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2025人教版九年级数学上学期9月第一次月考检测试卷
考试范围：第一章——第二章
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列方程为一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线
C．当时，y随x的增大而减小 D．抛物线的顶点坐标为
3．若平面直角坐标系中二次函数的图象，经过平移后可与的图象完全重合，则的值可能分别为（ ）
A． B． C． D．
4．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
7．表中所列x，y的7对值是二次函数，图象上的点所对应的坐标，其中，
x ．．． ．．．
y ．．． 7 m 14 k 14 m 7 ．．．
根据表中提供的信息，有以下4个判断：①a＜0；②7＜m＜14；③当x＝时，y的值是k；④，其中判断正确的是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．③④
8．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且．当的值最小时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．一元二次方程的根是 ．
10．抛物线的顶点坐标是 ．
11．如果是抛物线上两点，那么 ．（填“>”或“<”）
12．若关于x 的一元二次方程没有实数根，则m 的取值范围是
13．如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是 ．
第13题 第14题
14．二次函数的图象如图所示．下列结论：；；；若且，则．其中结论正确的是 ．
15．如图，抛物线与轴交于点 ，（点在点左边），与 轴交于点，抛物线的顶点为，点在线段（不与点，M重合）上，连接，将线段绕点旋转后得到线段 ，若点恰好落在抛物线上，则点的坐标为 ．
第15题 第16题
16．如图，二次函数是二次函数关于轴对称得到的，再将二次函数向右平移1个单位长度得到二次函数是函数上的任意一点，且点A的横坐标为，点的坐标为，连接，以为对角线作矩形，且矩形的边与坐标轴平行．矩形的边（包括顶点）与函数有3个交点时的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共11小题，共82分）
17．（本题8分）解方程
(1) (2)
(3) (4)
18．（本题6分）已知关于的方程．
(1)求证：方程必有两个不等实数根；
(2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根．
19．（本题6分）如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．．
(1)当为何值时，的长度等于？
(2)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
20．（本题6分）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)抛物线的对称轴是直线　　　　；
(2)若抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的解析式；
(3)若，对于抛物线上的两点，，当，时，均满足，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．
21．（本题6分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价元．
(1)用含的代数式表示下列各量．
①每件商品的利润为______元；②每星期卖出商品的件数为______件．
(2)当商家每星期想获得利润5280元，如何定价？
(3)如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少．
22．（本题6分）已知关于x的一元二次方程有两个不等的实数根
(1)若a为正整数，求a的值．
(2)若、满足．求a的值．
23．（本题8分）如图，关于x的二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴相交于点C．
(1)求二次函数的表达式和线段的长；
(2)在抛物线对称轴上找一点P，使为等腰三角形？直接写出点P的坐标．
24．（本题8分）已知二次函数（m为常数）．
(1)若点在该函数图像上，则 ；
(2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点；
(3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围．
25．（本题8分）如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于两点，其中点的坐标为，且点（2，5）在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为抛物线与轴的交点；
①点在抛物线上，且，求点点坐标；
②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求的最大值和此时点坐标．
26．（本题10分）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．已知二次函数（为常数）
(1)若该函数经过点，求该函数表达式；
(2)在（1）的条件下，
①求出该图象上的“三倍点”坐标；
②当时，函数的最小值为，求的值；
(3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，结合图象，求出的取值范围．
27．（本题10分）如图，小方站在水平球台上打高尔夫球，球台到轴的距离为6米，与轴相交于点，弯道与球台交于点，且米，弯道末端垂直轴于，且米，从点处打出的高尔夫球沿抛物线运动，落在弯道的处，且到轴的距离为3米；
(1)点的坐标为______，______；点的坐标为______，______；
(2)红色球落在处后立即弹起，沿另外一条抛物线运动，若的最高点坐标为
①求抛物线的解析式，并说明小球能否再次落在弯道上？
②在轴上有托盘，若小球恰好能被托盘接住，则把托盘向上平移的距离为，求的取值范围（托盘的厚度忽略不计）.
