资源简介

2025-2026学年河北省保定市定州中学高二（上）月考数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间向量，若，则( )
A. 2或4 B. 2或 C. 或4 D. 或
2.已知三条直线：，：，：，设，，，则是( )
A. 以A为直角顶点的等腰直角三角形 B. 以A为直角顶点的非等腰直角三角形
C. 以C为直角顶点的等腰直角三角形 D. 等边三角形
3.在三棱柱中，O是侧面的中心，则( )
A. B. C. D.
4.已知，直线l：，当k变化时，点A到直线l的距离的最大值为5，则( )
A. 3或7 B. 3或8 C. 2或7 D. 2或8
5.已知空间向量满足，若，则( )
A. B. C. D. 3
6.已知圆C：，直线l与圆C相切，且在坐标轴上的截距的绝对值相等，这样的直线l有( )
A. 3条 B. 4条 C. 5条 D. 6条
7.在棱长均相等的平行六面体中，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.在长方体中，，，球A是以A为球心，以1为半径的球.动点P在矩形的内部及其边界上运动，且P到球A的球面上的点的最小距离为2，则点P的轨迹长度为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列结论错误的是( )
A. 任意一个向量均可以作为直线的方向向量
B. 若是平面的法向量，则也是平面的法向量
C. 设点，，，则平面ABC的一个法向量为
D. 若向量，则与的夹角为钝角
10.下列说法正确的是( )
A. 若，则异面直线MN与PQ所成角的余弦值为
B. 若平面与平面的法向量分别为，则
C. O为所在平面外一点，若，则点平面ABC且在内部
D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
11.已知点，均在半径为R的圆C上，且的值域为，则下列结论正确的是( )
A. 圆心C在直线上
B. 满足条件的圆C有两个
C. 若点在圆C上，则点在圆C上
D. 圆C的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线：与直线：平行，则与间的距离为______.
13.已知点，点，点，则点C到直线AB的距离为______.
14.已知正三棱柱的底面边长为2，M是BC的中点，若线段上有一点N，使得，则侧棱长的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
已知圆C经过点，，且圆心C在直线上.
求圆C的方程；
若点在圆C上，求的最大值与最小值；
过原点的直线l交圆C于M，N两点，若，求直线l的方程.
16.本小题15分
如图，在四棱锥中，四边形ABCD是等腰梯形，，，设
证明：；
设，用表示与
17.本小题15分
已知点，动点满足：：
求动点G的轨迹方程；
若直线l：与点G的轨迹交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点C，若A，Q，C三点共线，求m的值.
18.本小题17分
如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，E是AC的中点.
求证：平面平面PAB；
求点A到平面PBC的距离；
求平面BPE与平面PEC夹角的大小.
19.本小题17分
如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，点N在AC上，且，点M是线段AB上的动点.
求异面直线PN与BC所成角的余弦值；
当M是AB的中点时，求PA与平面PMN所成角的正弦值；
求平面CPM与平面PMN夹角的最大值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为，又，
所以，解得或
故选：
根据，建立方程即可求解．
本题考查空间向量的运算，属基础题．
2.【答案】A
【解析】解：三条直线：，：，：，
则，
所以，
所以，即，
联立，解得，即，
联立，解得，即，
联立，解得，即，
则，
所以，
所以是以A为直角顶点的等腰直角三角形．
故选：
分别求出三条直线的斜率以及A，B，C的坐标，进而可得出三条直线的位置关系及三角形三边之间的大小关系，即可得解．
本题主要考查三角形形状的判断，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由题意三棱柱中，O是侧面的中心，
作出图形，
由题意与相交于点O，
取BC的中点D，连接DO，AD，则，
则
故选：
取BC的中点D，连接DO，由平行四边形及三角形法则即可求解．
本题考查了空间向量的线性运算，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由题意可知，直线l恒过定点，所以点A到直线l的距离的最大值为AM，
即，解得或
故选：
根据题意，直线l恒过点，所以点A到直线l的距离的最大值可转化为点A到定点M的距离，根据两点间的距离公式，求解即可．
本题考查点到直线的距离以及两点间的距离，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：空间向量满足，若，
故选：
借助空间向量模长与数量积的关系，结合数量积公式计算即可得．
本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的模，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：由圆C：，可得圆心，半径为，
当直线l过原点且与圆C相切时，设直线l的方程为，即，
则圆心C到直线l的距离为，
解得，即切线方程为和；
当直线l不过原点且与圆C相切时，要使得直线l在坐标轴上的截距的绝对值相等，
则直线l的斜率分别为或，
当时，设直线l的方程为，其中，
则圆心C到直线l的距离为，
解得或舍去，此时切线方程为；
当时，设直线l的方程为，其中，
则圆心C到直线l的距离为，
解得或舍去，即切线方程为，
综上可得，满足条件的切线方程共有4条．
故选：
根据题意，分直线l过原点和直线l不过原点，两种情况讨论，设出直线l的方程，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解．
