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2025-2026学年富宁县上海新纪元实验学校高二（上）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知，，设，的夹角为，则在上的投影向量是( )
A. B. C. D.
4.要得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点( )
A. 横坐标变为原来的纵坐标不变 B. 横坐标变为原来的倍纵坐标不变
C. 纵坐标变为原来的横坐标不变 D. 纵坐标变为原来的倍横坐标不变
5.不等式的解集为( )
A. B. C. D.
6.从装有个红球和个白球的口袋中任取个球，那么互斥而不对立的事件是( )
A. 至多有个白球与恰有个白球 B. 至少有个白球与都是红球
C. 恰有个红球与恰有个白球 D. 至多有个红球与至多有个白球
7.函数的图像可能是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，若方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，，则( )
A. B.
C. D. 向量，，共面
10.设，为不重合的两条直线，，为不重合的两个平面，下列命题正确的是( )
A. 若且，则 B. 若且，则
C. 若且，则 D. 若且，则
11.已知函数，则( )
A. 是奇函数 B. 的最小正周期为
C. 的图象关于点对称 D. 在区间上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，，且，则的最小值是______．
13.在梯形中，，，将沿直线翻折成，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为______．
14.抛掷一枚质地不均匀的骰子，每次掷出点数为的概率为若连续抛掷这枚骰子三次，每次抛掷均相互独立，则事件“三次抛掷中恰有次掷出的点数为”的概率的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了名学生的成绩，根据这名学生的成绩成绩均在之间，将样本数据分为组：、、、、，绘制成频率分布直方图如图所示．
求频率分布直方图中的值，并估计这名学生的物理成绩的平均数同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表；
在样本中，从成绩在内的学生中，随机抽取人，求这人成绩都在内的概率．
16.本小题分
已知函数．
求的最小正周期；
求在上的值域．
17.本小题分
正方体中，，，分别是，，，的中点．
证明：平面；
求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
在中，，．
若，求的面积；
求的取值范围．
19.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数．
求的值；
求函数的值域；
存在时，不等式有解，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：根据题意可得，，
估计这名学生的物理成绩的平均数为：
分；
由频率分布直方图可得：成绩在内的学生有人，
其中内有人，设其为，；内有人，设其为，，，
则从这人中随机抽取人所得样本空间为：
，，，，，，，，，，
设“抽取的人成绩都在内“，
则，，，
所求概率为．
16.解：函数，故它的最小正周期为．
在上，，故，
故的值域为．
17.证明：，，
平面与平面是同一平面，
又，且，
四边形是平行四边形，
，又平面，平面，
平面；
解：设正方体的棱长是，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，
设平面的法向量，
则，即，令，则，，即，
设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为．
18.解；因为，
所以由正弦定理得：，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，因为，所以，
因为，，所以由正弦定理得：，
又因为，所以，
所以的面积为；
由知，由余弦定理得：，
即，
所以，当且仅当时取等号，
又因为，所以．
所以的取值范围．
19.由题，，即，解得；
因为，故，
因为，故，
故故的值域为；
由，，
故存在时，使得不等式有解，
设，因为，所以，
即，化简得，
故，
当且仅当，即时取等号，
故．
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