答案解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列方程为一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，熟知一元二次方程的概念是正确解答此题的关键．
判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，据此解答即可．
【详解】解：A、未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故选项错误，不符合题意；
B、不是整式方程，故选项错误，不符合题意；
C、符合一元二次方程的定义，故选项正确；
D、方程含有两个未知数，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
2．已知抛物线，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线
C．当时，y随x的增大而减小 D．抛物线的顶点坐标为
【答案】C
【知识点】y=a（x-h） +k的图象和性质、把y=ax +bx+c化成顶点式、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先将配方成顶点式，再根据二次函数的图象与性质判断即可．
【详解】解：，，
∴对称轴为直线，抛物线开口向上，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，
∴A、B、D正确，不符合题意；C错误，符合题意；
故选：C．
3．若平面直角坐标系中二次函数的图象，经过平移后可与的图象完全重合，则的值可能分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h） +k的图象和性质
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据平移前后抛物线的解析式可得，进而根据选项即可判断求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数的图象，经过平移后可与的图象完全重合，
∴，
故选:C．
4．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况”是解本题的关键．对于，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，据此即可解答．
【详解】解：，
∴，
所以原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
5．某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】传播问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查一元二次方程的应用——传播问题，个好友转发给个互不相同的人时，转发了次，加上小方转给自己的1次和转给好友的次，共133次，由此可列方程．
【详解】解：由题意得，，
故选B．
6．同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象的性质，根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与轴的交点为，二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：当时，二次函数顶点在轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限，
当时，二次函数顶点在轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限，
∴符合题意的是选项，
故选：．
7．表中所列x，y的7对值是二次函数，图象上的点所对应的坐标，其中，
x ．．． ．．．
y ．．． 7 m 14 k 14 m 7 ．．．
根据表中提供的信息，有以下4个判断：①a＜0；②7＜m＜14；③当x＝时，y的值是k；④，其中判断正确的是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．③④
【答案】C
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】根据表格得到二次函数的性质，分别求出开口方向，对称轴、最值即可解题．
【详解】解：由表格中的数据可知,当时,y的值先变大后减小，说明二次函数开口向下,所以① 正确；
同时可以确定对称轴在与之间,所以在对称轴左侧可得②正确；
因为不知道横坐标之间的取值规律，所以无法说明对称轴是直线x=,所以此时顶点的函数值不一定等于k,所以③当时，y的值是k错误；
由题可知函数有最大值,此时，且a＜0，
化简整理得：④ 正确,
综上正确的有①②④；
故选：C.
【点睛】本题考查了二次函数的性质，中等难度，将表格信息转换成有效信息是解题关键．
8．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且．当的值最小时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程、y=ax +bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标、利用平行四边形的判定与性质求解
【分析】将点沿轴向下平移个单位，得到点，设点是抛物线与轴的另一个交点，连接，，，易证得四边形是平行四边形，于是可得，由轴对称的性质可得，于是得到，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，利用待定系数法可求得直线的解析式，然后求得抛物线的对称轴，通过求解两条直线的交点即可得出答案．
【详解】解：如图，将点沿轴向下平移个单位，得到点，设点是抛物线与轴的另一个交点，连接，，，
点沿轴向下平移个单位得到点，
，
，
，
抛物线的对称轴轴，
且线段在抛物线的对称轴上，线段在轴上，
，
四边形是平行四边形，
，
抛物线是轴对称图形，
，
，
当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，
在抛物线中，
令，则，
，
令，则，
解得：或，
，，
由平移的性质可得：
点的纵坐标，
，
设直线的解析式为，
将，代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为，
在抛物线中，其对称轴为直线，
要使的值最小，则点的坐标应满足，
解得：，
，
故选：．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，三角形三边之间的关系，求抛物线与轴的交点坐标，求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，巧妙添加辅助线并运用数形结合思想是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．一元二次方程的根是 ．
