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2025-2026学年广西南宁三十五中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程一定是一元二次方程的是（　　）
A. x2-1=0 B. x2+x+y=0 C. D.
2.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性.下列汉字是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.关于x的函数y=（a-3）x2+1是二次函数的条件是（　　）
A. a≠0 B. a＞3 C. a≠-3 D. a≠3
4.一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行.若斜面的坡角α=25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（　　）
A. 155°
B. 125°
C. 115°
D. 65°
5.在平面直角坐标系中，点P（5，-3）关于y轴的对称点的坐标是（　　）
A. （-5，-3） B. （5，-3） C. （5，3） D. （-5，3）
6.将抛物线y=x2-1的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（　　）
A. y=x2+2 x+2 B. y=x2+2x-2 C. y=（x-1）2+1 D. y=（x-1）2-3
7.方程的根的情况是（　　）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
8.已知m,n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，则（m+1）（n+1）的值（　　）
A. -3 B. 3 C. 1 D. -1
9.关于二次函数y=（x-3）2-1，以下说法错误的是（　　）
A. 开口向上 B. 对称轴为直线x=-3
C. 有最小值-1 D. 与y轴交点为（0，8）
10.已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在函数y=﹣x2﹣2x+b的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
11.一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息756条，则可列方程（　　）
A. B. C. x（x-1）=756 D. x（x+1）=756
12.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象，有如下结论：
①abc＜0；②2a+b=0；③3b-2c＜0；④am2+bm≥a+b（m为实数）.
其中正确结论的个数是（　　）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.抛物线y=-（x-3）2-2的顶点坐标是 .
14.如图，已知长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为 ．
15.根据下列表格中y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0、a,b,c为常数）的一个根x的取值范围是 .
x 0.4 0.5 0.6 0.7
y=ax2+bx+c -0.64 -0.25 0.16 0.59
16.阅读材料：定义：如果一个数的平方等于-1，记为i2=-1.这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a,b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算类似.
例如计算：（4+i）+（6-2i）=（4+6）+（1-2）i=10-i；
（2-i）（3+i）=6-3i+2i-i2=6-i-（-1）=7-i；
（4+i）（4-i）=16-i2=16-（-1）=17；
（2+i）2=4+4i+i2=4+4i-1=3+4i
根据以上信息，完成下面计算：
（1+2i）（2-i）+（2-i）2= ______.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
18.(本小题8分)
解方程：
（1）x2+4x+5=0；
（2）x2-2x-2=0.
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=36°，点D在AC边上，且AD=AB.
（1）求∠BAC的度数；
（2）尺规作图：作∠BAC的平分线，交BC于点E，连接DE；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（3）在（2）的条件下，求证：BE=CD.
20.(本小题10分)
已知二次函数解析式：y=x2-2x-3，完成下列表格，并在坐标系中描点画出函数图形并回答问题：
（1）完成填表并画出函数图象：
x -2 -1 0 1 2
y=x2-2x-3
（2）把二次函数y=x2-2x-3先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度后，新的解析式为______.
21.(本小题10分)
如图，在△ABC中AB=AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O.
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若∠AOE=60°，AE=4，求AD的长.
22.(本小题10分)
某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于36元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系，如图所示.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
（3）设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？
23.(本小题10分)
图1是张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式，能更真实地模拟实战.图2是发球机从中线OB的端点O的正上方0.3m处的A点发球，球呈抛物线在OB正上方飞行，当飞行的水平距离为1m时，达到最高点M，其高度为0.4m.以O为原点，OB，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系.
（1）求图2中抛物线的表达式.
（2）记图2中的落球点为点E，则OE的长为多少？
（3）图3是为了更好地模拟与人对打，将出球方向改变，调整成两跳球的方式，即球从点A落到点D，再反弹过网落下，反弹后球呈抛物线飞行，且形状与图2中的抛物线形状保持不变，但反弹后的最高高度变为0.2m.若最后球也落在点E，则OD的长为多少？
24.(本小题10分)
【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔 德 费马提出的一个著名的几何问题.请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点A、B、C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置.托里拆利成功地解决了费马的问题.后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点A、B、C距离之和最小的点称为△ABC的费马—托里拆利点.
【问题解决】证明：如图②，把△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′，
∴∠PAP′=60°，AP=AP′，PC=P′C′
∴△APP′为等边三角形，
∴AP=PP′，
∴PA+PB+PC=PP′+PB+PC
点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC为定长.
∴当B、P、P′、C′四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小.
（1）观察图②中∠APB、∠BPC和∠CPA，试猜想这三个角的大小关系.