本题考查直线与圆相切的性质的应用及分类讨论求直线在坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：设棱长均相等的平行六面体棱长为a，根据平面向量的性质可知，
且，根据题意可知，，
所以，
根据投影向量公式可知，投影向量为
故选：
利用基底法结合空间向量数量积公式及投影向量公式可求得投影向量．
本题考查了空间向量数量积公式及投影向量公式，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：已知动点P在矩形的内部及其边界上运动，且P到球A的球面上的点的最小距离为2，
则动点P一定在以A为球心，以3为半径的球面上，
再由动点P在矩形的内部及其边界上运动，则矩形面截以A为球心，以3为半径的球面可得圆弧MN，如图，
，，由勾股定理可得，
圆弧
故选：
利用球面截平面得圆弧，再结合弧长公式即可求解．
本题主要考查立体几何中的轨迹问题，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由直线方向向量的定义知，不能作为直线的方向向量，所以选项A结论错误；
对于B，若，则，此时不是平面的法向量，所以选项B结论错误；
对于C，因为，，，则，
设平面ABC的一个法向量为，
则，取，得，
所以平面ABC的一个法向量为，故选项C结论正确；
对于D，若有，但与的夹角不为钝角，所以选项D结论错误．
故选：
对A和B，利用直线方向向量和平面法向量的定义，即可求解；对C，利用法向量的求法，求出平面的一个法向量，即可求解；对D，结合选项条件，取，即可求解．
本题考查的知识点：向量的相关定义，向量的夹角运算，向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：因，则异面直线MN与PQ所成角的余弦值为，故A正确；
因平面与平面的法向量分别为，故，则，故B正确；
因，则，
则，即，
由平面向量基本定理可知，共面，
又有公共点，有公共点，则点平面ABC，
设，故点D在的外部，
又同向，则点M在的外部，故C错误；
是空间的一个基底，
设，则，
则，，故共面，
则不可以是空间的一个基底，故D错误．
故选：
A利用即可；B判断是否为0即可；C根据向量的运算化简得出即可判断四点共面，再根据向量的加法法则可判断M在的外部；D设，根据为基底即可求出．
本题主要考查空间向量的性质应用，考查计算能力，属于中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：对于A，因为，且的值域为，
所以圆C与直线、相切，
所以圆心C在两条切线所成角的交平分线上，设角平分线的斜率为k，
由到角公式有，可得，所以圆心C在直线上，
因为在圆C上，且，
所以圆心在直线上，故A正确；
对于B，设圆心C的坐标为，
因为在圆C上，所以，解得或，故B正确；
对于C，当时，圆C的方程为，显然不在圆上，
当时，圆C的方程为，
经验证，点，均在圆C上，故C正确；
对于D，由B分析知，圆C的半径为或，所以圆的面积有两个值，故D不正确；
故选：
根据两点斜率公式及直线与圆的位置关系确定A项；利用点到直线的距离公式解方程可确定B项；根据B项的结论确定圆的标准方程，验证可判定C、D项．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，直线：，直线：，
，即；
当时，与重合，不合题意，，
两直线方程为与，
与间的距离
故答案为：
利用两条直线平行的性质求得m的值，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由已知可得，
取，
则，
得点C到直线AB的距离为：
故答案为：
根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解．
本题主要考查点到直线距离的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：设正三棱柱的侧棱长为x，则长为x，
因为M是BC的中点，所以，
由已知可得，
故，，
又，，
故
，
解得，
又，
所以，
所以，
即侧棱长的取值范围是
故答案为：
，又，根据垂直得到数量积为0，列出等式即可求解．
本题主要考查棱柱的结构特征，向量法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】；
最大值为，最小值为；
或
【解析】因为圆心C在直线上，所以可设圆心为，
所以，即，
解得，所以，所以，
所以圆C的方程为
因为表示原点与圆C上的点间的距离，
而原点O在圆C外，，圆C的半径，
所以的最大值为，最小值为
当l垂直于x轴时，l即为y轴，将代入圆C的方程，
得，
所以，，
此时截得的弦长为，满足条件；
当l不垂直于x轴时，设l的方程为，
因为，所以圆心C到直线l的距离，
由点到直线的距离公式得，解得
所以直线l的方程为或
可设圆心为，由求出圆心坐标及半径进行求解；
由表示原点与圆C上的点间的距离，进行求解；
分直线的斜率存在与不存在进行求解．
本题考查圆的方程求解，直线与圆的位置关系应用，属于中档题．
16.【答案】因为在四边形ABCD中，，
所以根据两直线平行，内错角相等可得，，
再根据三角形相似的条件可得，
所以，即，
设，
由图根据平面向量的加法和减法法则可得：
；
；
【解析】证明：因为在四边形ABCD中，，
所以根据两直线平行，内错角相等可得，，
再根据三角形相似的条件可得，
所以，即，
设，
由图根据平面向量的加法和减法法则可得：
；
解：由图根据平面向量的加法法则和减法法则可得：
；
由于，所以根据平面向量的减法法则可得：
，
由图根据平面向量的减法法则可得：
，
综上，；
利用三角形相似可得：AM：：1，结合向量的线性运算求解即可；
利用向量的线性运算求解即可．
本题考查了平面向量的线性运算，属于中档题．
17.【答案】；
4
【解析】由已知得，，
因此，因此，
整理得动点G的轨迹方程为；
设，，则，
将l的方程代入中，整理得，
因此，，
因为A，Q，C三点共线，
因此，
因此，
因此，
，因此，
解得，所以m的值为
根据题意可得，再代入坐标化简即可得到轨迹方程；
设，，则，将直线方程与轨迹方程联立得到，，再由A，Q，C三点共线，可得，代入化简运算即可求
本题考查轨迹方程，属于中档题．
18.【答案】证明：因为平面ABC，而AC，平面ABC，故，，
故，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理得：
，
故，故，故，
而，AB，平面PAB，故平面PAB，
因平面PBE，故平面平面PAB；
；

