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2025-2026学年四川省成都市润德英才学校高三（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列命题中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3.已知，则在复平面内的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.样本数据，，，，，，，的极差与第百分位数之差为( )
A. B. C. D.
5.命题：“函数在区间上单调递增”是命题：“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知函数在处取得极小值，则( )
A. B. C. D. 或
7.记为等差数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
8.已知，若，恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良采用有放回简单随机抽样的方法抽取足够样本后对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表后，经计算得到，则可以认为( )
A. 根据小概率值的独立性检验已知独立性检验中，两种疗法的效果没有差异
B. 根据小概率值的独立性检验已知独立性检验中，两种疗法的效果存在差异
C. 根据小概率值的独立性检验已知独立性检验中，两种疗法的效果没有差异
D. 根据小概率值的独立性检验已知独立性检验中，两种疗法的效果存在差异
10.已知函数是奇函数且上可导，且，则下列说法正确的是( )
A. B. 函数为偶函数
C. D. 函数的周期为
11.已知函数的部分图象如图所示，、分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，点为该部分图象与轴的交点将绘有该图象的纸片沿轴折成直二面角，如图所示，此时，则下列四个结论正确的有( )
A.
B.
C. 图中，
D. 图中，是及其内部的点构成的集合．设集合，则表示的区域的面积小于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若、满足，则的最小值是______．
13.已知函数，若，则 ______．
14.已知编号为，的两个盒子，其中号盒子内装有两个号球，一个号球；号盒子内装有两个号球，一个号球若第一次先从号盒子内随机抽取个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到号球的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
若，求的值；
若向量，，求与的夹角的余弦值．
16.本小题分
已知函数．
若，求曲线在点处的切线方程；
求在上的极值．
17.本小题分
如图，四边形中，，，为中点，点在上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得面与面所成的二面角为．
证明：平面；
求面与面所成二面角的正弦值．
18.本小题分
夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第天选择绿豆汤的概率是，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复提示：设表示第天选择绿豆汤
求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率；
求该同学第天选择绿豆汤的概率；
记该同学第天选择绿豆汤的概率为，求出的通项公式．
19.本小题分
已知三次函数过点，且函数在点处的切线恰好是直线．
求函数的解析式；
求的极值；
设函数，若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围．
参考答案
1.【答案】
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12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.由题意得，
因为，，且，
所以，解得；
由题意得，
若，则由，可得，解得，
所以，可得，
因为，，
所以的夹角满足．
16.若，则，
所以，则，又，
所以曲线在点处的切线方程为；
，，
当时，，单调递增，无极值；
当时，令，得或，，
如下表，
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以函数的极大值为，极小值为．
综上，当时，函数无极值；
当时，函数的极大值为，极小值为．
17.证明：因为在四边形中，，且，所以 ，
又，所以四边形为矩形，
折叠后，显然，平面，平面，
所以平面，同理可证平面，
又，所以平面平面，又平面，
所以平面；
由，，所以，所以，，
所以面与面所成二面角的平面角为，
结合，所以平面，可得平面平面，
又为的中点，所以为等边，
如图以为原点建立空间直角坐标系，设，则，
所以，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
则，可得，
再设平面的法向量，
则，解得，
设面与面所成二面角为，
则，
所以．
18.解：该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率为；
设表示第天选择绿豆汤，表示第天选择绿豆汤，则表示第天选择银耳羹，
根据题意得，，
所以．
设表示第天选择绿豆汤，则，
根据题意得，，
由全概率公式得，，
即，
整理得，，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
所以，
所以．
19.由题，
由题意知：；
由定义域为，，令，得或
当变化时，、变化如下：
递增 极大值 递减 极小值 递增
因此极大值为，极小值为；
令，
设，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
因此，，
因为函数在区间上有两个零点，
因此直线与函数的图象有两个交点，
故实数的取值范围为．
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