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东莞市众美中学2025-2026学年高二上学期十月国庆假期数学训练试题
说明：本试题共10页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
第I卷（选择题）
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在三棱锥中，点D，E分别在棱OA，BC上，且，设，，则（ ）
A． B． C． D．
3．向量，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．经过点，且倾斜角是的直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，点C的坐标为（），则的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．5
7．已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图，在平行六面体中， 且 ，M为与的交点，设 则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．下列说法正确的是（　　）
A．直线的一个方向向量为，则直线的斜率等于
B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C．当点到直线的距离最大时，的值为
D．已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是
第II卷（非选择题）
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．在四面体中，P为空间中一点，且满足，若四面体的体积为4，则四面体的体积为 .
13．已知向量,，若与垂直，则实数k= .
14．已知直线和圆.若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，设.

(1)证明：；
(2)设，用表示与.
16．（15分）已知空间向量.
(1)若，求的值；
(2)若，求的最小值及此时的值；
(3)若，求的最大值.
17．（17分）已知直线．
(1)若直线l与x轴的交点的横坐标与其在y轴上的截距相等，求k的值；
(2)若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
18．（17分）根据下列条件，求圆的方程.
(1)圆心是，且过点；
(2)经过点，且以线段AB为直径的圆的方程；
(3)已知的三个顶点为，求的外接圆方程.
19．（15分）已知圆，圆.
(1)若圆与圆恰有三条公切线，求实数的值；
(2)设时，圆与圆相交于、两点，求.
《东莞市众美中学2025-2026学年高二上学期十月国庆假期数学训练试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C D B C D B ACD AD
题号 11
答案 CD
1．C
【分析】证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点．
【详解】对于A，，
，不共线，即三点不共线，故A错误；
对于B，，
，不共线，即三点不共线，故B错误；
对于C，，
，则共线，即三点共线，故C正确；
对于D，，
，不共线，即三点不共线，故D错误；
故选：C．
2．B
【分析】利用空间向量的线性运算即可得出结果.
【详解】因为，
所以
.
故选：B
3．C
【分析】根据题意，结合空间向量坐标运算法则，准确计算，即可求解.
【详解】由向量，
则.
故选：C.
4．D
【分析】利用倾斜角的大小，结合正切函数的单调性可作出判断.
【详解】设直线，，的倾斜角分别为，，，
则根据图象可得：，
再由正切函数的单调性可知：，
即有，
故选：D.
5．B
【分析】利用倾斜角先求斜率，根据直线的点斜式方程即可求解.
【详解】因为直线的倾斜角是，所以斜率，
又经过点，所以直线的方程是.
故选：B.
6．C
【分析】求出点所在直线方程，再求关于直线的对称点，转化为求的最小值即可得解.
【详解】如图，
，
在直线上，
设点A关于直线的对称点为A'，则所在直线为，
代入点，可得，解得，
故所在直线为，
联立，解得，
故直线与直线交点，
则点关于直线的对称点的坐标为，
，
因为，
所以的最小值是，
故选：C
7．D
【分析】根据方程表示圆及点在圆外列出不等式求解即可.
【详解】表示圆，故，
即，解得或.
因为点在圆外，
故，解得，
故实数的取值范围为或.
故选：D
8．B
【分析】的几何意义为直线的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案.
【详解】设，变形得，
于是的几何意义为圆上点与定点连线的斜率，
圆的圆心为，半径为，
由是圆上任意一点，得圆与直线有公共点，
因此圆心到直线的距离不大于圆的半径，
则，解得，
所以的最小值为.
故选：B
9．ACD
【分析】利用空间向量的基本定理可判断选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断选项.
【详解】对于，，故正确；
对于，
，故错误；
对于，，
，，
，
故正确；
对于，，故正确.
故选：.
10．AD
【分析】根据斜率与倾斜角关系及正切函数性质依次判断各项的正误.
【详解】A：由表明斜率存在，则，
由正切函数在上，倾斜角和斜率一一对应，故，对；
B：若，时，相应的倾斜角，，不满足，错；
C：由正切函数的图象知：
当和时，；
当，时，；
当或时，或不存在，错；
D：因为，结合正切函数的图象知，，
所以，对.
故选：AD
11．CD
【分析】由方向向量定义与斜率关系可判断A错误，根据两直线垂直关系可知时也符合题意，因此B错误，利用直线过定点以及垂直关系可判断C正确，由两点间的斜率公式以及斜率的取值范围可得D正确.
【详解】对于A，当方向向量为时直线的斜率等于，因此A错误，
对于B，当时，两直线为和，此时两直线互相垂直，即充分性成立；
若两直线垂直，当时，两直线分别为和，满足互相垂直，因此必要性不成立，即B错误；
对于C，将直线整理可得，
显然直线恒过定点，当与直线垂直时距离最大，
此时满足，即可得，解得，因此C正确；
对于D，如下图所示：

