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北师大版《义务教育课程标准教科书 数学》八年级上册
4.2认识一次函数-一次函数与正比例函数
函数是解决问题的模型，本章的开始我们研究了刻画客观世界两个变量的关系的模型——函数。
函数
概念及表示法
实际问题
具体函数
方程
概念
实际问题
解法和应用
一元一次方程
特殊
一般
数学模型
类比
？
复习回顾，预见新知
创设情境，初步感知
创设情境，初步感知
为了助力研学活动，学校总资费5000元.其中，每人活动花费是500元，如果有x位同学参加，你能帮杨老师列出剩余金额y与参加人数x之间的关系式吗？
找等量关系：剩余金额=总金额一花费金额
列关系式： y=5000-500x
准备工作：
创设情境，初步感知
第一站：泰山
据了解，山底的气温为20°C，海拔每升高1km气温下降6°C.由峰底向上登高x km时，你能帮杨老师列出气温y与高度x之间的关系式吗？
y=20-6x
创设情境，初步感知
第二站：趵突泉
泰山距离济南趵突泉s km，已知校车行驶速度为40km/h,则两地的路程S(km)与校车所需时间t(h)之间的关系？
S =40t
创设情境，初步感知
第二站：趵突泉
趵突泉水位监测数据显示，某段时间内由于降水较多，水位每天均匀上升。初始测量时（第1天）水位为28.7米，水位每天上升0.1米，则水位y与天数x之间的关系？
y=28.7+0.1x
创设情境，初步感知
校车出发时油箱中汽油为60L，校车每行驶50km耗油6L,你能写出耗油量y（L）与行驶路程x（km）之间的关系么？
x
请同学们帮助老师写出油箱剩余油量z（L）与校车行驶路程x（km）之间的关系？
x
返程：
列一列
1.列式表示下列问题中变量之间的函数关系.
(1) 圆的面积s(cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系.
（2）圆的周长l(cm)与它的半径r(cm)之间的关系.
（3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，xh后这个水池有水ym3.
互助探究，归类分析
观察这些函数解析式，试着给它们分类，并说出分类依据.
l =2πr
S=40t
y=5000-500t
S=πx
y=
y=20-6x
y=15＋5x
y=28.7+0.1x
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l =2πr
y=5000-500t y=15＋5x
S=πx
y=20-6x
互助探究，归类分析
y=60x
多项式函数
单项式函数
观察这些函数解析式，试着给它们分类，并说出分类依据.
y=x
y=28.7+0.1x
S=40t
整式函数
S=πx
l =2πr
S=40t
y=5000-500t
y=15＋5x
y=28.7+0.1x
整式函数
二次函数
互助探究，归类分析
观察这些函数解析式，试着给它们分类，并说出分类依据.
y=x
y=20-6x
这一类函数解析式有什么共同特征？
对比联系，抽象归纳
y=kx+b（k，b是常数）
x，y的次数是1.
因变量=常数×自变量+常数
k
＝
y
x +
b
一般地， y=kx+b (k, b为常数,且k≠0) 函数叫做一次函数
形如
b=0
y=kx
对比联系，抽象归纳
l =2πr
y=40t
y=x
40
路程
时间
=
2π
周长
半径
=
耗油量
行驶路程
=
(速度)
40
路程
=
×时间
k≠0
y=kx（k是常数
正比例函数
k叫做比例系数
）
一般地，形如 y=kx (k为常数,且k≠0) 的函数叫做正比例函数.
S=πx
y=5000-500t
y=15＋5x
y=28.7+0.1x
y=20-6x
l =2πr
y=x
整式函数
二次函数
一次函数
正比例函数
互助探究，归类分析
S=40t
正比例函数是一次函数的特殊情形.
正比例函数
一次函数
一定
不一定
2.下列式子中，哪些表示y是x的一次函数？
辨一辨
√
√
×
√
√
×
（5) y=3(3-x)
注意：判断一个函数是否是一次函数，必须将其化成最简形式.
（6）y＝8＋x(1－8x)
√
想一想
3.下列y与x是一次函数关系的有( )
①汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的关系；
②圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系；
③一棵小树现在高50 cm,每个月长高2cm,x个月后这棵树的高度为ycm,y与x的关系；
④某种大米的单价是 2.2 元/千克,当购买大米x 千克时,花费y元,y与x的关系.
①③④
想一想
4.下列说法中，正确的个数是（ ）
①正比例函数一定是一次函数；
②一次函数一定是正比例函数；
③速度一定时，路程s是时间t的一次函数；
④一次函数是特殊的正比例函数；
A.1 B.2 C.3 D.4
B
5.已知函数y=(m-2)x+4-㎡
（1）当m为何值时，这个函数是一次函数
（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数
解：（1）由一次函数定义可得m-2≠0，解得m≠2.即m≠2时，这个函数是一次函数.
（2）由正比例函数定义可得m-2≠0且4-㎡=0，解得m=-2.即m=-2时，这个函数是正比例函数.
想一想
利用一次函数的概念求字母的值
探一探
6.你能举出生活中的一次函数的例子吗？
…
…
…
…
思考 有了一次函数的概念，我们将会研究什么问题？
我们怎样去研究后续的问题？
你会选择怎样的形式入手研究？为什么？
探一探
梳理总结，反思感悟
一次函数
函数
研究内容
研究思路
研究方法
正比例函数
建模
从特殊到一般
抽象、归纳
特殊化
定义
图象
性质
二次函数
…
反比例函数
分类
...
必做题：1.判断下列函数是否为一次函数？
①y ＝ x－6 ② y ＝－ x ③y ＝7－ x
④y ＝5㎡＋6 ⑤y＝3(2－x) ⑥y ＝x(2－x)
必做题：2.当m,n为何值时,关于x的函数y=(m-1)+n:
(1)是一次函数;(2)是正比例函数.
选做题：3.在日常生活中，寻找正比例函数的实例，试着提出问题，画出函数图象，小组合作探究.
分层作业，应用新知
感谢聆听

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