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第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
13.1 第3课时 三角形中几条重要线段
课堂小结
随堂演练
获取新知
知识回顾
例题精讲
知识回顾
1.三角形中按边长关系如何分类的呢？
不等边三角形
按边分类
等腰三角形
等边三角形（又叫正三角形）
腰和底不等的三角形
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
三角形
2.三角形按角的大小关系如何分类呢？
定义 图示
垂线 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
线段中点 把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点。
角平分线 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
获取新知
问题：三角形中三条边、三个角是它的六个基本元素,
除此之外,同学们通过预习,知道它还有什么元素吗
高线、角平分线、中线
思考以下问题。
1.什么是三角形的高？
2. 怎样画任意三角形的三条高线？
3.三角形三条高之间有怎样的位置关系，它们是否会交于一点？
三角形的高线
三角形的高线
从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高线，也叫做三角形的高.
如图, 线段AD是BC边上的高.
.
注意:“三角形的高线”是一条线段。
A
B
C
D
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
1.分别画出下图各个三角形三条边上的高.
（1）锐角三角形
锐角三角形的三条高交于三角形的内部一点.
操作：
（2）直角三角形
A
B
C
D
直角三角形的三条高交于直角顶点.
（3）钝角三角形
A
B
C
E
D
F
钝角三角形的三条高不相交于一点.
钝角三角形的三条高所在直线交于三角形外部一点.
P
三角形的角平分线
注意：“三角形的角平分线”是一条线段
在三角形中，一个角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。
B
A
C
D
∠1=∠2
1
2
如图，线段AD是△ABC的一条角平分线
练一练
A
C
B
F
E
BE是△ABC的角平分线
______=_______= _____
∠ABE
∠CBE
∠ABC
CF是△ABC的角平分线
∠ACB=2______=2______
∠ACF
∠BCF
操作：每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个。
(1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗
(3) 在每个三角形中，这三条角平分线是否交于一点
结论：三角形的三条角平分线交于一点.
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.
A
BE=EC
B
C
E
如图，AE是BC边上的中线
三角形的中线
注意：“三角形的中线”是一条线段。
操作：试着画出下列三角形的中线？
结论：三角形的三条中线相交于一点，交点在三角形的内部.
这个交点叫重心.
问题1 如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？为什么？
B
C
D
E
A
相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.
问题2 通过问题1你能发现什么规律？
三角形的中线能将三角形的面积平分.
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高在三角形内部的数量
高之间是否相交
高所在的直线是否相交
三条高所在直线的交点的位置
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三角形内部
直角顶点
三角形外部
归纳总结
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°，
∴∠DAC＝∠BAD＝34°.
在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，
∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝110°.
例1 如图,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
D
C
例题讲解
例2 如图，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3 cm，BC=8 cm，求边AC的长．
解：∵CD为△ABC的AB边上的中线，
∴AD=BD.
∵△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，
∴（BC+BD+CD）-（AC+AD+CD）=3cm，
∴BC-AC=3cm.
∵BC=8cm，∴AC=5cm．
1.分别指出图中△ABC 的三条高。
A
B
C
D
直角边BC边上的高是 ;
直角边AB边上的高是 ;
斜边AC边上的高是 .
AB
CB
BD
随堂演练
2.填空：
(1)线段AD是△ABC的角平分线，那么∠BAD＝_______＝ _______.
(2)线段AE是△ABC的中线，那么BE＝_____＝___BC.
∠DAC
∠BAC
EC
3．如图，AD，BE是△ABC的两条中线，交点为G，连接CG并延长交AB边于点F.下列结论中正确的有________．(将所有正确结论的序号都填写在横线上)
①G是△ABC的重心；
②CF⊥AB；
③CF平分∠ACB；
④BF＝AF.
①④
4.如图，在△ABC中，AB=AC，画出底边BC上的中线、高和顶角∠A的平分线，你发现这三条线段有什么关系？
A
B
C
D
BD=CD
AD⊥BC
∠BAD=∠CAD
等腰三角形底边上的中线、高和顶角的平分线，三条线段重合.
课堂小结
高
从三角形一个顶点到它对边所做直线的垂线段
中线
连接一个顶点与它对边中点的线段
一个角的平分线与这个角对边相交，顶点和交点之间的线段
角平分线
三角形中几条重要线段

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