【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等．根据则或，即可解题．
【详解】解：，
∴或，
∴，．
故答案为：，．
10．抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】
【知识点】y=a（x-h） +k的图象和性质
【分析】本题主要考查了求抛物线顶点坐标的方法．掌握顶点式的特征是解题关键．利用二次函数解析式中的顶点式，顶点坐标为，即可得出．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为．
故答案为：．
11．如果是抛物线上两点，那么 ．（填“>”或“<”）
【答案】
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题考查的是二次函数的增减性，求二次函数值．根据自变量的值先求解二次函数值，再比较大小即可得到答案．
【详解】解：当时，，
当时，，
∵，
∴，
故答案为：．
12．若关于x 的一元二次方程没有实数根，则m 的取值范围是
【答案】
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查一元二次方程根的情况，掌握相关知识是解决问题的关键．因为一元二次方程没有实数根，所以，据此解答即可．
【详解】解：∵一元二次方程没有实数根，
∴
即，
解得．
故答案为：．
13．如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、图象法解一元二次不等式、根据交点确定不等式的解集
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，由图像可求得的解集，即可获得答案，解题关键是利用数形结合的思想分析问题．
【详解】解：∵抛物线 与直线相交于两点，
∴由图可知，当时，二次函数图象在一次函数图象上方，此时，
∴的解集为，
∴不等式的解集为．
故答案为：．
14．二次函数的图象如图所示．下列结论：；；；若且，则．其中结论正确的是 ．
【答案】
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据抛物线对称轴方程得到，则可对进行判断；由抛物线开口方向得到，由b=﹣2a得到，由抛物线与y轴的交点在轴上方得到，则可对进行判断；根据二次函数图象的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在点与之间，则时，，于是可对进行判断；由得到，则可判断和所对应的函数值相等，则，于是可对进行判断，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线对称轴为，即，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴上方，
∴，
∴，所以错误；
∵，
∴，所以正确；
∵抛物线与轴的交点到对称轴的距离大于，
∴抛物线与轴的一个交点在点与之间，
∴抛物线与轴的另一个交点在点与之间，
∴时，，
∴，所以错误；
当，则，
∴和所对应的函数值相等，
∴，
∴，所以正确；
故答案为：．
15．如图，抛物线与轴交于点 ，（点在点左边），与 轴交于点，抛物线的顶点为，点在线段（不与点，M重合）上，连接，将线段绕点旋转后得到线段 ，若点恰好落在抛物线上，则点的坐标为 ．
【答案】或
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了二次函数综合题，掌握数形结合，构造全等三角形将点的坐标进行转换是解题的关键．根据二次函数解析式求出点，的坐标，从而求出直线的解析式；由全等三角形得到，点代入，得从而求得点的坐标，第二种情况是过点作轴于点，过点作轴于点，由全等三角形得到，，点代入，得，求出的值，从而求出点的坐标．
【详解】解：，
，
令，得，
，
设直线的解析式为，
将点代入，得，解得，
直线的解析式为，
设，
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，
，，
线段绕点旋转后得到线段，
，，
，
，，
，
，，
，
将点代入，得，
解得（不合题意，舍去），，
，
如下图，过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，
，，
同理，得，
，，
，
将点代入，得，
解得（不合题意，舍去），，
，
综上所述，点的坐标为或，
故答案为：或．
16．如图，二次函数是二次函数关于轴对称得到的，再将二次函数向右平移1个单位长度得到二次函数是函数上的任意一点，且点A的横坐标为，点的坐标为，连接，以为对角线作矩形，且矩形的边与坐标轴平行．矩形的边（包括顶点）与函数有3个交点时的取值范围是 ．
【答案】或
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、根据矩形的性质求线段长
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点、二次函数图象的平移、矩形的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
设函数与轴的交点为，其中．利用二次函数的性质易得，易得点，，进而得到矩形的中心点在直线，然后根据m的取值情况分11种情况分别画出图形运用矩形的性质分别分析判断即可．
【详解】由题意，得函数的表达式为．
∴函数的对称轴为直线．
令，则．解得，
∴点，．
∵点的横坐标为，点，以为对角线的矩形的中心点是的中点，
矩形的中心点在直线上．
①当时，如图1：矩形的边（包括顶点）与函数有4个交点．
②当时，矩形不存在．
③当时，如图2和图3，矩形的边（包括顶点）与函数有3个交点．
④当时，如图4，矩形的边（包括顶点）与函数有2个交点．
⑤当时，如图5，矩形的边（包括顶点）与函数有2个交点．
⑥当时，矩形不存在．
⑦当时，如图6，矩形的边（包括顶点）与函数有1个交点．
⑧当时，矩形不存在．
⑨当时，如图7，矩形的边（包括顶点）与函数有2个交点．
⑩当时（即点与点重合）．如图8，矩形的边（包括顶点）与函数有3个交点．
当时，如图9，矩形的边（包括顶点）与函数有4个交点．
综上所述，当或时，矩形的边（包括顶点）与函数有3个交点．
故答案为或．
三、解答题（本大题共11小题，共82分）
17．（本题8分）解方程
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查解一元二次方程，能根据一元二次方程的不同形式选择恰当的解法是解题的关键．
（1）先移项，再用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程；
（3）利用公式法解方程；
（4）利用因式分解法解方程．
【详解】（1）解：，
，
，
解得，；
（2）解：，
，
或，
解得，；
（3）解：，
，
，
解得，；
（4）解：，
，
，
，
，
或，
解得，．
