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上海市致远中学2025-2026学年上学期9月月考九年级
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）
1．符号sinA表示（　　）
A．∠A的正弦 B．∠A的余弦 C．∠A的正切 D．∠A的余切
2．如果，那么（ ）
A． B． C．5 D．
3．在Rt中，∠C=90°，如果AC=2，，那么AB的长是（ ）
A． B． C． D．
4．直角梯形ABCD如图放置，AB、CD为水平线，BC⊥AB，如果∠BCA＝67°，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的（　　）
A．俯角67°方向 B．俯角23°方向
C．仰角67°方向 D．仰角23°方向
5．已知，为非零向量，如果＝﹣5，那么向量与的方向关系是（　　）
A．∥，并且和方向一致 B．∥，并且和方向相反
C．和方向互相垂直 D．和之间夹角的正切值为5
6．如果点、、分别在边、、上，联结、，且，那么下列说法错误的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）
7．已知，那么
8．如果，那么锐角 度
9．线段AB＝2cm，点P为线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则AP的长为 cm．
10．计算：2（﹣2）+3（+）＝ ．
11．在比例尺为1:8000 000地图上测得甲、乙两地间的图上距离为4厘米，那么甲、乙两地间的实际距离为 千米
12．如果两个相似三角形的周长比为1：2，那么它们某一对对应边上的高之比为 ．
13．如图，，，，，那么

14．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE，若BE=9，BC=12，则cosC= ．
15．如图，的中线、交于点，点在边上，，那么 ．
16．如图，斜坡长为100米，坡角，现因“改小坡度”工程的需要，将斜坡改造成坡度的斜坡（、、三点在地面的同一条垂线上），那么由点到点下降了 米（结果保留根号）
17．如图，点C是长度为8的线段AB上一动点，如果AC＜BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作等边△ACD、△BCE，联结DE，当△CDE的面积为3时，线段AC的长度是 ．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A'BC'D'，点A的对应点A'在对角线AC上，点C、D分别与点C'、D'对应，A′D'与边BC交于点E，那么BE的长是 ．
三、解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分)
19．计算：
20．如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，设，．
(1)试用、的式子表示向量；
(2)在图中作出向量在、方向上的分向量，并写出结论．
21．如图，已知在中，，，延长边至点D，使，连接.
（1）求的正切值；
（2）取边的中点E，连接并延长交边于点F，求的值.
22．某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D处用测角仪测得楼顶M的仰角为30°，再沿DF方向前行40米到达点E处，在点E处测得楼顶M的仰角为45°，已知测角仪的高AD为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF的高．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）
23．在中，点D、E分别在边、上，与交于点F. 若平分，．
(1)求证： ；
(2)若，交边的延长线于点G，求证：．
24．综合与实践
(1)【问题初探】某兴趣小组探索这样一个问题：若是的角平分线，则线段，，，有何数量关系？下面是小智、小勇的部分思路和方法，请完成填空：
小智的思路和方法：如图①，作，，垂足分别为M，N． ∵平分，，，___________． ∵，，∴． 再用另一种方式表示与的面积，即可推导出结论… 小勇的思路和方法：如图②，作，交的延长线于点E． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴___________． 再通过证明得到比例式，从而推导出结论…
根据小智或小勇的方法，可以得到线段，，，的数量关系是___________；
(2)【变式拓展】小慈对问题作了进一步拓展：如图3，在中，，D是边上一点，，，求的值．请你完成解答．
(3)【迁移应用】请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在图4的线段上作一点P，使．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
25．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D为AB边上一动点（点D与点A、B不重合），连接CD，过点D作DE⊥DC交边BC于点E．
（1）如图，当ED＝EB时，求AD的长；
（2）设AD＝x，BE＝y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；
（3）把△BCD沿直线CD翻折得△CDB'，连接AB'，当△CAB'是等腰三角形时，直接写出AD的长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A B B D B C
7．6
8．30
9．（﹣1）/（﹣1＋）
10．5
11．320
12．1:2．
13．/2.25
14．
15．
16．
17．2．
18．．
19．原式=
=
=
=．
20．（1）解：，，
∴，
，
，即，
，，，方向相同，
，
，
；
（2）如图所示：即为向量在方向上的分向量分别为，．
21．解：（1）过点C作于G，
则，
∴，
∵，
∴设，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
故的正切值为；
（2）延长至H，使，连接，
∵E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．解：设MC＝x，
∵∠MAC＝30°，
∴在Rt△MAC中，AC＝＝x，
∵∠MBC＝45°，
∴在Rt△MCB中，MC＝BC＝x，
又∵AB＝DE＝40，
∴AC﹣BC＝AB＝40，即x﹣x＝40，
解得：x＝20+20≈54.6，
∴MF＝MC+CF＝54.6+1.5＝56.1（米），
答：楼MF的高56.1米．
23．（1）证明：∵平分，
∴，
又∵，
，
，
，
又，
，
又，
．
（2）证明：∵，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
24．（1）解：由角平分线定理可知，角平分线上任意一点向两边作垂线，两条线段相等可得；由等腰三角形两个底角相等可得两腰相等，即；通过题意的推论进一步得出其对应边成比例的关系，即．
故答案为：，，．
（2）解：如图，设的边上的高为h，作边上的高，边上的高，
则，，
又，，
∴，
∴．
（3）解：如图所示为所求：
25．解：（1）∵ED＝EB，
∴∠EDB＝∠B，
∵CD⊥DE，
∴∠CDE＝∠A＝90°，
∵∠ACD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠EDH＝90°，
∴∠ACD＝∠EDB＝∠B，
∴tan∠ACD＝tan∠B，
∴，
∴，
∴AD＝．
（2）如图1中，作EH⊥BD于H．
在Rt△ACB中，
∵∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，
∴BC＝，
∴sin∠B=，cos∠B=
∵BE＝y，
∴EH＝BE sin∠B =y，BH＝BE cos∠B =y，
∴DH＝AB﹣AD﹣BH＝4﹣x﹣y，
∵∠A＝∠DHE＝90°，∠ACD＝∠EDH，
∴△ACD∽△HDE，
∴，
∴，
∴y＝（0＜x＜4）．
（3）①如图3﹣1中，设CB′交AB于K，作AE⊥CK于E，DM⊥CB′于M，DN⊥BC于N
∵AC＝AB＝3，AE⊥CB′，
∴CE＝E B′=CB′＝，
∴AE＝，
∵∠ACE=∠KCA，∠AEC=∠KAC=90°，
∴△ACE∽△KCA，
∴，即
∴AK＝，CK＝，
∴BK＝AB﹣AK＝4﹣，
∵∠DCK＝∠DCB，DM⊥CM，DN⊥CB，
∴DM＝DN，
∴，
∴BD＝BK＝﹣，
∴AD＝AB﹣BD＝4﹣（﹣）＝+．
②如图3﹣2中，当CB′交BA的延长线于K时，同法可得BD＝BK＝＝+，
∴AD＝AB﹣BD＝﹣．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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