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第12章 一次函数
12.3 第2课时 二元一次方程组的图象解法
课堂小结
随堂演练
获取新知
知识回顾
例题精讲
知识回顾
1.二元一次方程与一次函数的关系
以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上.
一次函数图象上的点的坐标都是相应的二元一次方程的解.
二元一次方程的解
一次函数图象上点的坐标
一一对应
2.解方程组
解：利用消元法，解方程组得
前面我们学习了一次函数与二元一次方程的对应关系，那么我们是否可以利用一次函数来解二元一次方程组呢？
获取新知
画一画：请在同一直角坐标系内分别画出函数y=-x+5与y=2x-1的图象，找出它们的交点坐标．
将方程组
转化成一次函数，分别为
y=-x+5与y=2x-1
y
x
O
4
1
2
3
5
5
4
3
2
1
-1
-2
(2,3)
解：
x … 0 5 …
y=-x+5 … 5 0 …
x … 0 0.5 …
y=2x-1 … -1 0 …
它们的交点坐标为（2,3）
思考：方程组的解和这两个函数图象的交点坐标有什么关系？
方程组
的解为
一次函数y=-x+5与y=2x-1的交点坐标为（2,3）.
二元一次方程
组的解
两个一次函数图象的交点坐标
一一对应
总结归纳
解方程组相当于考虑自变量为何值时,两个函数的值相等,以及这个函数值是何值．
确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；
解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点的坐标.
图象法解二元一次方程组的步骤:
(1)转化形式:把二元一次方程化成一次函数的形式;
(2)画函数图象:在同一平面直角坐标系中画出两个一次函数的图象,并标出交点确定坐标;
(3)确定二元一次方程组的解:两条直线的交点坐标就是二元一次方程组的解.
例题精讲
例1 (1)在同一平面直角坐标系中，画出
直线l1： 与
直线l2: y=2x+6；
解：(1)图象如图所示．
x
-6 -4 -2 2 4 6
y
6
4
2
-2
-4
-6
O

l2：y=2x+6
(2)如果直线l1与l2相交于点P，写出点P的坐标；
－2
2
P( _____，____ )
(3)说明点P的坐标是否为此方程组的解？
(3)方程x+2y =2可以转化成一次函数
因此，直线 l1:
程x+2y =2的解； 同理，得直线 l2上任意一点的坐标
都是方程2x－y =－6的解．所以直线l1与l2的交点P的
坐标是方程x+2y =2与2x －y = －6的公共解，也就是说，
点P的坐标是二元一次方程组 的解.
的形式，
上任意一点的坐标都是方
例2 利用函数图象解方程组
解：对于方程①，有
过点A(0，－2)和B(2，3)
画出方程①所对应的
直线l：
x 0 2
y －2 3
同样地，点A(0, －2)和B(2, 3)也在方程②所对应的直线上．
所以方程①②所对应的直线都是通过A(0, －2)和 B(2, 3)两点的直线l，如图，
就是说，这两条直线重合．
显然，直线l上每一个点的坐标都是原方程组的解，所以原方程组有无穷多组解.
例3 利用函数图象解方程组
解：方程3x＋2y ＝－2对应直线l1 ：
方程6x＋4y ＝4对应直线l2 ：
作出直线l1和l2的图象如图，
两条直线平行，
　　 故方程组无解．
二元一次方程组的解的情况有三种：
归纳总结
（1）图象相交时，原方程组有唯一组解；
（2）图象重合时，原方程组有无穷多组解；
（3）图象平行时，原方程组无解.
思考：上述例题直观地说明二元一次方程组的解有三种情况.当把二元一次方程组化为
a1x+b1y=c1
a2x+b2y=c2（其中a1，a2，b1，b2，c1，c2为常数）
的形式后，比较一下每例中两个方程x的系数之比、y的系数之比以及常数项之比，从中你发现怎样的规律？
（1）当 时，方程组有一组解；
a1
a2
≠
b1
b2
（2）当 时，方程组有无穷多组解；
a1
a2
=
b1
b2
c1
c2
=
（3）当 时，方程组无解.
a1
a2
=
b1
b2
c1
c2
≠
归纳总结
练一练：
既不解方程组也不画图,判断下列方程组的解的情况.
2x+3y=7，
3x+2y=4；
（1）
2x+3y=5，
10x+15y=25；
（2）
2x+3y=8，
6x+9y=17；
（3）
x-y=1，
x-2y-2=0.
（4）
随堂演练
1．已知方程组 的解为
则一次函数y＝2x＋3与y＝ax＋c的图象的交点坐标是(　　)
A．(－1，1) B．(1，－1)
C．(2，－2) D．(－2，2)
2x-y+3=0，
ax-y+c=0；
x=-1，
y=1，
A
2．用图象法解方程组 时，下列选项中的图象正确的是(　　)
x-2y=4，
2x+y=4
C
3.利用一次函数的图象求方程组 的解.
2x-y=2
解：在直角坐标系中画出两条直线，如图：两条直线的交点坐标是（1.5， 1），
所以方程组的解为
x=1.5，
y=1.
两条直线有交点(相交)
两条直线无交点(平行)
两条直线是同一直线(重合)
方程组只有一个解
方程组无解
方程组有无数个解
课堂小结
两直线交点个数与二元一次方程组解的个数的关系

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