18．（本题6分）已知关于的方程．
(1)求证：方程必有两个不等实数根；
(2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根．
【答案】(1)方程必有两个不等实数根；
(2)m的值为1，这两个有理数根为和．
【知识点】公式法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程．
（1）由方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程必有两个不等实数根；
（2）由m的取值范围及方程存在两个有理数根，可得出，代入后可得出原方程为，且，再利用公式法，即可求出原方程的两个有理数根．
【详解】（1）证明：
．
∵，
∴，
即，
∴方程必有两个不等实数根；
（2）解：∵当m取的整数时，存在两个有理数根，且，
∴，
∴原方程为，且，
∴此时原方程的解为，
∴m的值为1，这两个有理数根为和．
19．（本题6分）如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．．
(1)当为何值时，的长度等于？
(2)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二次方程解决问题．
（1）先求出，，再利用勾股定理建立方程解方程即可得到答案；
（2）先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，设运动时间为秒，
，，
，
四边形是矩形，
，
在中，由勾股定理得，
，
解得（舍去），，
当时，的长度等于；
（2）由题意得：，
的面积等于，
，
，
，
或（舍去），
当时，使得的面积等于．
20．（本题6分）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)抛物线的对称轴是直线　　　　；
(2)若抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的解析式；
(3)若，对于抛物线上的两点，，当，时，均满足，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【知识点】y=a（x-h） +k的图象和性质、画y=ax +bx+c的图象、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一元一次不等式组的应用．熟练掌握二次函数的图象和性质及利用数形结合的思想是解题关键．
（1）根据求抛物线对称轴的公式即可解答；
（2）将该二次函数一般式改为顶点式，则可得出其顶点坐标；
（3）抛物线开口向上，对称轴是直线．当和时，，画出函数图象，根据，时， 恒成立，得出关于t的不等式组，最后解出其解集即可．
【详解】（1）解：∵该抛物线解析式为，
∴该抛物线的对称轴是直线．
故答案为：；
（2）解：∵，
∴该抛物线顶点坐标为．
∵抛物线的顶点在x轴上，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（3）解：如图，抛物线开口向上，对称轴是直线．
当和时，，
∵，时， 恒成立，
∴，
解得．
21．（本题6分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出30件．已知商品的进价为每件40元．设每件商品降价元．
(1)用含的代数式表示下列各量．
①每件商品的利润为______元；②每星期卖出商品的件数为______件．
(2)当商家每星期想获得利润5280元，如何定价？
(3)如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少．
【答案】(1)；
(2)55元件
(3)当商家每星期想获得利润5280元，应定价为48元/件或62元/件．
【知识点】列代数式、营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
（1）①根据题意和题目中的数据，可以用含的代数式表示出每件商品的利润；②根据每降价1元，每星期可多卖出30件，可以写出每星期卖出商品的件数；
（2）根据总利润单件利润销售量列方程求解即可；
（3）根据总利润单件利润销售量，可以写出关于的函数关系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到如何定价才能使每星期的利润最大，其最大值是多少．
【详解】（1）①每件商品的利润为元，
故答案为：；
②每星期卖出商品的件数为：，
故答案为：；
（2）设每件商品降价元，依题意得：
关于的函数关系式是：，
解得：（不合题意，舍去），，
当时，售价为（元）；
当时，售价为（元）．
答：当商家每星期想获得利润5280元，应定价为48元/件或62元/件．
（3）解：设总利润为，依题意得：
，
∴，
当时，取得最大值6750，此时售价为（元，
答：当定价为55元件时才能使每星期的利润最大，其最大值是6750元．
22．（本题6分）已知关于x的一元二次方程有两个不等的实数根
(1)若a为正整数，求a的值．
(2)若、满足．求a的值．
【答案】(1)，2
(2)
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a的取值范围，再由根与系数的关系得出方程是解答此题的关键．
（1）根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，于是得到结论；
（2）根据题意得，，代入，解方程即可得到结论．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∵a为正整数，
∴，2；
（2）解：根据题意得，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴．
23．（本题8分）如图，关于x的二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴相交于点C．
(1)求二次函数的表达式和线段的长；
(2)在抛物线对称轴上找一点P，使为等腰三角形？直接写出点P的坐标．
【答案】(1)；；
(2)或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、特殊三角形问题(二次函数综合)
【分析】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
（1）代入和，解方程组即可；令，求出点的坐标，利用两点间距离公式求解即可；
（2）当为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①；②；③，分别求解即可．
【详解】（1）解：把和代入可得，
解得：，
∴二次函数的表达式为：；
令抛物线，则，
∴，
∴；
（2）存在．
理由：∵，
∴设，
∵，，
∴，，
∵，为等腰三角形，
∴当时，，
解得：，此时；
当时，，
解得，此时；
当时，，
解得：，此时；
综上所述，或或．
24．（本题8分）已知二次函数（m为常数）．