（2）【类比探究】如图③，在直角三角形ABC内部有一动点P，∠ACB=90°，∠BAC=30°，连接PA，PB，PC，若BC=2.求PA+PB+PC的最小值；
（3）【拓展应用】已知正方形ABCD内一动点P到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求出此正方形的边长.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】C
12.【答案】C
13.【答案】（3，-2）
14.【答案】6cm2
15.【答案】0.5＜x＜0.6
16.【答案】7-i
17.【答案】解：原式=
=．
18.【答案】解：（1）x2+4x+5=0，
这里a=1，b=4，c=5，
∴Δ=b2-4ac=42-4×1×5=-4＜0，
∴原方程无解；
（2）x2-2x-2=0，
移项得：x2-2x=2，
配方得：x2-2x+1=3，
即（x-1）2=3，
，
解得．
19.【答案】解：（1）∵AC=BC，∠C=36°，
∴；
（2）如图所示，射线AE、线段DE为所求；
（3）由（2）可知AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=36°，
在△BAE和△DAE中
∴△BAE≌△DAE（SAS）
∴∠ADE=∠B=72°，BE=DE，
∴∠DEC=∠ADE-∠C=72°-36°=36°=∠C，
∴DE=CD，
∴BE=CD．
20.【答案】5，0，-3，-4，-3；图象见解析；
y=（x-2）2-1．
21.【答案】（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD∥AE，BD=AE
∵D为BC中点，
∴DC=AE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴平行四边形ADCE是是矩形；
（2）解：∵四边形ADCE是矩形，
∴AO=CO=DO=EO，DC=AE，
∵∠AOE=60°，AE=4，
∴△AOE是等边三角形，
∴AO=EO=AE=4，AC=8，
∵∠ADC=90°，
∴．
22.【答案】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
由所给函数图象可知：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y=-2x+120；
（2）根据题意得：（x-20）（-2x+120）=600，
整理，得：x2-80x+1500=0，
解得：x=30或x=50（舍去），
答：每件商品的销售价应定为30元；
（3）∵y=-2x+120，
∴w=（x-20）y=（x-20）（-2x+120）=-2（x-40）2+800，
∴抛物线的对称轴为x=40，且开口向下，
∴当x＜40时，y随x的增大而增大，
∵x≤36，
∴当x=36时，w有最大值，最大值为，
∴售价定38元/件时，每天最大利润为768元．
23.【答案】解：（1）建立如图2、3所示的直角坐标系，
则点A、M的坐标分别为（0.0.3）、（1，0.4），
设抛物线的表达式为：y=a（x-1）2+0.4，
将点A的坐标代入上式得：0.3=a（0-1）2+0.4，
解得：a=-0.1，
则抛物线的表达式为：y=-0.1（x-1）2+0.4；
（2）令y=-0.1（x-1）2+0.4=0，
解得：x=-1（舍去）或3（m），
即OE=3m；
（3）设点D（m,0），则点E（3，0），
设抛物线的表达式为：y=-0.1（x-m）（x-3）=-0.1x2+（0.3+0.1m）x-0.3m,
则c-=-0.3m-=0.2，
解得：m=3-2（m）（不合题意的值已舍去），
即OD长为（3-2）m.
24.【答案】（1）∠APB=∠BPC=∠CPA；
理由如下：
∵△APP′是等边三角形，
∴∠APP′=∠AP′P=60°，
∵B、P、P′、C′四点在同一直线上，
∴∠APB=180°-∠APP′
=120°，
∠AP′C′=180°-∠AP′P
=120°，
由旋转得：
∠BPC=∠AP′C′=120°，
∴∠CPA=360°-∠APB-∠AP′C′
=120°，
∴∠APB=∠BPC=∠CPA；
（2）如图，由【问题解决】同理将△ABP绕B点逆时针旋转60°得到△A′BP′，
∴当C、P、P′、A′四点在同一直线上时，
PA+PB+PC最小，
此时PA+PB+PC=A′C，
由旋转得：A′B=AB，∠ABA′=60°，
∴△ABA′是等边三角形，
∴∠BAA′=60°，
AA′=AB，
∵∠BAC=30°，
∴∠A′AC=90°，
∵BC=2，
∴AB=2BC=4
∴
=，
∴AA′=4，
在Rt△A′AC中
=
=，
故PA+PB+PC最小值为；
（3）解：如图，△ABP绕B点逆时针旋转60°得到△A′BP′，过A′作A′E⊥CB交CB的延长线于E，
∴当C、P、P′、A′四点在同一直线上时，
PA+PB+PC最小，
此时PA+PB+PC=A′C
=，
由旋转得：∠ABA′=60°，
A′B=AB，
∴∠A′BE=90°-∠ABA′
=30°，
设正方形的边长为2x,则有
A′B=AB=2x,
∴A′E=x,
=，
∴CE=BC+BE
=，
在Rt△A′EC中，
A′E2+CE2=A′C2，
∴，
解得：x1=1，x2=-1（舍去），
∴BC=2，
故正方形的边长为2．
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