【解析】证明：因为平面ABC，而AC，平面ABC，因此，
因此，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理得：
，
因此，因此，因此，
而，AB，平面PAB，因此平面PAB，
因平面PBE，因此平面平面PAB；
因为平面ABC，平面ABC，因此，
而，因此，
在中，由余弦定理可得，
而为三角形内角，因此，因此，
因此，
因此；
取AE的中点为N，在平面PAE中过N作，垂足为M，连接BM，
因为平面ABC，平面PAC，因此平面平面ABC，
由可得，因此且，
而平面平面，平面ABC，
因此平面PAE，而NM，平面PAE，因此，，
而，MN，平面BMN，因此平面BMN，
而平面BMN，因此，因此为二面角的平面角，
在直角三角形PEA中，，因此，
在直角三角形BNM中，，
而为锐角，因此，因此平面BPE与平面PEC夹角的大小为
多次运用余弦定理结合勾股定理可证，再结合空间垂直关系的转化可证平面平面PAB；
利用等积法可求点A到平面PBC的距离；
取AE的中点为N，在平面PAE中过N作，垂足为M，连接BM，则可证为二面角的平面角，利用解直角三角形可得，故可得平面BPE与平面PEC夹角的大小为
本题考查空间向量法求解二面角及两平面的夹角，属于难题．
19.【答案】；
；

【解析】设建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
因此，
因此异面直线PN与BC所成角的余弦值为；
当M是AB的中点时，，则，
设平面PMN的法向量为，因此，
令，因此，，
设PA与平面PMN所成角为，则；
因此PA与平面PMN所成角的正弦值为；
设，
当时，平面CPM与平面PMN重合，
当时，设平面PMN的法向量为，则，
令，则，
当时，设平面PMC的法向量为，则，
令，则可求得平面PMC的一个法向量为，
因此，
令，则
，
当且仅当，即，即时，取等号，
此时，
因此平面CPM与平面PMN夹角的最大值为
假设，建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量即可得到答案；
求出平面PMN的法向量，再利用线面角的空间向量求法即可得到答案；
求出平面CPM与平面PMN的法向量，再利用面面角的空间向量求法即可得到其表达式，结合换元法和基本不等式即可求出最值．
本题考查空间向量法求解二面角及两平面的夹角，属于难题．

展开更多......

收起↑