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第二十二章　二次函数单元素养测评卷　
时间：90分钟 满分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列函数中一定是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）已知二次函数的、部分对应值如下表，则该二次函数图象的对称轴为（ ）
0 1 2 3
6 2 2
A．直线 B．直线 C．直线 D．轴
4．（本题3分）用配方法将二次函数化为的形式为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．（本题3分）已知二次函数，则当时，该函数（ ）
A．只有最大值3，无最小值 B．有最大值3，有最小值0
C．有最小值，有最大值3 D．只有最小值，无最大值
7．（本题3分）函数与（，是常数，且）的图象在同一平面直角坐标系中可能是（ ）
A．　　B．　　C．　　D．
8．（本题3分）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．无法确定
10．（本题3分）抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是关于x的方程的一个根．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共18分）
11．（本题3分）在函数中，当x＞1时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
12．（本题3分）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为轴： ．
13．（本题3分）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解为 ．
14．（本题3分）二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示．由图象可知不等式的解集是 ．

15．（本题3分）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是 ：
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；
③小球抛出3秒时，速度为0m/s；
④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．
16．（本题3分）如图，在矩形中，是边上的动点，连接，以为边向右上方作正方形，过点F作，垂足为H，连接．在整个变化过程中，面积的最大值是 ．

三、解答题（共72分）
17．（本题10分）已知二次函数．

(1)求此函数图象的对称轴和顶点坐标；
(2)画出此函数的图象；
(3)若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
18．（本题10分）已知在平面直角坐标系内，抛物线y＝x2﹣bx+6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积．
19．（本题10分）已知函数y=mx2﹣6x+1（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
20．（本题10分）如图，已知二次函数的图象经过点.

（1）求的值和图象的顶点坐标．
（2）点在该二次函数图象上.
①当时，求的值；
②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围.
21．（本题10分）放风筝是人们喜爱的户外运动，我国很多城市有风筝节．潍坊风筝节上放飞中国空间站并实现神舟号与空间站的对接让渺渺震撼不已，并打算仿制一个水母风筝．如图所示，水母的头部是一个近似的抛物线，渺渺以白纸的左下角为原点 建立了一个直角坐标系并在其中绘制了连续的几个水母头部．若最左侧的抛物线可以用表示．抛物线上、两点到纸的最底端距离均为，到纸的左侧的距离分别为．

