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2025-2026学年天津一中高三（上）月考数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若函数的大致图象如图所示，则的解析式可能是( )
A. B. C. D.
4.化简的值为( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知，则角所在的区间可能是( )
A. B. C. D.
7.函数的零点所在区间是( )
A. B. C. D.
8.设函数在区间恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.设表示不大于的最大整数，如，，若正数满足，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知，其中是虚数单位，那么实数______．
11.的展开式中的常数项为 ．
12.已知，在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当，的最小值为______．
13.已知中，，若的平分线交于点，则的长为______．
14.已知函数的图象与直线有三个交点，则实数的取值范围是______．
15.已知正实数，满足对任意实数均有，则的最大值为______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，已知，，．
求的值；
Ⅱ求；
Ⅲ求的值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，点在线段上，且．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值；
Ⅲ求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的左顶点与上顶点的距离为．
Ⅰ求椭圆的方程和焦点的坐标；
Ⅱ点在椭圆上，线段的垂直平分线与轴相交于点，若为等边三角形，求点的横坐标．
19.本小题分
设是等差数列，是各项均为正数的等比数列，．
求数列与的通项公式；
的前项和为，求证：；
求．
20.本小题分
已知函数，．
Ⅰ若，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ当时，恒成立，求实数的取值范围；
Ⅲ设，，若存在，，使得证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.因为，
所以，
又因为，
所以，
即，
因为，
所以；
Ⅱ因为，，，
所以，
即，
整理得：，
解得；
Ⅲ因为，，，，
所以，
，
所以，
所以，，
所以．
17.证明：平面，平面，，，，
，，，∽，
，，，平面，
Ⅱ解：平面，平面，平面，
，，为矩形，，
，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，
又，
设直线与平面所成角为，
，；
Ⅲ平面，取平面的法向量为，
则，，
所以二平面与平面的夹角的余弦值为．
18.解：Ⅰ依题意，有所以
所以椭圆方程为 ，
所以，
焦点坐标分别为，
Ⅱ方法：设，则，且，
若点为右顶点，则点为上或下顶点，，
不是等边三角形，不合题意，所以，．
设线段中点为，所以，
因为，所以，
因为直线的斜率，所以直线的斜率，
又直线的方程为，
令，得到，
因为，所以，
因为为正三角形，
所以，即
化简，得到，解得舍
故点的横坐标为．
方法：设，直线的方程为．
当时，点为右顶点，则点为上或下顶点，，
不是等边三角形，不合题意，所以．
联立方程，消元得，
所以，所以，
设线段中点为，所以，，
所以，
因为，所以，
所以直线的方程为，
令，得到，
因为为正三角形，所以，
所以，
化简，得到，解得舍，
所以，
故点的横坐标为．
方法：设，当直线的斜率为时，点为右顶点，
则点为上或下顶点，，
不是等边三角形，不合题意，所以直线的斜率不为．
设直线的方程为，
联立方程 ，消元得，，
所以，
设线段中点为，所以，，
所以，
因为，所以，
所以直线的方程为，
令，得到
因为为正三角形，所以
所以
化简，得到，解得舍
所以，
故点的横坐标为．
19.解：设，，，
由已知，，，解为，，．
证明：由已知，
左式，右式，
．
由已知，
，
，
为，
．
20.解：Ⅰ当时，，，
，又，切线方程为，即．
Ⅱ设，则，
令，则，
当时，，，在上单调递增，
即在上单调递增，，
在上单调递增，，
符合题意；
当时，令得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，即在上恒成立，
，
符合题意；
当时，在上恒成立，
在上单调递增，即在上单调递增，
又，当时，，
存在，使得，
当时，，即在上单调递减，
当时，，不符合题意．
综上所述，实数的取值范围是．
Ⅲ证明：由函数，可得，
设，由，
可得，
则，
又由，可得，
函数为单调递增函数，
，即，
，
由Ⅱ知，当时，，
，
即，
，
代入可得：，
则，
，
又时，，
，，
．
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