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(共15张PPT)
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.2 线段的垂直平分线
第1课时 垂直平分线的认识
课堂小结
随堂演练
获取新知
情景导入
例题精讲
知识回顾
通过上一节的学习我们知道，如果两个点所连线段被某条直线垂直平分，那么这两个点关于这条直线成轴对称.这说明线段是轴对称图形，这条线段的垂直平分线是它的对称轴.
知识回顾
情境导入
如图，点O是线段AB的中点，直线MN经过点O，且MN⊥AB，
那么直线MN是线段AB的垂直平分线.
由于直线MN上的点O是线段AB的中点，
因此OA=OB.在直线MN上任取两点P,Q
（在线段AB的两侧各取一点），
分别连接PA,PB,QA,QB.PA,PB的长
有什么关系？QA与QB呢？
已知：如图，直线MN经过线段AB的中点O，且MN⊥AB，
点P是MN上任意一点.求证：PA=PB.
证明：∵MN⊥AB，（已知） ∴∠AOP=∠BOP=90°（垂直的定义）
在ΔAOP和ΔBOP中，
∵
∴ΔAOP≌ΔBOP（SAS）
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）
由上面证明，我们得到垂直平分线的如下性质：
几何语言：
∵直线PO垂直平分AB，
∴PA=PB.
温馨提示：这个定理向我们提供了一个证明线段相等的方法，以后可当作等腰三角形的一种判定方法.
A
B
P
O
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
知识要点
思考：
你能写出上面定理的逆命题吗？它是真命题吗？
如果是真命题，请给出证明.
逆命题：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
P
A
B
已知：如图，点P是线段AB外一点，且PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
证明：设线段AB的中点为O,连接PO并延长.
在△POA和△POB中,
∴△POA≌△POB(SSS)，
∴∠POA=∠POB，
∵∠POA+∠POB=180°，
∴∠POA=90°.
∴直线PO是线段AB的垂直平分线，
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
P
A
B
O
还可以怎么做辅助线？
证明：作∠APB的角平分线PO,交PO于点O.
在△POA 和△POB 中，
PA=PB，∠APO =∠BPO，PO =PO，
∴ △POA ≌△POB（SAS）．
∴ ∠POA=∠POB，OA=OB.
P
A
B
O
∵∠POA+∠POB=180°，
∴∠POA=90°.
∴直线PO是线段AB的垂直平分线，
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
到一条线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
几何语言：
∵PA =PB，
∴点P在AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线性质定理的逆定理
知识要点
(2)若PA=PB,同时MA=MB,则直线PM是线段AB的中垂线吗？
P
A
B
l
不一定是.
理由：经过一点的直线有无数条.
思考：
(1)若PA=PB,过点P作直线l,则l是线段AB的中垂线吗？
是.
理由：两点确定一条直线.
M
证明某条直线是一条线段的垂直平分线的方法:
(1)按定义:证明这条直线既垂直于这条线段,又平分该线段;
(2)按判定定理:证明这条直线上有两点到线段两端的距离相等.
归纳总结
几何语言：
∵AB =AC，MB =MC，
∴点A、M均在线段BC的中垂线上，　
∴AM垂直平分BC.
A
B
C
D
M
解： ∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴BE＋CE＝AE＋CE＝AC＝14.
∵△BCE的周长为24，
∴BC＝△BCE的周长－(BE＋CE)
＝24－14＝10.
即BC的长为10.
例1. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交AB，AC于点D，E，AC＝14，△BCE的周长为 24，求BC的长.
例题讲解
D
1.如图，已知线段AB，BC的垂直平分线l1，l2交于点M，则线段AM，CM的大小关系是( 　 　)
A．AM>CM
B．AM＝CM
C．AMD．无法确定
B
4．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD.若DC∶BD＝3∶5，求DC的长．
解：因为DC∶BD＝3∶5，设DC＝3x，
则BD＝5x.
又因为MN垂直平分AB，
所以AD＝BD＝5x.
所以AC＝AD＋DC＝5x＋3x＝8x＝8，
解得x＝1，所以DC＝3 cm.
课堂小结
线段的垂直平分线
性质定理
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
逆定理
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上

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