(1)求第一个抛物线的函数关系式并求出图案最高点到纸的最底端距离；
(2)如果这张纸长为，渺渺最多可以连续绘制几个水母头部的图案
22．（本题10分）某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元.经调查发 现，每天的销售量y(个）与每个商品的售价x(元）满足一次函数关系，其部分数据如下表所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式；
（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？
23．（本题12分）如图1，已知直线与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，与x轴交于另一点B，D是第二象限内抛物线上一点．
(1)请直接写出点A、C的坐标及抛物线的解析式；
(2)连接，，求面积的最大值；
(3)如图2，连接，过点D作分别交、y轴于M、E两点，当M为线段的中点时，求点D的坐标．
试卷第1页，共3页
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《第二十二章　二次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A D D C B A C C
1．D
【分析】此题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义．根据二次函数的定义逐个判断即可，形如的函数为二次函数．
【详解】解：A．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．当时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．不是二次函数，故本选项不符合题意；
D．是二次函数，故本选项符合题意；
故选：D．
2．B
【分析】根据二次函数的顶点式，即可求出抛物线的顶点坐标．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为．
故选：B
3．A
【分析】由于、2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解．
【详解】解：和2时的函数值都是，
对称轴为直线．
故选：A．
4．D
【分析】本题考查将二次函数的一般式转化为顶点式，利用配方法进行求解即可．
【详解】解：；
故选D．
5．D
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为
故选D．
6．C
【分析】根据二次函数，可以得到当时，该函数的最大值和最小值，本题得以解决．
【详解】解：二次函数，开口向上，离对称轴越远函数值越大，
当时，在时，函数取得最小值，此时，
当时，函数取得最大值，此时，
故选：C．
7．B
【分析】本题考查一次函数和二次函数图象的综合应用．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：A选项：二次函数中，一次函数中，矛盾，不符合题意，
B选项：二次函数中，一次函数中，符合题意，
C选项：二次函数中，一次函数中，矛盾，不符合题意，
D选项：二次函数中，一次函数中，矛盾，不符合题意，
故选：B．
8．A
【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．
【详解】解：当抛物线经过（1，3）时，a=3，
当抛物线经过（3，1）时，a=，
观察图象可知≤a≤3，
故选：A．
9．C
【分析】分别计算出三个方案的菜园面积进行比较即可．
【详解】解：方案1，设米，则米，
则菜园的面积，
当时，菜园面积取最大值，最大面积为8平方米；
方案2，作交于点D，
则菜园的面积，
当时，菜园面积取最大值，最大面积平方米；
方案3，半圆的半径，
此时菜园面积平方米平方米，
故选C．
10．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可得，，即可判断①；由题意可得抛物线的对称轴为直线，从而由对称性可得抛物线经过点，即可判断②；求出，，再结合抛物线的顶点为，即可判断③；由抛物线的对称性可得点关于对称轴对称的点为，即可判断④；熟练掌握以上并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵抛物线图象开口向下，
∴，
∵抛物线图象交轴于正半轴，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线的顶点为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线经过点，
∴由对称性可得抛物线经过点，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线的顶点为，
∴，
∴，
∴，故③错误；
∵抛物线经过点，
∴点关于对称轴对称的点为，
∴一定是关于x的方程的一个根，故④正确；
综上所述，正确的有①②④，共个，
故选：C．
11．增大
【分析】根据二次函数的图象和性质可得开口向上，对称轴为直线，再根据二次函数的增减性，即可求解．
【详解】解：∵函数开口向上，对称轴为直线，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大．
故答案为：增大
12．（答案不唯一）
【分析】根据二次函数的图象和性质，对称轴为轴，即b=0，写出满足条件的函数解析式即可.
【详解】解：设函数的表达式为y=ax2+bx+c，
∵图象的对称轴为y轴，
∴对称轴为x==0，
∴b=0，
∴满足条件的函数可以是：.（答案不唯一）
故答案是：y=x2（答案不唯一）
13．，
【分析】本题考查抛物线与一次函数的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标．
【详解】解：由图象可知，关于x的方程的解，就是抛物线与直线的两个交点坐标分别为，的横坐标，
即，．
故答案为：，．
14．x＜-1或x＞3．
【分析】根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点，然后结合图象即可求出结论．
【详解】解：∵该抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为（3，0）
∴抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0）
由图象可知：当x＜-1或x＞3时，y＜0
∴不等式的解集是x＜-1或x＞3．
故答案为：x＜-1或x＞3．
15．②③
【分析】根据函数的图象中的信息判断即可．
【详解】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点，速度为0，故③正确；
④设函数解析式为：，
把点O（0，0）代入得：，
解得，
∴函数解析式为，
把h=30代入解析式得，
，
解得：t=4.5或t=1.5，
∴小球的高度h=30m时，t=1.5s或4.5s，故④错误；
故答案为：②③；
16．2
【分析】证明，则，设，则，则，然后求最值即可．
【详解】解：∵矩形，正方形，
∴， ，，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，的面积最大，其值为2．
17．(1)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为
(2)作图见解析
(3)或
【分析】（1）把二次函数解析式转化为顶点式，再根据二次函数的性质求解即可；
（2）利用五点法画图即可；
（3）根据二次函数图象与性质进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：函数图象如图所示，
x 0 1
y 0 0

