根据排列数公式可得：
（1）
（2）
（3）
（4） = 6×5×4×3×2×1 = 720.
归纳总结：排列数的计算方法
（1）排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意，连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．
（2）应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．
思考：由例题可以看出
观察这两个结果，你发现了它们的共性了吗？
；
即
（排列数公式的阶乘形式）
排列数公式的应用：
连乘形式一般用于的计算，
阶乘形式用于化简或证明.
练习1：求证：
证明：
例2.用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解法1：如图，由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：
第1步，确定百位上的数字，可以从1~9这9个数字中取出1个，有种取法；
第2步，确定十位和个位上数字，可以从剩下9个数字中取出2个，有种取法.
根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为
第1类：每一位数字都不是0的三位数，可以从1~9这9个数字中取出3个，有种取法；
第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位，有种取法；
第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有种取法；
根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为.
解法2：如图，符合条件的三位数可以分成三类：
解法3：从0~9这10个数字中选取3个的排列数为，其中0在百位上的排列数为，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，
0
即所求三位数的个数为
练习2：用数字 2，3，4，5，6 组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为(　　)
A.120 B.72 C.60 D.48
B
练习3：为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，
连续开设六周. 若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为(　　)
A.216 B.480 C.504 D.624
C
分析：当课程“御”排在第一周时，有 =120 种排法；
当课程“御““乐”均不排在第一周，且“御”不排在最后一周时，有×× = 384种排法；
所有可能的排法种数为120 + 384 = 504.

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