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2024-2025学年内蒙古鄂尔多斯市东胜区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.科技飞速发展的时代，新能源汽车宛如一颗璀璨的新星，划破传统燃油车的“苍穹”，引领着出行方式迈向全新纪元.如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
2.将抛物线y=（x-2）2-3向左平移3个单位，再向上平移5个单位得到的抛物线的表达式为（　　）
A. y=（x-5）2+2 B. y=（x-5）2-8 C. y=（x-1）2+2 D. y=（x+1）2+2
3.北京2022年冬奥会以后，冰雪运动的热度持续.某地滑雪场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人.设该地滑雪场游客人数的周平均增长率为x,根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A. 7000（1+x）2=8470 B. 7000x2=8470
C. 7000（1+2x）=8470 D. 7000（1+x）3=8470
4.如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB=2，BC=4，EF=3，则DE的长为（　　）
A. 1
B. 1.5
C. 2
D. 2.5
5.如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为（2，0），将△ABO绕着点B顺时针旋转60°，得到△DBC，则点C的坐标是（　　）
A.
B.
C. （2，1）
D. （1，2）
6.若关于x的一元二次方程x2+2x+p=0两根为：x1、x2，且，则p的值为（　　）
A. B. C. -10 D. 10
7.如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦AB长为8m,轮子的吃水深度CD为2m,半径OC⊥AB于点D，则该桨轮船的轮子直径为（　　）
A. 4m B. 5m C. 8m D. 10m
8.已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线一定过原点；②4a+b=0；③a-b+c＜0；④当0＜x＜4时，ax2+bx+c＜0；⑤当x＜2时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数（　　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.已知点P（x,-2）与点Q（4，y）关于原点对称，则x+y的值是______.
10.已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为（m,0），则代数式m2-m+2024的值为 .
11.现将一块含60°的直角三角板按如图放置，顶点C落在以AB为直径的半圆上，斜边恰好经过点B，一条直角边与半圆交于点D，若AB=4，则弧BD的长为______.
12.下列说法中：①一元二次方程4x2-12x+9=0有两个相等的实数根；②圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；③在四边形ABCD中，若∠B+∠D=180°，则A，B，C，D四点共圆；④相似多边形都是位似多边形，其中正确的是 .（只填序号）
13.鄂尔多斯动物园，是一个集动物观赏、互动体验、科研科普教育于一体的综合性生态旅游度假景区.景区计划修建一座抛物线形拱桥（如图1），按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽AB为16m,当水位上升6m时，水面宽CD为 m.
14.如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O过点A，连BD交⊙O于E，AE交BC于F，连接AC、EC，若BF=FC，AF=6.①∠CAD=∠CED；②△AED∽△FEB；③AE=4；④BC=5；⑤记BD、AC的交点为H，则OH⊥AC其中结论正确的是： .（只填序号）
三、解答题：本题共7小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
解下列方程：
（1）x2-2x-8=0；
（2）3x（x-2）=x-2.
16.(本小题8分)
（1）如图1，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点上，画出△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）尺规作图：如图2，作⊙O的内接正方形，不写作法，保留作图痕迹.
17.(本小题6分)
如图，是一位同学设计的利用小树来测量某路灯高度的示意图.小树AB在路灯O的照射下形成投影BC，这位同学测得树高AB=3m,树影BC=4m,树与路灯的水平距离BP=5m.求路灯的高度OP长.
18.(本小题6分)
问题情境
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如表：
A B C D E
售价x（元/盆） 20 30 18 22 26
日销售量y（盆） 50 30 54 46 38
模型建立
（1）请将以上调查数据在草稿纸上按照一定顺序重新整理，分析数据的变化规律，请求出日销售量y（盆）与售价x（元/盆）间的关系式______；
模型应用
（2）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，当售价定为多少时，每天能够获得最大利润，最大利润是多少？
19.(本小题8分)
如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC，BC分别于点E，D两点，连接ED，BE.
（1）求证：=.
（2）若BC=6.AB=5，求BE的长.
20.(本小题10分)
如图，已知抛物线y=ax2+bx-3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线的顶点，求出△MBC的面积；
（3）如图2，连接AC，点P是抛物线上的一动点，且满足∠PBC=45°-∠ACO，请直接写出点P坐标.
21.(本小题12分)
问题情境：
（1）综合与实践课上，老师让每个小组准备了一张矩形纸片ABCD，其中AB=3，BC=4.如图1，把矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形纸片AB′C′D′，点B，C，D的对应点为B′，C′，D′，如图2，连接BD，当C′在AD的延长线上时，延长C′B′，交BC于点E，判断AC′与C′E的数量关系并说明理由.
数学思考：
（2）老师将矩形ABCD纸片绕点A逆时针方向再次旋转，并让同学们提出新的问题.
①“爱数小组”提出问题：如图3，当点B′落在AD上时，连接CC′，取CC′的中点M，连接AM、AC，求AM的长.请你解答此问题；
②“好学小组”提出问题：如图4，当点B′落在BD上时，连接DD′，求△ADD′的面积.请你解答此问题.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】-2
10.【答案】2025
11.【答案】
12.【答案】①③
13.【答案】8
14.【答案】①②③⑤
15.【答案】x1=4，x2=-2；
x1=2，
16.【答案】；A1（-1，1），B1（-1，4），C1（-3，5）；

17.【答案】路灯的高度OP为．
18.【答案】y=-2x+90；
售价定为30元时，每天能够获得最大利润，为450元．
19.【答案】（1）证明方法一：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴CD=BD，
∵A、E、D、B四点共圆，
∴∠CED=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠ACB=∠CED，
∴DE=DC，
∴DE=BD，
∴=；
方法二：如图②，连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠EAD=∠BAD，
∴=；
（2）解：连接OD交BE于H，作OF⊥BD于F，
BD=BC=3，AB=5，
又勾股定理得，AD==4，
∵AD⊥BC，OF⊥BD，
∴OF∥AD，又OA=OB，
∴OF=AD=2，
则××BH=×3×2，
解得，BH=，
∵=，
∴BE=2BH=．
20.【答案】y=-x2+4x-3；
S△MBC=3；
或（-2，-15）
21.【答案】AC′=C′E，理由如下：
连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠CBA=90°，AD=BC，AC=BD，AD∥BC，
∵AB=BA，
∴△DAB≌△CBA（SAS），
∴∠ADB=∠BCA，
由旋转得，∠BCA=∠B′C′A，AC=AC′，
∴∠ADB=∠B′C′A，AC′=BD，
∴BD∥EC′，
∵AD∥BC，
∴C′D∥BE，
∴四边形BDC′E是平行四边形，
∴BD=C′E，
∴AC′=C′E；
①；②
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