（3）解：由图可得，抛物线开口向上，
∵抛物线的对称轴为，
∴抛物线上离对称轴越远的点，函数值越大，
∵，
∴离对称轴较远，
∴或．
18．（1）y＝x2﹣5x+6；（2）3
【分析】（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线y＝x2﹣bx+6，即可得出抛物线的表达式y＝x2﹣5x+6；
（2）先求出A（2，0），B（3，0），C（0，6），再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线y＝x2﹣bx+6，得0＝9﹣3b+6，
解得：b＝5，
∴抛物线的表达式y＝x2﹣5x+6；
（2）∵抛物线的表达式y＝x2﹣5x+6；
令y=0，则x2﹣5x+6=0，
解得：x1=2，x2=3；
∴A（2，0），B（3，0），C（0，6），
∴S△ABC＝×1×6＝3．
19．解：（1）当x=0时，y=1．
所以不论m为何值，函数y=mx2﹣6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）；
（2）①当m=0时，函数y=﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点；
②当m≠0时，若函数y=mx2﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2﹣6x+1=0有两个相等的实数根，
所以△=（﹣6）2﹣4m=0，m=9．
综上，若函数y=mx﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9．
【详解】略
20．（1）；（2）① 11；②.
【分析】（1）把点P（-2，3）代入y=x2+ax+3中，即可求出a；
（2）①把m=2代入解析式即可求n的值；
②由点Q到y轴的距离小于2，可得-2＜m＜2，在此范围内求n即可.
【详解】（1）解：把代入，得，
解得.
∵，
∴顶点坐标为.
（2）①当m=2时，n=11，
②点Q到y轴的距离小于2，
∴|m|＜2，
∴-2＜m＜2，
∴2≤n＜11.
21．(1)第一个抛物线的函数关系式为，图案最高点到纸的最底端距离为
(2)渺渺最多可以连续绘制个水母头部的图案
【分析】（）根据题意求得，，，，解方程组求得拋物线的函数关系式为；根据抛物线的顶点坐标公式得到结果；
（）令，即，解方程得到，，即可得到结论．
【详解】（1）根据题意得：，，，，
把，代入
得，
解得：，
拋物线的函数关系式为；
图案最高点到地面的距离；
（2）令，即，
，，
，
最多可以连续绘制个水母头部的图案．
22．（1）；（2）；（3）当售价定为50元时，商场每天获得总利润最大，最大利润是1800元.
【分析】（1）用待定系数法求一次函数的解析式即可；（2）根据“总利润=每千克利润×销售量”即可得w与x之间的函数关系式；（3）将所得函数解析式化为顶点式，根据二次函数性质即可解答．
【详解】（1）∵与满足一次函数关系.
∴设与的函数表达式为 .
将，代入中，得
解得
∴与之间的函数表达式为.
（2）由题意，得.
∴与之间的函数表达式为.
（3）.
∵，∴抛物线开口向下.
由题可知：，
∴当时，有最大值，元.
答：当售价定为50元时，商场每天获得总利润最大，最大利润是1800元.
23．(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）结合一次函数与坐标轴的交点问题，得，，再代入进行列式计算，即可作答．
（2）先过点D作直线轴，交于一点H，设，，则，故，结合二次函数的图象性质进行分析，即可作答．
（3）先整理得，再分别求出的解析式为，因为，设的解析式为，设，，
则，得出，即，因为M为线段的中点时， ，再代入，得，解得（舍去），即可作答．
【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、C两点，
∴令，则，故；
∴令，则，解得
故；
∵抛物线经过A、C两点，
∴把，代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：过点D作直线轴，交于一点H，如图所示：
由（1）得，，
∵D是第二象限内抛物线上一点．
设，，
∵直线与x轴、y轴分别交于A、C两点，
∴
则
∵
∴开口向下，
∴在对称轴时，有最大值，
且．
（3）解：连接，如图所示：
由（1）得，，
∴令时，则，
即
解得
∵
∴
设的解析式为
把，代入，
得，
解得，
∴的解析式为，
∵，
∴设的解析式为，
即
∵D是第二象限内抛物线上一点．
设，，
则，
∴，
∵M为线段的中点时，
∴，
∴再把分别代入，
得，
整理得，
∴，
解得（舍去），
把代入，
得，
即点D的坐标为．
答案第1页，共2页
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