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2025-2026学年甘肃省酒泉一中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.一元二次方程x2+3x=1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　）
A. 1，3，1 B. 1，3，-1 C. 0，-3，1 D. 0，-3，-1
3.一元二次方程x2-4x+3=0经过配方变形为（x-2）2=k,则k的值是（　　）
A. -3 B. -7 C. 1 D. 7
4.如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5，点D在圆上，且∠ADC=30°，则⊙O的半径为（　　）
A. 2.5
B. 5
C. 7.5
D. 10
5.若关于x的一元二次方程（a-1）x2+a2x-a=0有一个根是x=1，则a的值为（　　）
A. -1 B. 0 C. 1 D. -1或1
6.陀螺是一款常见的玩具.图1为通过折纸制作的一种陀螺，图2为这种陀螺的示意图.若将图2中的图案绕点O旋转x°可以与自身重合，则x的值可以是（　　）

A. 30 B. 45 C. 60 D. 105
7.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，将AC绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤90°），得到线段AE，连接CE，设AB=a,CE=b,下列说法正确的是（　　）
A. 若α=30°，则
B. 若α=45°，则
C. 若α=60°，则b=a
D. 若α=90°，则b=2a
8.某农业基地现有杂交水稻种植面积36公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增加到48公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A. 48（1+x）2=36 B. 48（1-x）2=36 C. 36（1+x）2=48 D. 36（1-x）2=48
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.点M（2，-4）关于原点对称的点的坐标是______.
10.如图所示，在⊙O中，已知∠AOB=100°，则∠ACB= ______.
11.参加足球联赛的每两个队都进行2场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？设参加比赛的有x个队，根据题意，可列方程为 .
12.如图，将ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠ADE= .（用含α的式子表示）
13.已知关于x的方程（m-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______．
14.若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为______.
15.如图所示的网格是正方形网格，线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，则α的值为 ．
16.如图，在⊙O中，直径AB=4，延长AB至C，使BC=OB，点D在⊙O上运动，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接OE，则线段OE的最大为______.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解方程：x2-4x-5=0．
四、解答题：本题共11小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
已知m是方程x2-x-2=0的根，求代数式 m（m-1）+5 的值.
19.(本小题8分)
下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在⊙O上．
求作：直线PA和⊙O相切．
作法：如图，
①连接AO；
②以A为圆心，AO长为半径作弧，与⊙O的一个交点为B；
③连接BO；
④以B为圆心，BO长为半径作圆；
⑤作⊙B的直径OP；
⑥作直线PA．
所以直线PA就是所求作的⊙O的切线．
根据小亮设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明；
证明：在⊙O中，连接BA，
∵OA=OB，AO=AB，
∴OB=AB．
∴点A在⊙B上．
∵OP是⊙B的直径，
∴∠OAP=90°（______）（填推理的依据）．
∴OA⊥AP．
又∵点A在⊙O上，
∴PA是⊙O的切线（______）（填推理的依据）．
20.(本小题8分)
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心．AB=100m，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD=10m，求这段弯路的半径．
21.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+（m-1）x+m-2=0.
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是正数，求m的取值范围.
22.(本小题8分)
如图，△ABC中，点E在BC边上，AE=AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.若∠ABC=66°，∠ACB=26°；求∠FGC的度数.
23.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（4，-3），将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA′B′，点A旋转后的对应点为A′.
（1）画出旋转后的图形△OA′B′；
（2）直接写出点B′的坐标；
（3）求点B经过的路径的长（结果保留π）.
24.(本小题8分)
列方程解决实际问题：
某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为46米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽AB为x米.
（1）BC=______米（用含x的代数式表示）；
（2）若围成的菜地面积为180平方米，求此时的宽AB.
25.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC边为直径作⊙O交AB于点D，连接DO并延长交BC的延长线于点E，点P为BC的中点，连接DP.
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠B=30°，求PE的长.