易知，直线与轴平行，
显然直线必须在至之间，以及至之间才满足题意，
所以可知直线的斜率的取值范围是.
故选：CD
12．2
【分析】利用向量的加法运算将转化为，从而找到在线段上且靠近的三等分点处，继而得到到平面的距离是到平面的距离的2倍，从而得到所求.
【详解】设是的中点，，又，
，，，
设是的中点，是的中点，，，
，，在线段上且靠近的三等分点处，
又线段为的中位线，，
到平面的距离是到平面的距离的2倍，.
故答案为：2
13．或
【分析】由与垂直，得与的数量积为0，进而求出实数k的值.
【详解】因向量，，则，.
因为与垂直，所以，
即，整理得：，解得，或.
当时，，，
此时，即与垂直；
当时，，，
此时，即与垂直.
故答案为：或.
14．
【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定其圆心和半径，再根据两点距离公式，得，再根据圆的切线性质可得，结合二次函数性质即可求得其最小值.
【详解】由圆，得，
故圆心，半径，
又已知直线，点在直线上，设点，
则，
由圆的切线性质可得，，

当且仅当时，取得最小值，最小值为.
故答案为：
15．(1)证明见解析
(2)；；
【分析】（1）利用三角形相似可得：,结合向量的线性运算求解即可；（2）利用向量的线性运算求解即可.
【详解】（1）因为在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，
所以,，所以,所以，即,
由图可得；
（2）由图可得；
由于，所以
所以；
16．(1)
(2)的最小值为，此时
(3)
【分析】（1）根据向量平行时的坐标关系，即可取得x，y的值，即可得答案.
（2）根据向量垂直时的坐标关系，根据二次函数的性质，即可得答案.
（3）根据求模公式，可得x，y的关系，代入所求，根据二次函数的性质，即可得答案.
【详解】（1）因为，
所以，
当时，，
所以，不存在，所以；
当时，可得，解得，
所以
（2）因为，
所以，即，
所以当时，y的最小值为
（3），
因为，
所以，即，
由，解得
则所求
，
所以当时，的最大值为
17．(1)或
(2)最小值为16，此时直线l的方程为
【分析】（1）先分别求出直线l与x轴交点的横坐标和在y轴上的截距，再根据二者相等列方程求解k的值；
（2）先求出两点的坐标，进而得到的面积表达式，然后利用基本不等式求出面积的最小值，最后根据面积取最小值时k的值确定直线l的方程．
【详解】（1）当时，直线l的方程为，与x轴无交点，不符合题意；
当时，直线l的方程为，
令，则，
令，则，
由题意得，即，
即，解得或，经检验，均成立．
综上，k的值为或．
（2）由题可知，由（1）知A，，
故,
当且仅当，即时取等号，
故S的最小值为16，此时直线l的方程为．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）确定半径，可得圆的标准方程.
（2）可直接写出圆的直径式方程，再化成标准方程即可.
（3）用待定系数法可求圆的一般方程.
【详解】（1）所求圆的标准方程为：，
即.
（2）所求圆的直径式方程为：，
即.
（3）设所求圆的方程为.
由题意得：，解得.
所以所求圆的一般方程为.
19．(1)或
(2)
【分析】（1）因圆与圆恰有条公切线，所以两圆相外切，由两圆外切得，直接可得实数的值；
（2）将两圆方程相减得相交弦的方程，再由圆的弦长公式即可求公共弦长.
【详解】（1）因圆与圆恰有条公切线，所以两圆相外切
圆，得圆心，半径.
又圆，得圆心，半径.
所以圆心距，，
所以，得，解得或.
（2）当时，圆，此时两圆的圆心距，两圆相交.
将两圆方程相减得直线的方程为.
所以圆心到直线的距离，且半径，
由圆的弦长公式得.

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