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第五章 计数原理
5.4.2 二项式系数的性质
1.掌握二项式系数的性质，会进行简单的应用.
2.会用赋值法求二项展开式系数的和.
复习回顾：
1.二项式定理：
2.二项展开式的通项：
3.二项式系数：
n (a + b) n 展开式的二项式系数 1
2
3
4
5
6
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 4 1
1 6 15 20 10 5 1
提示：(a + b) n 的展开式的二项式系数
问题1：用计算工具计算 (a + b) n 的展开式的二项式系数，并填入下表：
思考：通过计算、填表、说说发现了什么规律？
每一行中的系数具有对称性
从函数角度分析： 可看成是以 r 为自变量的函数 f (r)，其定义域是{0，1，2，…，n}，
对于确定的 n，还可以画出图象；如，当 n = 6 时，函数 的图象是 7 个离散点，如图所示.
对于 (a + b) n 的展开式的二项式系数
n = 7
n = 8
n = 9
1. 对称性：
由此我们可得二项式系数的以下性质：
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
事实上，这一性质可直接由公式 得到.
直线 将函数 的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.
2. 增减性与最大值：
3.各二项式系数的和：
已知
这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于.
分析：奇数项的二项式的系数和为
偶数项的二项式的系数和为
由于
中的 a，b；
可以取任意实数，因此我们可以通过对 a，b 适当赋值来得到上述两个系数和.
例1：求证：在 (a + b) n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
思考：
即
因此
即在 (a + b) n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
证明：在展开式 中，
令 a = 1，b = -1，则得
例2：已知 求：
（1）a1 + a2 + … + a7；（2）a1 + a3 + a5 + a7；（3）|a0| + |a1| + … + |a7|.
解：（1）令 x = 1，得： (1 - 2)7 = a0 + a1 + a2 + … + a7；
∴ a0 + a1 + a2 + … + a7 = -1；
令 x = 0，得：a0 = 1，∴a0 + a1 + a2 + … + a7 = -1 - a0 = -1-1 = -2；
（2）令 x = 1，得： a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 = -1 ①；
令 x = -1，得： a0 - a1 + a2 - a3 + a4 - a5 + a6 - a7 = 37 ②；
由① - ②得： 2(a1 + a3 + a5 + a7) = -1 - 37；
∴ a1 + a3 + a5 + a7 = -1094.
例2：已知 求：（3）|a0| + |a1| + … + |a7|.
（3）由展开式知 a1、a3、a5、a7 均为负数，a0、a2、a4、a6 均为正数；
∴ |a0| + |a1| + … + |a7| = a0 - a1 + a2 - a3 + a4 - a5 + a6 - a7；
由（2）可知，a0 - a1 + a2 - a3 + a4 - a5 + a6 - a7 = 37；
∴ |a0| + |a1| + … + |a7| = 37 = 2187.
解：(2 - 3x)15 的展开式中共有 16 项，中间的两项为第 8 项和第 9 项，这两项的二项式系数相等且最大，为 ，故选 B.
例3：在 (2 - 3x)15 的展开式中，二项式系数的最大值为（ ）
B
回顾：根据二项式定理的性质，构建思维导图.

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