26.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b（k≠0）的图象是由函数y=2x的图象平移得到，且经过点（1，3）.
（1）求函数y=kx+b的解析式；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y=mx-1（m≠0）的值既小于函数y=kx+b的值，也大于函数y=-kx的值，直接写出m的取值范围.
27.(本小题8分)
如图，在等边△ABC中，D为AB上一点，连接CD，E为线段CD上一点（CE＞DE），将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF.
（1）求证：BE=AF；
（2）点G为BC延长线上一点，连接AG交CF于点M.若M为AG的中点，用等式表示线段CE，MF，DE之间的数量关系，并证明.
28.(本小题16分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点P和半径为1的⊙C给出如下定义：若过点P的直线l交⊙C于A，B两点，在P，A，B三点中，其中一点恰为以另外两点为端点的线段中点时，则称点P为⊙C的关联点.
（1）当点C与O重合时.
①在点D（4，0），中，⊙C的关联点是______；
②已知点P（m,n）在直线y=-x+3上，若点P为⊙C的关联点，直接写出m的取值范围______；
（2）⊙C的圆心C（c,0），直线与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上存在⊙C的关联点P，则c的取值范围是______.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】（-2，4）
10.【答案】130°
11.【答案】x（x-1）=90
12.【答案】90°-
13.【答案】m＜2且m≠1
14.【答案】9π
15.【答案】60°或120°
16.【答案】4+2
17.【答案】解：，
=0，
x-5=0或x+1=0，
则x1=5，x2=-1．
18.【答案】解：∵m是方程x2-x-2=0的根，
∴m2-m-2=0，
∴m2-m=2，
∴m（m-1）+5
=m2-m+5
=2+5
=7．
19.【答案】解：（1）如图，直线PA即为所求；
（2）直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线．
20.【答案】解：设这段弯路的半径为r m，
∵OC⊥AB于D，AB=100（m），
∴BD=DA=AB=50（m）
∴CD=10（m），
得OD=r-10（m）．
∵Rt△BOD中，根据勾股定理有BO2=BD2+DO2
即r2=502+（r-10）2
解得r=130（m）．
答：这段弯路的半径为130 m．
21.【答案】见解答；
m＜2
22.【答案】74°．
23.【答案】解：（1）△OA′B′即为所求，如图．
点A′（0，-5）；
（2）由图知，B（3，4）；
（3）OB==5，∠AOA′=90°，
∴点B在旋转过程中所走过的路径长BB′==．
24.【答案】（48-3x）；
10米
25.【答案】如图，连接CD．
∵AC为⊙O的直径，
∴∠CDA=90°，
∴∠CDB=90°，
∵点P为BC的中点，
∴，
∴∠B=∠PDB，
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，
∴∠PDB+∠CAB=90°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠CAB，
∴∠PDB+∠ODA=90°，
∴∠PDO=90°，即OD⊥PD，
又∵OD为⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线；

26.【答案】y=2x+1．
-1≤m≤2且m≠0．
27.【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∵将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，
∴CE=CF，∠FCE=60°，
∴∠BCE=∠ACF=60°-∠ACE，
在△BCE和△ACF中，
，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴BE=AF．
（2）解：CE=2MF+DE，
证明：作AH∥BC交CF的延长线于点H，则∠H=∠GCM，∠CAH=∠ACB=60°，
∵M为AG的中点，
∴AM=GM，
在△AMH和△GMC中，
，
∴△AMH≌△GMC（AAS），
∴HM=CM，
∵∠CBD=60°，
∴∠CBD=∠CAH，
在△BCD和△ACH中，
，
∴△BCD≌△ACH（ASA），
∴CD=CH，
∵CE=CF，
∴CD-CE=CH-CF，
∴DE=HF，
∵CF=MF+CM=MF+HM=MF+MF+HF=2MF+DE，
∴CE=2MF+DE．
28.【答案】①E；②0≤m≤3；
3≤c≤15
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