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东莞市众美中学2025-2026学年高一上学期十月国庆假期数学训练试题
说明：本试题共11页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
第I卷（选择题）
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则中元素的个数为（　　）
A．9 B．8 C．6 D．5
2．已知集合，若，则实数的取值范围是（　　）
A． B．或
C． D．
3．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．若，则与的大小关系是（ ）.
A． B． C． D．随值变化而变化
7．若，且满足，则的最小值是（ ）
A．6 B．18 C． D．9
8．若正实数满足，若不等式有解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
A．集合的真子集是
B．
C．设，若，则
D．
10．已知，则下列正确的是（　　）
A．
B．的最小值为2
C．的最小值为
D．的最小值为
11．关于x的不等式的解集为，则（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知集合，，若，则实数的取值范围为 ．
13．已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是
14．设为实数，且，则下列不等式不正确的有 .
① ② ③ ④
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知集合，，
(1)求；
(2)若全集，求及．
16．（15分）已知p：，q：．
(1)若p为假命题，求实数a的取值范围；
(2)若p，q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．
17．（17分）已知：，：．
(1)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的范围；
(2)是否存在实数，使是的必要条件，若存在，求出的范围．
18．（15分）已知关于的不等式，其中．
(1)若不等式的解集为，求关于的不等式的解集；
(2)若时，不等式的解集为，求的取值范围．
(3)若，求该不等式的解集（解集用表示）
19．（17分）已知关于的二次函数．
(1)若的解集为，求实数、的值；
(2)当时，对任意的都有恒成立，求实数的取值范围；
(3)若实数满足，求关于的不等式的解集．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A B B C C D BCD ACD
题号 11
答案 BD
1．C
【分析】列举出集合中的元素，可得出结论.
【详解】由题意可得.
因此，集合中有个元素.
故选：.
2．B
【分析】根据不等式先求集合，再根据，可得恒成立问题.
【详解】因为.
所以集合.
由题可知：，则当时，恒成立.
或．
故选：.
3．A
【分析】求集合，利用交集定义即可得解.
【详解】因为，，
由交集定义可得，.
故选：A.
4．B
【分析】根据，得到，解不等式，再根据集合的关系判断逻辑条件即可．
【详解】，若，
则，
解得，
故“”是“” 的必要不充分条件．
故选：B．
5．B
故选：B
6．C
【分析】利用作差法比较大小.
【详解】因为，
所以.
故选：C.
7．C
【分析】由题可得，再结合基本不等式可得答案.
【详解】注意到，
则
.
当且仅当，再结合，
可得，时取等号.
故选：C
8．D
【分析】借助基本不等式“1”的应用可得的最小值，再解出对应不等式即可得.
【详解】由，则，
所以
，
当且仅当，即，时等号成立，
则，即，解得.
故选：D.
9．BCD
【分析】根据空集是任何非空集合的真子集可知A不正确；根据菱形一定是平行四边形，可知B正确；根据集合相等的概念求出，可知C正确；根据空集是任何非空集合的真子集，可知D正确.
【详解】对于A，集合的真子集包括，A错误；
对于B，因为菱形一定是平行四边形，所以，B正确；
对于C，因为，，，所以，，，C正确；
对于D，因为方程的解为，所以，因为空集是任何非空集合的真子集，所以 ，D正确．
故选：BCD.
10．ACD
【分析】将已知式化成，再根据各选项的待求式，利用基本不等式，通过消元变形即可逐一求出最值判断选项.
【详解】依题意，由，可得
对于A，由，故A正确；
对于B，由，结合A项，
因，当且仅当时等号成立，
由可得，
即当时，的最小值为，故B错误；
对于C，由A项，
当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
对于D，因，则，
由C项已得当时，取得最小值，
故此时取得最小值为，故D正确．
故选：ACD
11．BD
【分析】根据分式不等式以及高次不等式的解法结合解集的端点特征分析求解即可.
【详解】对于关于x的不等式，显然且，
此时，可得，
则原不等式等价于，
因为不等式的解集为，
根据解集的端点个数可知，且，故D正确；
可知的解集为，
令，解得或，
若，则，且，可得，则，
可知，，为不等式的解集端点，
且，可以取到，不可以取到，
则，解得，故AC错误，B正确.
故选：BD.
12．
【分析】根据补集的定义得或，进而对分类讨论即可求解.
【详解】由题意可得或，
由于，若，则，解得，满足题意，
当时，则，解得，
综上可得，
故答案为：
13．或
【详解】由已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，
等价于“任意，使得等式成立”是真命题，
又因为，所以，要使，则需或.
所以实数的取值范围为或.
故答案为：或
14．②③④
【分析】利用不等式的基本性质可证得①正确，利用赋值法举反例可说明②③④错误.
【详解】对于①，，且，，即，故①正确；
对于②③，由，取，
则，此时，故②错误；
则，此时，故③错误；
对于④，由，取，
则，此时，故④错误.
故答案为：②③④.
15．(1)
(2)；或
【分析】（1）利用交集的定义运算即可.
（2）根据补集及交集的定义运算即可.
【详解】（1）因为，，所以.
（2）因为，所以或，
，所以或，
所以，
或.
16．(1)
(2)
【分析】（1）分和两种情况讨论结合二次函数的图象和性质得解；
（2）分真假和假真两种情况讨论得解.
【详解】（1）若为真命题，
当时，不等式恒成立；
当时，有，解得，
（2）等价于，
若p，q中有且仅有一个为真命题，则真假或假真，
若真假，则，解得，
若假真，则，解得，
综上，实数的取值范围是.
17．(1)存在，；
(2)存在，．
【分析】（1）直接根据充分条件的定义可得；
（2）直接根据必要条件的定义可得.
【详解】（1）由，得.
若是的充分条件，则，如图：
所以，解得：．
故的取值范围是．
（2）若是的必要条件，则，因，所以，如图：
所以，解得：．
故的取值范围是．
18．(1)；
(2)；
(3)答案见解析.
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集得，代入所求不等式求解即可；
（2）由一元二次不等式在R上恒成立列不等式求解即得；
（3）由题设，讨论参数求对应的解集即可.
【详解】（1）由一元二次不等式的解集知，可得，
又由，可得，即，
解得，
故不等式的解集为；
（2）由条件知，不等式在R上恒成立，
当时，显然恒成立；
当时，需使，解得，
综上；
（3）由题设，，则有，
① 当时，不等式可化成
若，即时，解集为
若，即时，无解；
若，即时，解集为.
② 当时，则，解集为;
③ 当，则，解集为.
综上，当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.
19．(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与系数的关系求解即可；
（2）当时，由题意可得，求解即可；
（3）化简可得，再以0，1为分界点讨论的范围，求解不等式即可.
【详解】（1）因为的解集为，
所以与1是方程的两个实数根，
由韦达定理可知：.
（2）当时，在上恒成立
则必有：,
所以实数的取值范围为；
（3）因为，则不等式化为：，
因式分解为：.
当时，化为，则解集为；
当时，，解得，不等式的解集为；
当时，，解得，不等式的解集为；
当时，，解得或，不等式的解集为或.
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.

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