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第五章 计数原理
5.3.2 组合数及其性质
1．通过类比排列数理解组合数的概念.
2．能利用计数原理推导组合数公式.
3. 能用组合数的知识与公式求解相关问题.
排列数 组合数
从 个不同的元素中取出 个元素的所有不同排列的个数，叫做从 个不同的元素中取出 个元素的排列数； 用符号表示.
问题1：类比排列数的定义，试着说说什么是组合数？
从 个不同的元素中取出
个元素的所有不同组合的个数，叫做从 个不同的元素中取出 个元素的组合数；
用符号表示.
示例：
（1）从3个不同元素中取出2个元素的组合数，表示为；
（2）从4个不同元素中取出3个元素的组合数表示为.
m，n所满足的条件是：
(1) m∈N*，n∈N* ；(2) m≤n .
组合的第一个字母
元素总数
取出元素数
组合数的概念
从 个不同的元素中取出 个元素的所有不同组合的个数，叫做从 个不同的元素中取出 个元素的组合数，用符号 表示.
我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的两个排列不同”，以“元素相同”为标准，建立了排列和组合之间的对应关系.
思考：那它们之间的数量关系是怎样的？能否利用组合与排列的关系，由排列数 来求组合数 呢？
排列数公式
.
问题2：（1）3个不同元素a，b，c中取出2个共有几个不同的组合？3个不同元素a，b，c中取出2个元素的排列数为是多少？
（2）4个不同元素a，b，c，d中取出3个共有几个不同的组合？4个不同元素a，b，c，d中取出3个元素的排列数为是多少？
（1）；
（2）.
思考：以第（2）问为例，从4个不同元素中取出3个元素排列数，该怎么安排才能和组合联系在一起？
abc
abd
acd
abc acb bac bca cab cba
abd adb bad bda dab dba
acd adc cad cda dac dca
bcd
bcd bdc cbd cdb dbc dcb
组合
排列
第1步 ，从4个元素中取出3个元素作为一组 ，共有种不同的取法；
第2步，将取出的3个元素做全排列，共有种不同的取法.
于是，根据分步乘法计数原理有=，
从4个不同元素中取出3个元素排列数.
化简后得：
问题3：类比“从4个不同元素中取出3个元素排列数”的描述，试着总结出“从个元素中取出个元素的排列数”的描述.
第1步，从n个元素中取出m个元素作为一组 ，共有种不同的取法；
第2步，将取出的m个元素做全排列，共有种不同的取法；
于是，根据分步乘法计数原理有，所以.
这里的，并且.
又因为，所以
另外，我们规定 =1.
组合数公式
例1：计算：(1) ； (2) ； (3) ； (4) .
(1) = =120；
(2) = = =120；
(3) ；
(4) =1.
解：根据组合数公式，可得：

追问：仔细观察(1) 和 (2)，(3) 和 (4)的结果，你发现了什么？能否总结归纳出来？
，所以 .
性质1：； 性质2： .
组合数公式性质
1. 计算：
解：
可通过组合数的性质简化运算.
例2：已知在 100 件产品中，有 98 件合格品 ，2 件次品. 从这 100 件产品中任意抽出 3 件.
（1）有多少种不同的抽法？
（2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？
解：（1）所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，
所以抽法种数为 种.
（2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有
种.
例2：已知在 100 件产品中，有 98 件合格品 ，2 件次品. 从这 100 件产品中任意抽出 3 件.
（2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？
方法2：抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即
（3）方法1：从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品 ，包括有1件次品和有2件次品的情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数为
例2：已知在 100 件产品中，有 98 件合格品 ，2 件次品. 从这 100 件产品中任意抽出 3 件.
（3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？
2.某学校要从 5 名男教师和 3 名女教师中随机选出 3 人去支教，则抽取的 3 人中，女教师最多为 1 人的选法种数为（ ）
A.10 B.30 C.40 D.46
C
2.组合数公式：； .
3.组合数性质：性质1 ：；性质2：.
1.组合数的概念：从 n 个不同元素中取出 m (m ≤ n) 个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号表示.

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