(1)若点在该函数图像上，则 ；
(2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点；
(3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围．
【答案】(1)2
(2)见解析
(3)或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax +bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）将代入，解关于m的方程即可；
（2）通过判别式判断二次函数图像与x轴交点情况；
（3）根据二次函数的对称轴和增减性，确定p的取值范围．
【详解】（1）解：将代入，得：，
解得，
故答案为：2；
（2）解：，
，
，
，
该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点；
（3）解：的对称轴为直线，
二次项系数，
二次函数图像开口向上，
，
点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
，
即，
或．
25．（本题8分）如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于两点，其中点的坐标为，且点（2，5）在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为抛物线与轴的交点；
①点在抛物线上，且，求点点坐标；
②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求的最大值和此时点坐标．
【答案】(1)．
(2)①或；②，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax +bx+c的最值、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)
【分析】本题考查了二次函数—几何综合，解题关键是熟练掌握二次函数的图象及性质．
（1）因为抛物线的对称轴为点坐标为与在为抛物线上，代入为物线的解析式，即可解答；
（2）①先由二次函数的解析式为，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标；
②先运用待定系数法求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值，进一步求出的最大值和点坐标即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为点坐标为与在抛物线上，则∶
解得∶．
∴抛物线的解析式为．
（2）①抛物线的解析式为，
抛物线与y轴交点坐标为，
，
设点坐标为，
∵
，
．
当时，，
当时，．
点的坐标或，
②设直线的解析式为，将代入，
得，
解得∶．
即直线的解析式为．
如图，
设点坐标为，则点坐标为，，
当时，有最大值．
此时的最大值为，
当时，，
∴点坐标为．
26．（本题10分）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．已知二次函数（为常数）
(1)若该函数经过点，求该函数表达式；
(2)在（1）的条件下，
①求出该图象上的“三倍点”坐标；
②当时，函数的最小值为，求的值；
(3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，结合图象，求出的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②或
(3)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax +bx+c的图象与性质、y=ax +bx+c的最值、其他问题(二次函数综合)
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定，也考查了二次函数图象上点的坐标特征．
（1）把代入即可求得抛物线解析式；
（2）①设该函数图象上的“三倍点”坐标为，把代入，即可确定“三倍点”坐标；
②由（1）可知，分当，当时，两种情况下的最小值，令最小值等于-6，分别求解即可．
（3）由题意得，三倍点所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即可求解．
【详解】（1）解：把代入，
得，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）①设该函数图象上的“三倍点”坐标为，
把代入，
得，
整理得：，
解得，
∴“三倍点”坐标为；
②由()可知为，其中，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线，
当，即时，
∴当时，取得最小值，即，
解得或，
∵，
∴；
第二种情况：
当，即时，
∴当时，取得最小值，即，
解得或
∵，
∴；
综上，的值为或．
（3）解：由题意得，三倍点所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在的范围内，二次函数和至少有一个交点，
令，整理得，，
则，
解得；
把代入得，代入得，
∴，解得；
把代入得，代入得，
∴，解得；
综上，的取值范围为：．
27．（本题10分）如图，小方站在水平球台上打高尔夫球，球台到轴的距离为6米，与轴相交于点，弯道与球台交于点，且米，弯道末端垂直轴于，且米，从点处打出的高尔夫球沿抛物线运动，落在弯道的处，且到轴的距离为3米；
(1)点的坐标为______，______；点的坐标为______，______；
(2)红色球落在处后立即弹起，沿另外一条抛物线运动，若的最高点坐标为
①求抛物线的解析式，并说明小球能否再次落在弯道上？
②在轴上有托盘，若小球恰好能被托盘接住，则把托盘向上平移的距离为，求的取值范围（托盘的厚度忽略不计）.
【答案】(1)，12，，
(2)①，说明见解析；②
【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断
【分析】（1）根据题意得到F点坐标代入解析式求出反比例函数解析式，再求出点D坐标代入抛物线即可得到答案；
（2）根据题意求出新抛物线的交点求出A点坐标，将横坐标及横坐标加2代入抛物线即可得到d的取值范围；
【详解】（1）解：由题意可得，
∵，球台到轴的距离为6米，
∴，
将代入得，
，
∴，
∵到轴的距离为3米，
∴，故，
将代入得，
，解得：，
故答案为：，12，，；
（2）解：解：①∵抛物线顶点，
设抛物线解析式为，
把代入，解得，
∴的表达式为，
∵点A在反比例函数，且米，
∴点A的坐标为，当时，，
∴与弯道不相交，小球不能落在弯道上.
②当时，；
当时，，
综上，；
【点睛】本题考查二次函数与反比例函数综合问题，解题的关键根据题意找点代入求出解析式，求出交点．

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