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2026届高三第二次阶段性测试
数 学
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，2，3，4，5，，，则　　
A．，4，5， B． C． D．，3，4，5，
2．双曲线的渐近线方程为，则　　
A． B． C． D．2
3．正方形的边长为1，取正方形各边的中点，，，作第二个正方形，然后再取正方形各边中点，，，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前11个正方形的面积和为　　
A． B． C． D．
4．已知复数，则　　
A． B． C． D．
5．若函数是奇函数，则　　
A．2 B． C．3 D．4
6．如图，用4种不同的颜色给矩形，，，涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有　　种．
A．12种 B．24种 C．48种 D．72种
7．已知函数的图象关于点中心对称，且在上单调，若，，
且（a）（b），则的最小值是　　
A．4 B． C．8 D．9
8．设椭圆的左右焦点分别为，，椭圆上点满足，直线和直线分别和椭圆交于异于点的点和点，若，则椭圆的离心率为　
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知向量，，则下列说法正确的是　　
A．若，则的值为
B．若的值为3，则
C．若，则与的夹角为锐角
D．若，则
10．设，为随机事件，且（A），（B）是，发生的概率．（A），（B），则下列说法正确的是　　
A．若，互斥，则（A）（B）
B．若（A）（B），则，相互独立
C．若，互斥，则，相互独立
D．与相等
11．在△中，，，为边的中点，则　　
A． B．
C． D．最大时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在的展开式中含的项的系数为 　　．
13．已知数列，满足，若，表示的前项和，则　　 ．
14．在四棱锥中，，，，，且平面，过点的平面与侧棱，，分别交于点，，，若四边形为菱形，则　　 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知数列，其前项和记为，满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
16．（本小题满分15分）
如图，在三棱柱中，为线段的中点，侧棱上点，满足．
（1）证明：平面；
（2）若，平面，，，
求直线与平面所成角的正弦值．
17．（本小题满分15分）
电信诈骗是指通过电话、网络和短信方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实施远程诈骗的犯罪行为．随着时代的全面来临，借助手机、网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生．为了调查同学们对“反诈”知识的了解情况，某校进行了一次抽样调查．若被调查的男女生人数均为，统计得到以下列联表．经过计算，依据小概率值的独立性检验，认为该校学生对“反诈”知识的了解与性别有关，但依据小概率值的独立性检验，认为该校学生对“反诈”知识的了解与性别无关．
性别 不了解 了解 合计
女生
男生
合计
（1）求的值；
（2）将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男生中随机抽取5人，记其中对“反诈”知识了解的人数为，求的分布列及数学期望．
（3）为了增强同学们的防范意识，该校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛．已知全校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布，若某同学成绩满足，则该同学被评为“反诈标兵”；若，则该同学被评为“反诈达人”．
试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”；
若全校共有50名同学被评为“反诈达人”，试估计参与本次知识竞赛的学生人数．
（四舍五入后取整）
附：，其中．
0.10 0.05 0.025 0.01 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
若，
则，，．
18．（本小题满分17分）
已知椭圆的离心率，椭圆上动点到右焦点的距离最大值为3．
（1）求的方程；
（2）设是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与恰有一个公共点，
①求动点的轨迹方程；
②求线段的长度的取值范围．
19．（本小题满分17分）
已知函数，．
（1）当时，求函数在，（1）处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围．
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 l 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D D A B D D D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 AB ABD BCD
11．，
可得，整理可得，
即，
整理得，即，
又，，可得，即，
对于选项，，，，，，
，，，不能确定，故错误；
对于选项，，，故正确；
对于选项，设，在△中，，，
由余弦定理知，，
在△中，，，由余弦定理知，，
，整理得，
在三角形中，两边之和大于第三边，，，
，，故正确；
对于选项，在△中，
，当且仅当，即时等号成立，
的最小值为，，，的最大值为；
此时不妨设，则，又，为边的中点，则，
，，为边的中点，，
又，则△是边长为2的正三角形，，故正确．
故选：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．40 13． 14．
14．根据题意：补全四边形，易知△是边长为4的正三角形，
为的中点，为线段上靠近的四等份点，以为基底，
平面，及其，则，，两两垂直，且，，
不妨设，则，
过点的平面与侧棱，，分别交于点，，，
设，，，则，，，
于是，
，
，
由于四边形为菱形，则，可列方程组：，解得
则，，
，得，知，所以．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15．（1）根据题意，由，得，
所以数列是以2为公差的等差数列，
又，得，解得，
所以，
所以的通项公式为；
（2）由（1）可知，
所以．
16．（1）证明：取的中点，连接，，由中位线可得：．，
又，由，，所以，，
所以，，即四边形为平行四边形，
所以，又，平面，所以平面；
（2）因为平面，，平面，又，所以可得，，两两垂直，如图建系：则，0，，，1，，，0，，，，，，
设平面的法向量为，则，
设，可得，，所以，2，，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
17．（1）由已知，完成列联表，
性别 不了解 了解 合计
女生
男生
合计
由题意，
根据条件，可得，解得，因为，所以．
（2）由（1）知，样本中的男生对“反诈”知识了解的频率为是，
用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，对“反诈”知识了解的概率为，
则，
，，
，，
，．
则的分布列为：
0 1 2 3 4 5
所以．
（3），，那么，则该同学能被评为“反诈标兵”．
设全校参与本次竞赛的人数为，“反诈达人”的概率为
，
则，解得，所以参与本次知识竞赛的学生人数约为2198人．
18．（1）由题可知，，解得，，又，
因此椭圆方程为；
（2）由（1）知，设，，因此的中点为，
①当时，的垂直平分线方程为，
此时，因此或；即或，
当时，的垂直平分线方程为：，
由，消得，
，
整理得，
因为线段的垂直平分线与恰有一个公共点，
因此，
整理得，
即，
因为，因此，
而，也满足该式，
因此点的方程为；
②由①知，点的方程是以为圆心，4为半径的圆，且圆心为椭圆左焦点，
又易知点在圆内，因此，
又由椭圆的性质知，，得到，
故所求线段长度的取值范围是，．
19．（1）由题意的定义域为，
当时，，
，（1），又（1），
在，（1）处的切线方程为，即；
（2），，
当，即时，，在上单调递减，
当，即时，在上，，在，
在上单调递减，在上单调递增，
综上，时，在上单调递减；
时，在上单调递减，在上单调递增；
（3）方程有两个不同实根，等价于方程有两个不同实根，
设，则，
当时，时，，时，，
此时函数只有一个零点，方程只有一个根，不符合题意；
当时，，在上单调递增，
当时，（1），（a），
存在使，在，，在，上，
在上单调递减，在，上单调递增，
（1），又（a），
设，则，
当时，，单调递减，
又（1），，（a），又（1），
在上和，上各有一个零点，符合题意；
当时，（1），上，在上，
在上单调递增，在上单调递增，
（1）只有一个零点，不符合题意；
当时，（1），（a），
存在使得，
在，，单调递减，在，上，单调递增，
（1），（a），
又当时，单调递增，
又（1），，（a），在，上存在一个零点，
又（1），时有两个零点，符合题意；
综上，方程有两个不同实根时，或．

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